新型軟亞BCI-代數的進一步研究

黃 昱，廖祖華，李 論

1.無錫太湖學院，江蘇 無錫 214064

2.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

3.中國科學院 數學與系統科學研究院，北京 100190

1 引言

邏輯代數是人工智能、邏輯電路設計、計算機推理等領域的邏輯基礎。BCK/BCI-代數作為兩類重要的邏輯代數，是由Imai和Iseki[1-2]于1966年提出的。BCI-代數是BCK-代數的推廣。BCK/BCI代數自引入以來，得到了許多學者的擴展研究[3-7]。2005年，陳露和蒲義書[8]推廣了BCI-代數，提出了亞BCI-代數及其理想的概念。2010年，彭家寅[9]引入了亞BCI-代數的模糊理想的概念并討論了相關性質。

軟集理論是Molodtsov[10]于1999年創立的。它是處理不確定性問題的一個有力的數學工具。其理論已被應用于不確定決策、近似推理、軟計算、數據分析等[11-16]諸多領域。將軟集與代數系統相融合是研究的熱點之一。Aktas和Cagman[17]率先將軟集與群論相結合提出了軟群的概念。Jun[18]提出了軟BCK/BCI-代數的概念。伏文清等[19-20]進一步把軟集思想應用于BCK代數，研究了軟BCK代數的運算性質。劉春輝[21]將軟集概念及其相關運算運用于FI代數，提出濾子化軟FI代數并討論其代數性質。彭家寅[22]利用軟集理論去處理BCC-代數的結構，討論了軟BCC-理想與理想的軟BCC-代數。

2008年，溫永川[23]將參數集賦予群的代數結構，提出了新型軟群的概念。這種將參數集賦予代數結構的方法引入的軟集代數可以得到更深刻的結果。廖祖華的團隊利用這一思想，研究了一系列新的軟集代數[24-27]。2014年，Jun等[28-29]將猶豫模糊集引入MTL-代數和BCK/BCI代數中，開創了猶豫模糊代數的新領域。接著，國內外學者獲得了一系列研究成果[30-35]。值得指出的是猶豫模糊代數的研究是這種新型軟集代數的特例（泛集U=[0,1]時的情形）。對于一般的U，文獻[23]引進的對偶軟集是與猶豫模糊集的α-水平集不同的代數結構。某種代數的模糊子集是某種猶豫模糊代數的充要條件是猶豫模糊集的α-水平集是某種代數。而本文的研究表明某種代數的軟集是某種新型軟代數的充要條件是對偶軟集是某種代數，但與α-水平集是某種代數不等價（相關論文A new type soft prime ideal of KU-algebras已被斯普林格出版社Advances in Intelligent and Soft Computing錄用）。因此U取一般集合是有研究意義的。

文獻[27]將參數集賦予亞BCI-代數，給出了新型軟亞BCI-代數的新概念，并研究了兩個新型軟亞BCI-代數的且運算及限制交仍然是新型軟亞BCI-代數。利用對偶軟集給出了新型軟亞BCI-代數的等價刻畫。同時還給出了新型軟亞BCI-代數的同態像與原像的性質。

本文在文獻[27]的基礎上對新型軟亞BCI-代數做了進一步研究。

2 預備知識

本章給出了文中需要的軟亞BCI-代數、軟集的相關知識。

定義1[8]（亞BCI-代數）一個（2，0）型代數(X,?,0)如果滿足條件：?x,y,z∈X，有：

（1）x?0=x ；

（2）x?x=0 ；

（3）(x?y)?z=(x?z)?y 。則稱X為一個亞BCI-代數。

定義2[8]（亞BCI-代數的子代數）亞BCI-代數X的非空子集S稱為 X的子代數，如果對?x,y∈S，有x?y∈S 。

注1任意子代數 S都包含0，因為 ?x∈S，有0=x?x∈S。

定義3[10]（軟集）設U是一個初始集合，E是參數集，A?E，P(U)是U的冪集，設F:A→P(U)為一個映射，則稱(F,A)是U上的軟集，也稱F為A的軟集。

定義4（笛卡爾積）設A,B是兩個非空集合，稱A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}為A,B的笛卡爾積。

