武漢市地鐵網絡復雜特性與魯棒性研究

甘俊杰，聶規劃，徐 迪

(武漢理工大學經濟學院，湖北 武漢 430070)

隨著我國經濟的快速發展，城市人口急速上升，在我國城市化進程腳步加快的背景下，我國大城市道路交通擁堵的現象日益嚴重。為了降低城市路面交通的負荷量，城市地鐵因其污染小、載客量大、安全系數高等優勢，逐漸成為各大城市及國家關注的熱點[1]。從1969年我國第一條地鐵線建成運營，至2016年末，我國累計30個城市建成投運地鐵線路共計134條，其中上海、北京、廣州等一線城市均已建成相當規模的地鐵網絡。武漢市作為我國中心城市之一，在經濟快速發展的同時，軌道交通同樣發展迅速。截至2016年12月28日，武漢市已投入運營地鐵線路5條共123座車站，運營規模直追北上廣等一線城市。

近年來隨著對“復雜網絡”研究的發展，國際上掀起了一輪利用復雜網絡理論研究現實網絡的熱潮。復雜網絡理論興起于20世紀60年代，其不僅能夠用以研究現實網絡的幾何性質，更能用以研究顯示網絡的形成機制與演化規律等[2]。武漢市地鐵網作為一種典型的現實網絡，基于復雜網絡理論對其進行特性分析，能夠直觀地反映地鐵網絡的各項結構特征，為武漢市地鐵的規劃建設提供理論依據與政策建議。

國內外學者對復雜網絡及地鐵網絡的復雜特性均有了初步的研究。在國外，Watts等[3]為了描述從一個局部有序系統到隨機網絡的轉移過程，提出了小世界網絡模型(WS);Latora等[4]研究了波士頓地鐵網絡的特性，并創造性地提出了網絡構造規則；Seaton等[5]對比分析了維也納和波士頓地鐵網絡，指出地鐵網絡具有聚類系數高和路徑長度短的特點，呈現出小世界網絡的特征。在國內，丁益民等[6]對我國北京、上海、廣州等城市的地鐵網絡進行了實證研究，并提出了一種基于社團結構的城市地鐵網絡模型，該模型很好地解釋了我國各城市交通運輸網的網絡特性；張晉等[7]基于復雜網絡理論和平面圖理論，針對北京市地鐵實際網絡及運營關系，分別構建了Space-L和Space-P拓撲結構模型，通過計算模型的統計特征指標，得出北京市地鐵網絡具有小世界性和無標度性；王燚等[8]、慈立坤等[9]利用復雜網絡理論研究了上海等大城市地鐵網絡的結構復雜性和結構脆弱性。

中國城市地鐵建設發展飛快，武漢市地鐵發展速度尤為驚人，但目前對我國城市地鐵網絡的研究多集中于北京、上海等大型城市，對于武漢這樣的中心城市尚缺乏研究。因此，本文以武漢市地鐵網絡系統為例進行了實證研究，通過運用復雜網絡理論和方法構建了武漢市地鐵網絡的Space-L和Scape-P網絡拓撲結構模型，分析了武漢市地鐵網絡的復雜特性，并對武漢市地鐵網絡的魯棒性進行了研究。該研究成果可為武漢市地鐵網絡的日常維護及安全運營提供合理的建議。

1 武漢市地鐵網絡及統計參量

網絡圖是用來構建并分析現實網絡的基礎研究方法，一個具體的現實網絡可利用圖論方法抽象為一個由點集V和邊集E組成的一個對，一般表述為圖G=(V,E)。本文通過定義地鐵網的拓撲結構來研究實際的地鐵網絡。將地鐵站點定義為節點，站點間的相互聯系定義為連邊，但根據節點連接關系的不同表述，建立實際地鐵網絡模型和復雜網絡模型的方法常分為Space-L網絡拓撲結構模型和Space-P網絡拓撲結構模型。在Space-L網絡拓撲結構模型中，點集代表站臺集合，若站臺i和站臺j是相鄰站臺，則節點i和節點j之間存在連邊；與之不同的是，在Space-P模型中，若站臺i和站臺j是處于同一地鐵線路中，則節點i和節點j之間存在連邊。

圖1給出了兩種不同網絡拓撲結構模型(Space-L網絡拓撲結構模型和Space-P網絡拓撲結構模型)表示的一個簡單的地鐵網絡，分別用數字1,2,…,9對站點進行編號。該地鐵網絡實際包含兩條地鐵線路，編號1～5的節點構成線路1，節點3及節點6～9構成線路2。圖1(a)中，Space-L網絡拓撲結構模型很好地還原了實際地鐵網絡的地理結構，保留了地鐵網絡的基本網絡特性；圖1(b)中Space-P網絡拓撲結構模型則很好地反映了地鐵網絡的換乘狀況。

