在線段圖學習中促進數學語言轉換

盧清榮

【關鍵詞】線段圖學習；語言轉換；圖形語言；符號語言；文字語言

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）49-0055-03

蘇聯數學教育家斯托利亞爾認為，數學教學就是數學語言的教學。學生學習數學時，不論是閱讀、聽講、回答問題、小組討論、交流展示，還是獨立解決問題，都是以數學語言為中介。數學語言主要包括圖形語言、文字語言和符號語言。如果數學語言轉換能力差，就會造成閱讀、理解、思維和表達障礙，導致學習困難。解決實際問題是小學階段最重要的學習內容之一，問題形式靈活多樣，有的結構特殊，學生很難發現其中的數量關系，無法順暢地理解題意。線段圖是數學圖形語言中的一種，用數形結合的形式表示數量關系比較直觀，能讓人一目了然。學生在抽象、繪畫和分析中逐漸理解并掌握線段圖的過程，就是學生熟練轉換數學語言的過程。

一、經歷線段圖抽象過程，將一種圖形語言轉換為另一種圖形語言

美國數學家斯蒂恩說過：“如果一個特定問題可以轉化一個圖形，那么思想就整體把握了問題，并能創造性思索問題的解法。”線段圖能幫助學生分析題意、理解數量關系，是學生從形象思維向抽象思維過渡的載體，是學生有效解決問題的重要工具之一。學生認識線段圖是從直條圖開始的，經歷直條圖“遮蓋”具體數量，過渡到用直條圖概括數量的多少，最后從直條圖的具象過程初步抽象為線段圖表示數量多少及數量關系。

教師出示2朵紅花和6朵藍花（如圖1左），學生用倍數關系描述：藍花朵數是紅花朵數的3倍；藍花朵數比紅花朵數多2倍。用比多比少關系描述：藍花朵數比紅花多4朵。教師用紅色和藍色長方形“遮蓋”在兩種花上（如圖1中），問學生：什么變了？什么沒變？學生發現表示數量的物體由原來的花變為長方形，圖形變了，但數量之間的倍數關系沒有改變——藍色長方形長度是紅色長方形長度的3倍；藍色長方形長度比紅色長方形長度多2倍。教師把長方形逐步變窄直到成為線段圖（如圖1右），學生發現圖形形狀發生了改變，線段圖表示的數量不僅僅是2朵花，還可以代表更多，而且圖形之間的數量關系——倍數關系不變。

用線段圖表示數量和數量關系對低年級學生而言比較抽象：一方面，他們認識數量是從“數”（shǔ）物體個數開始的，從線段圖上數不出物體個數；另一方面，根據皮亞杰的認知發展理論，7～11歲兒童的思維以具體形象思維為主，無法想象同樣長度的線段可以表示不同的數量。教師先用直條圖作為實物圖與線段圖之間的橋梁，使學生在建立數量多少的基礎上理解用圖代數的方法（圖下有數）；把直條圖抽象為線段圖，建立數與圖之間的對應關系，讓學生經歷“具體實物—直條圖—線段圖”的抽象過程，溝通新舊知識間的聯系，打通了從直觀到抽象的“通道”。學生對線段圖就有了本原性認識，實現了從一種圖形語言（實物）到另一種圖形語言（線段圖）的轉換。當然，認知經驗和個性差異可能使學生的語言轉換程度因人而異，教師要幫助他們充分經歷交流和表達過程，使他們在獨立思考和小組合作中逐步實現目標。

二、經歷線段圖繪制過程，將文字語言轉換為圖形語言

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的十大核心概念之一，培養學生的初步幾何直觀是小學數學教學重要任務之一，畫線段圖則有助于培養學生的幾何直觀能力。教師一方面要幫助學生逐步養成畫圖的習慣，另一方面要引導學生理解、掌握一些基本線段圖，并應用他們解決問題。在用線段圖解決問題前，教師要引導學生充分認識線段圖，學會畫線段圖并用線段圖描述問題、分析問題，促進學生對數學語言的理解和表達。

教學時，教師可以先創設情境：國慶節期間，小明的媽媽帶小明去商場買衣服。“一條褲子28元，一件上衣的價格是褲子的3倍”。根據這些信息，學生提出一些數學問題，有的學生問：“一件上衣多少元？”有的學生問：“一件上衣比一條褲子貴多少元？”有的學生問：“買一套衣服需要多少元？”解決“一件上衣多少元”時，學生嘗試在原有線段圖的基礎上補充表示上衣價錢的圖（如圖2）。

根據題目中褲子和上衣之間數量關系——“上衣的價格是褲子的3倍”，學生把褲子價格用一定長度（如1厘米）的線段表示一份，上衣價格就用3個同樣長度（3厘米）的線段表示。教師問學生如何在線段圖上表示問題時，學生隨即在圖中表示出已知條件及要解決的問題；教師引導學生比較文字表達信息與線段圖表達信息的區別時，學生發現情境圖中的條件和問題都可以用線段圖表示出來，并且比情境圖更清晰、更直觀。

繪制線段圖既要掌握畫圖方法，又要理解圖形內涵。學生獨立畫線段圖并說明畫圖理由的過程，就是把文字語言轉換為圖形語言的過程，轉換過程越完整、越規范，就說明學生對題目信息理解越充分，對數量關系理解越透徹，對圖形語言表征形式理解得越準確。學生之間相互交流和補充，有助于進一步完善線段圖的表達形式（寫名稱、寫數量、畫括線、畫問號），真正理解線段圖的內涵，學會分析問題并掌握解題思路。

三、經歷線段圖理解過程，將圖形語言轉換為符號語言

運用線段圖的關鍵，是理解線段圖和分析線段圖。只有讀懂線段圖，學生才能獨立、正確地畫出線段圖，才能正確地分析問題和解決問題。因此，學生畫線段圖之前要學會閱讀線段圖。“畫”和“讀”是兩個相輔相成的過程，缺一不可。讀線段圖可以先看出圖中各部分所表示的獨立信息，再綜合起來看線段圖整體意義，還可以把各個部分進行對比，聯想線段圖各部分之間隱藏的數量關系。

教師問學生在線段圖（如圖2）上能表示哪些問題時，學生用不同的方式解讀了線段圖的意義。解決購買一套衣服一共需要多少錢時，有的學生列式為48×3+48=192（元），并比劃線段圖說明48×3是先求一件上衣的價格，再把兩部分合起來求一套衣服的價格；有的學生列式為（1+3）×48=192（元），在線段圖上說明把褲子的價格看作1份，上衣價格有這樣的3份，求一套衣服多少元，就是求4個48是多少，列式為（1+3）×48。最后，學生根據線段圖順利解決了一件上衣比一條褲子貴多少元的問題。

線段圖為學生順利解決問題提供了很大的幫助。教師提供不完整的線段圖，讓學生用自己的方式理解，是順應他們的認知方式。學生用自己的理解方式理解線段圖后，能從中體會不同問題在線段圖上的表征形式，根據線段圖聯想和倍問題、差倍問題的結構特征，充分體現線段圖表征信息和數量關系的功能，能使抽象的文字語言直觀化、復雜的問題簡單化、模糊的數量關系清晰化，從而幫助學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題。學生根據線段圖列出算式的過程，就是把圖形語言轉換為符號語言解決問題的過程；反過來，學生根據算式對應指圖的過程，就是把符號語言轉換為圖形語言分析問題的過程。學生在舉一反三、螺旋上升的過程中認識了線段圖與解決問題的關系，實現了圖形語言和符號語言的相互轉換，提升了問題解決能力。

（作者單位：江蘇省睢寧縣實驗小學）