定義5[36]（軟集的且運算）(F,A),(G,B)是U上的軟集，令 (F,A)∧(G,B)=(H,A×B)，其中 H(x,y)=F(x)?G(y),?(x,y)∈A×B ，則稱 (F,A)∧(G,B)是軟集 (F,A)與(G,B)的且運算。

定義6[27]（新型軟亞BCI-代數）設X為一個亞BCI-代數，H:X→P(U)為一個軟集，若?x,y∈X，滿足H(x?y)?H(x)?H(y)，則稱 H 為 X的一個新型軟亞BCI-代數，記為 (H,X)。

引理1[27]H為X的一個新型軟亞BCI-代數，則?x∈X ，有 H(0)?H(x)。

3 新型軟亞BCI-代數的一些新性質

本章給出兩個亞BCI-代數的并代數、并代數上的擴展交以及軟平移等新概念，討論新型軟亞BCI-代數在并代數上的擴展交、軟平移以及投影等基本性質。

定義8 設 (X1,?1,0)與 (X2,?2,0)是兩個亞 BCI-代數，又設 X=X1?X2，且X1?X2={0}，在X上定義運算?如下：

記 X=X1⊕X2。

注2由定義x,y在X1與X2的并集中取元素，所以x?y在X1⊕X2中的運算結果與它在X2⊕X1中的運算結果相同。因此X1⊕X2=X2⊕X1。

引理2 設 (X1,?1,0)與 (X2,?2,0)是兩個亞 BCI-代數，若 X=X1⊕X2，則 (X,?,0)是一個亞BCI-代數。這時稱 (X,?,0)為 (X1,?1,0)與 (X2,?2,0)的并代數。

證明?x∈X=X1?X2，有 x∈X1或 x∈X2。若x∈X1，則 x,0∈X1，由定義得，x?0=x?10=x 及x?x=x?1x=0。若 x∈X2，則 x,0∈X2，由定義得，x?0=x?20=x及 x?x=x?2x=0。

?x,y,z∈X=X1?X2，

（1）若 x∈X1,y∈X1,z∈X1，由定義1得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（2）若 x∈X1,y∈X1,z∈X2，有(x?y)?z=(x?1y)?z=x?1y ，(x?z)?y=x?y=x?1y ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（3）若x∈X1,y∈X2,z∈X1，有(x?y)?z=x?z=x?1z，(x?z)?y=(x?1z)?y=x?1z ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（4）若 x∈X1,y∈X2,z∈X2，有 (x?y)?z=x?z=x ，(x?z)?y=x?y=x ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（5）若 x∈X2,y∈X1,z∈X1，有 (x?y)?z=x?z=x ，(x?z)?y=x?y=x ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（6）若x∈X2,y∈X1,z∈X2，有(x?y)?z=x?z=x?2z，(x?z)?y=(x?2z)?y=x?2z ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（7）若 x∈X2,y∈X2,z∈X1，有(x?y)?z=(x?2y)?z=x?2y ，(x?z)?y=x?y=x?2y ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（8）若 x∈X2,y∈X2,z∈X2，由定義1得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

綜上所述，(X,?,0)是一個亞BCI-代數。

例1 設 X1={0,1}，定義“ ?1”，其運算表如表1。容易驗證(X1,?1,0)是亞BCI-代數，它的子代數有{0}，{0，1}。

表1 運算“ ?1”

設 X2={0,2,3}，定義“ ?2”，其運算表如表2。容易驗證 (X2,?2,0)是亞 BCI-代數，它的子代數有{0}，{0，2}，{0，2，3}。

表2 運算“ ?2”

則由X=X1⊕X2的運算定義知X的運算“?”如表3。

表3 運算“?”