圖1 地鐵網絡的拓撲結構模型Fig.1 Topological structure models of metro network

由圖1可見，城市地鐵網絡由一系列節點與節點間的連邊組成，因此常引入一些統計變量用以描述地鐵網絡的復雜特性。本文對地鐵網絡的復雜特性描述如下[10]：

(2) 節點的聚類系數。節點的聚類系數Ci是用來衡量網絡節點分布的密集程度的物理量，其定義為節點i的所有鄰接節點之間實際存在的連邊數目Ei除以可能的最大連邊數目，即Ci=2Ei/[ki·(ki-1)]。在交通運輸網絡中，節點的聚類系數反映了網絡站點分布的疏密程度。

2 武漢市地鐵網絡的復雜特性分析

本文選取武漢市2017年底地鐵規劃線路圖(見圖2)進行實證分析。結合武漢市地鐵實際網絡，利用圖論思想構建地鐵網絡的鄰接矩陣，并利用Ucinet 6.2版本軟件分別構建了Space-L網絡拓撲結構模型和Space-P網絡拓撲結構模型，對武漢市地鐵網絡的復雜網絡特性進行分析。統計發現：在2017版武漢市規劃的地鐵網絡中，共有7條地鐵線路148個站點。

圖2 武漢市2017年底地鐵規劃線路圖(數據來源：武漢市地鐵網)Fig.2 Metro planning line map of Wuhan City at the end of 2017

2.1 Space-L網絡拓撲結構模型分析

2.1.1 節點的度與度分布

在Ucinet軟件中沿路徑Network—Centrality—Degree得到網絡節點的度值，利用Origin進行數據處理并作圖，得到Space-L網絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網絡節點的度與度分布，見圖3。

圖3 Space-L網絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網絡節點的度與度分布Fig.3 Node degree and node distribution of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖3可見，武漢市地鐵網絡節點度的最大值為6，最小值為1(各線路起始站)，而網絡節點度的平均值為2.23；節點度為2的站點占比76.4%，說明武漢市地鐵網絡中大部分站點只與同線路中的兩個相鄰站點具有連接關系。

2.1.2 節點的聚類系數

上述分析結果表明大部分節點的度值為2，說明在武漢市地鐵網絡中大部分節點只與同線路的2個節點建立連接，因此在Space-L網絡拓撲結構模型中節點間表現出很微弱的集聚性。沿路徑Network—Cohesion—Clustering coefficient計算各節點的聚類系數C并繪制散點圖，見圖4。

圖4 Space-L網絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網絡 節點的聚類系數散點圖Fig.4 Scatter plot of the node clustering coefficient of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖4可見，除17、18、19、20、38、120號節點具有較小的聚類系數(C=0.167)外，其余各節點的聚類系數均為0，武漢市地鐵網絡節點的平均聚類系數為0.007。

2.1.3 節點間的最短路徑長度

沿操作路徑Cohesion—Distance計算節點間最短路徑長度L的概率分布和累計概率分布并繪圖,見圖5。

圖5 Space-L網絡拓撲結構模型中的武漢市地鐵網絡 節點間最短路徑長度的概率分布和累計概率分布Fig.5 Probability distribution and cumulative probability distribution of the shortest path length between the nodes of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖5可見，武漢市地鐵網絡節點間最短路徑長度L的概率分布圖形擬合為一個非對稱的單值函數，各節點間最短路徑長度的最大值為28，大部分節點間的最短路徑長度為10，這意味著大部分站點間的可達距離為10站，網絡的平均最短路徑長度為10.617[見圖5(a)]；約50%節點間的最短路徑長度小于10，約90%節點間的最短路徑長度小于15[見圖5(b)]，說明在武漢市乘坐地鐵具有很高的出行效率。

2.2 Space-P網絡拓撲結構模型分析

2.2.1 節點的度與度分布

由于同一線路的節點彼此相連，因此Space-P網絡拓撲結構模型中的節點比Space-L網絡拓撲結構模型中的節點擁有更大的節點度。本文利用第2.1.1節中節點度計算路徑的相同方法分析，得到Space-P網絡拓撲結構模型中節點度的最大值為55，最小值為11，而網絡節點度的平均值為25.70。由于節點度值的差異較大，因此本文采用累積分布函數研究節點的度分布，即在雙對數坐標下對節點的累計度分布進行圖像擬合，其擬合結果見圖6。