由引理2知(X,?,0)是亞BCI-代數，它的子代數有{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，{0，2，3}，{0，1，2，3}。

定義9設X1,X2是兩個亞BCI-代數，(H1,X1),(H2,X2)是U上的軟集，若軟集(H,X)滿足：

（1）X=X1⊕X2；

在一定條件下，有下面的定理。

證明因為 X1?X2={0}，故?x∈X1⊕X2，有：

（1）若 x,y∈X1-X2,則 H(x)=H1(x),H(y)=H1(y)，如果 x?y≠0，則 x?y=x?1y∈X1-X2，因為 H1是 X1的新型軟亞 BCI-代數，故 H(x?y)=H1(x?1y)?H1(x)?H1(y)=H(x)?H(y)。

在偉晶作用發育的全過程中，不是所有偉晶巖區的偉晶巖脈中都可以見到偉晶巖各結構帶，只在一些典型的脈中能夠見到。特別是構造活動頻繁、圍巖滲透性較強的地區形成的偉晶巖，往往不具有良好的帶狀構造，各種礦物組合在脈中分布無明顯的規律[9]。

如果 x?y=0 ，則 H(x?y)=H1(0)?H2(0)，因為 H1是 X1的新型軟亞BCI-代數，故 H1(0)?H1(x)=H(x),H2(0)=H1(0)? H1(y)=H(y)，即 H(x?y)?H(x)?H(y)。

（2）若 x,y∈X2-X1,同理可證 H(x?y)?H(x)?H(y)。

（3）若x∈X1-X2，y∈X2-X1，則x?y=x，H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（4）若x∈X2-X1，y∈X1-X2，則x?y=x，H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（5）若 x∈X1-X2，y∈X1?X2={0}，則 x?y=x?0=x,H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（6）若 x∈X2-X1，y∈X1?X2={0}，則 x?y=x?0=x,H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（7）若 x∈X1?X2={0}，y∈X1-X2，則 x?y=0?1y。

如果0?1y∈X1-X2，因為H1是X1的新型軟亞BCI-代 數，故 H(x?y)=H(0?1y)=H1(0?1y)?H1(0)?H1(y)=H1(y)=H(y)?H(x)?H(y)。

（8）若 x∈X1?X2={0}，y∈X2-X1，則 x?y=0?2y。如果0?2y∈X2-X1，因為H2是X2的新型軟亞BCI-代數，故 H(x?y)=H(0?2y)=H2(0?2y)?H2(0)?H2(y)=H2(y)=H(y)?H(x)?H(y)。

如 果 0?2y=0 ，則 H(x?y)=H(0)=H1(0)?H2(0)=H2(0)?H2(y)=H(y)?H(x)?H(y)。

（9）若 x,y∈X1?X2={0}，則 x=y=0，故 x?y=0，H(x?y)=H(0)=H(0)?H(0)=H(x)?H(y)。

綜上所述，H是X1⊕X2的新型軟亞BCI-代數。

定理2設 XH:={x|x∈X,H(x)=H(0)}，如果H為X的一個新型軟亞BCI-代數，則XH為X的子代數。

證明顯然0∈XH，所以XH為X的非空子集。又?x,y∈XH，有H(x)=H(y)=H(0)，因H 是X 的新型軟亞BCI-代數，有 H(x?y)?H(x)?H(y)=H(0)，又由引理1知 H(0)?H(x?y)，進而有 H(x?y)=H(0)，即 x?y∈XH，所以，XH是X的子代數。

定義10設X是任一參數集，H:X→P(U)是一個軟集，λ∈P(U)，對于?x∈X，Htλ(x)=H(x)?λ稱為H相對于λ的一個軟平移。

定理3設X為亞BCI-代數，H:X→P(U)為一個軟集，λ∈P(U)，若H是X的新型軟亞BCI-代數，則H相對于λ的軟平移Htλ是X的新型軟亞BCI-代數。

證明?x,y∈X，有：

證明若存在λ?ΣH使得H相對于λ的軟平移是X的新型軟亞BCI-代數，則有?x,y∈X，，即H(x?y)?λ?(H(x)?λ)?(H(y)?λ)=[H(x)?H(y)]?λ。?z∈H(x)?H(y)，有z∈[H(x)?H(y)]?λ?H(x?y)?λ。因為 z?λ，所以 z∈H(x?y)，即 H(x)?H(y)?H(x?y)。

因此，H是X的新型軟亞BCI-代數。

定理5設X1,X2為兩個亞BCI-代數，若(F,X1)和(G,X2)分別為X1和X2的軟集，且(H,X)=(F,X1)∧(G,X2)是 X的新型軟亞BCI-代數，則(HX1,X1)和(HX2,X2)分別是X1和X2的新型軟亞BCI-代數。

證明?x,y∈X1，有：

所以，(HX1,X1)是X1的新型軟亞BCI-代數。同理可證(HX2,X2)是X2的新型軟亞BCI-代數。

4 新型軟亞BCI-代數的一些新的等價刻畫

本章給出亞BCI-代數上的兩個軟集的合成運算的新概念，同時利用軟集的合成運算、水平集、廣義特征函數給出新型軟亞BCI-代數的新的等價刻畫。

定義11設(F,A)是A上的軟集，(G,B)是B上的軟集，若滿足：

（1）A?B；

（2）?x∈A，有 F(x)?G(x)。

注3 顯然，若且，則(F,A)=(G,B)。

定義12設X是亞BCI-代數，(F,X)和(G,X)分別為X的兩個軟集。定義(F°G,X)：

則(F°G,X)是X的軟集，并稱F°G為兩個軟集的合成。

因?z∈X,z?0=z，于是 X中的元素均有分解式x?y=z成立，所以上述定義是合理的。

定理6設X為亞BCI-代數，H:X→P(U)為一個軟集，則H是X的新型軟亞BCI-代數的充要條件是(H2,X)=(H,X)。

定理7設X為一個亞BCI-代數，H:X→P(U)為一個軟集，則H是X的新型軟亞BCI-代數的充要條件是 H 的 α -水平集 Hα:={x|H(x)?α,α∈P(U)}≠? 是X的子代數。

證明必要性：?x,y∈Hα，則 H(x)?α，H(y)?α,由 H 是 X 的新型軟亞BCI-代數，知 H(x?y)?H(x)?H(y)?α,即 x?y∈Hα，所以，Hα是 X 的子代數。

充分性：?x,y∈X ，若 H(x)?H(y)=?，則 H(x)?H(y)?H(x?y)；若 H(x)?H(y)≠? ，令 H(x)?H(y)=α，有H(x)?α且H(y)?α，那么，x∈Hα且y∈Hα。由Hα≠? 是 X 的子代數，知 x?y∈Hα，進而有 H(x?z)?α=H(x)?H(y)。

因此，H是X的新型軟亞BCI-代數。

定義13 設X 是亞BCI-代數，X1是X 的子集，X→P(U)是一個軟集，γ1,γ2∈P(U)，γ2?γ1，且滿足：

定理8設X為亞BCI-代數，X1是X的非空子集，則 X1是 X的子代數的充分必要條件是是 X的新型軟亞BCI-代數。

證明必要性：?x,y∈X，若x?X1或 y?X1，則有或，所以，。若 x,y ∈ X1，因 X1是 X 的子代數，有 x?y∈ X1,故H X1(γ1,γ2)(y)。

5 結束語

本文是文獻[27]研究工作的繼續。引入了兩個亞BCI-代數的并代數，這對亞BCI-代數本身研究也很有意義。由此產生了兩個軟集在并代數上的擴展交的新概念。另外還引入了軟集的軟平移、合成運算，利用這些代數結構對新型軟亞BCI-代數進行了新的刻畫。值得指出的是當U=[0,1]時，就得到了相應的猶豫模糊亞BCI-代數的結果（猶豫模糊集時的情形也未見研究）。進一步會用上述的這些代數結構去研究其他的邏輯代數的相關性質。