圖6 雙對數坐標下Space-P網絡拓撲結構模型中 武漢市地鐵網絡節點的累計度分布Fig.6 Cumulative distribution of node degree of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model in double logarithmic coordinates

由圖6可見，在Space-P網絡拓撲結構模型下的武漢市地鐵網絡具有無標度網絡的特性。分析原因認為：不同地鐵站由于其所處地理位置的不同，一些處于最佳商業位置的地鐵站點會擁有更大的可能性連接其他節點，因此導致節點度的冪率分布。

2.2.2 節點的集聚系數

與Space-L網絡拓撲結構模型不同，Space-P網絡拓撲結構模型中的節點表現出非常高的密集度。圖7為Space-P網絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網絡節點的集聚系數C。

圖7 Space-P網絡拓撲結構模型中武漢市地鐵 網絡節點的聚類系數CFig.7 Clustering coefficient of nodes C of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖7可見，約72.3%的節點擁有0.9以上的集聚系數，而網絡節點的平均集聚系數為0.883。分析原因認為：在Space-P網絡拓撲結構模型中由于絕大部分站點只屬于一條線路，這樣的站點只與該線路上的其他節點相連，因此表現出節點的集聚系數接近于1的特性。

2.2.3 節點間的最短路徑長度

在Space-P網絡拓撲結構模型中，節點i與節點j之間的最短路徑長度dij用來表示兩站點間的換乘次數，即換乘次數=dij-1。圖8為Space-P網絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網絡節點間最短路徑長度的概率分布。

圖8 Space-P網絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網絡 節點間最短路徑長度的概率分布Fig.8 Probability distribution of the shortest path length between the nodes of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖8可見，武漢市地鐵網絡各節點間最短路徑長度的最大值為3，說明從任意一個站點到其他任何站點最多需要換乘2次；網絡中約66%的節點間的最短路徑長度為2，節點間的平均最短路徑長度為1.99，表明在武漢市乘坐地鐵一般只需要換乘1次即可，這體現了武漢市地鐵出行的高效性。

3 武漢市地鐵網絡的魯棒性分析

3. 1 地鐵網絡魯棒性的評價指標

式中:G為網絡最大連通子圖節點比例；N′為遭受破壞后的網絡包含的最大連通分支中的節點數；N為全局網絡的節點數。

3.2 地鐵網絡隨機故障和蓄意攻擊兩種策略

地鐵網絡遭受的故障可能包括自然環境災難、機器故障或信號問題等，遭受的攻擊可能包括惡意攻擊和恐怖襲擊。故障具有隨機性，而攻擊則包含很強的目的性，為造成最大的攻擊效果，一般會選擇攻擊網絡中的重要節點。為了更好地還原實際地鐵網絡的拓撲結構，本文以武漢市地鐵網絡為例，采用Space-L網絡拓撲結構模型對武漢市地鐵網絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊后的網絡拓撲結構進行了仿真模擬。在本次仿真模擬過程中，通過MATLAB產生隨機數的方式模擬站點故障，通過去除最高節點度值的節點用以模擬蓄意攻擊，同等度值的節點同樣通過隨機數的方式進行選擇性剔除。為了避免仿真模擬結果產生較大的偏差，本次在同等條件下進行5次仿真模擬試驗，并對每次試驗后的網絡最大連通子圖節點比例Gi取平均值,以得到最后的G值。最后模擬得到武漢市地鐵網絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊兩種情況下，模擬節點3失效后網絡拓撲結構的仿真結果，見圖9。

圖9 武漢市地鐵網絡遭受隨機故障和蓄意攻擊后的 網絡拓撲結構示意圖Fig.9 Schematic diagram of the network topology of Wuhan metro network after random failure and deliberate attack

3.3 節點失效策略下地鐵網絡連接效率的仿真試驗

依照前述提出的衡量地鐵網絡魯棒性的指標以及相應的仿真模擬策略，本文基于Space-L網絡拓撲結構模型對武漢市地鐵網絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊后的連接效率進行了仿真試驗，以檢測地鐵網絡的魯棒性。通過MATLAB仿真模擬并計算得到武漢市地鐵網絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊時網絡最大連通子圖節點比例G(即網絡連接效率)的變化曲線，見圖10。

圖10 節點失效策略下武漢市地鐵網絡連接效率的 變化曲線Fig.10 Curves of the link efficiency of Wuhan metro network under node failure strategy

由圖10可見，當武漢市地鐵網絡站臺節點遭受隨機故障時，15個節點連接失效將導致全局網絡最大連通子圖節點比例下降到72%，網絡整體失效率為28%，單個節點失效平均造成全局網絡失效率達1.87%，即表明在武漢市地鐵網絡中，當有10%度數大的站點遭遇隨機故障而停止運營時，網絡全局效率為無站點故障時的72%。以上仿真模擬試驗數據表明：武漢市地鐵網絡具有較好的魯棒性，能夠有效應對可能出現的站點隨機故障問題。這是因為在武漢市地鐵網絡中，度數為2的節點占比達76.4%，這意味著在隨機選擇故障節點時，有極大的概率選中這些度數為2的節點，而這些節點失效對網絡全局效率的影響非常有限。

此外，由圖10還可見，當武漢市地鐵網絡站臺節點遭受蓄意攻擊時，15個節點連接失效直接導致全局網絡最大連通子圖節點比例下降到42%，網絡整體失效率高達58%，單個節點失效平均造成全局網絡失效率高達3.87%，為隨機故障時的2.07倍，即表明在武漢市地鐵網絡中，當有10%度數大的站點遭受蓄意攻擊而停止運營時，網絡全局效率僅為無站點遭受攻擊時的42%，此時整個地鐵網絡幾近癱瘓。這是因為當人為蓄意攻擊地鐵站點時，攻擊者往往會選擇攻擊度數較大的節點，而這些節點一般處于地鐵網絡的中心位置，節點失效會造成多條通過該節點的線路失效，從而嚴重影響地鐵網絡的連通性。

通過對上述仿真試驗結果分析可知，武漢市地鐵網絡對隨機故障具有較好的魯棒性，但是對可能遭受的蓄意攻擊表現出脆弱性，這是無標度網絡魯棒性的體現。因此，對于地鐵網絡的管理者而言，對地鐵網絡中度數較大的站點應加強巡視與安檢力度，以最大限度地保證整個地鐵網絡暢通運行，從而提高服務效率。本文列出了武漢市地鐵網絡中節點度值排名前15位的站點，詳見表1。

由表1可知，歸屬地鐵線路1、2、3、6號線的站點數均為5個，歸屬地鐵線路4、7號線的站點數為4個，歸屬地鐵線路8號線的站點數為3個，說明在武漢市地鐵網絡中，1、2、3、6號線承擔著主要的換乘任務，共計覆蓋的換乘站點數達到88%，體現出這些站點在地鐵網絡中的重要性。

表1 武漢市地鐵網絡中節點度值排名前15位的站點

4 結 論

本文對武漢市地鐵網絡進行了實證研究。首先利用復雜網絡理論分別構建了武漢市地鐵網絡的Space-P和Space-L網絡拓撲結構模型，并分別對其進行了復雜網絡特性分析；然后研究了武漢市地鐵網絡的魯棒性，通過制定武漢市地鐵網絡隨機故障和蓄意攻擊兩種策略，基于Space-L網絡拓撲結構模型對武漢市地鐵網絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊后的連接效率進行了仿真試驗，以檢測武漢市地鐵網絡的魯棒性。得到的主要結論如下：

(1) 通過對武漢市地鐵網絡的Space-L網絡拓撲結構模型進行復雜網絡特性分析，結果表明：網絡中76.4%的節點度為2，說明絕大多數站點只與前后兩個站點相連；網絡的平均最短路徑長度為10.617，說明網絡節點中地鐵站間的平均可達站臺數為10，即居民出行平均乘坐地鐵站點數為10個；90%節點間最短路徑長度小于15，最大節點間距離為28，這表明乘坐武漢市地鐵出行的高效性。

(2) 通過對武漢市地鐵網絡的Space-P網絡拓撲結構模型進行復雜網絡特性分析，結果表明：網絡節點度服從冪率分布，說明武漢市地鐵網絡具有無標度性；網絡節點間最短路徑長度平均值為2，說明武漢市居民乘坐地鐵出行時，從起點到終點一般只用換乘1次，這再次驗證了武漢市地鐵網絡運行的高效性與設計的科學性。

(3) 對武漢市地鐵網絡中的站點分別采用隨機故障和蓄意攻擊兩種方式使其失效，以仿真試驗檢驗武漢市地鐵網絡的魯棒性。結果表明：武漢市地鐵網絡在遭遇站點隨機故障時，具有很好的魯棒性；而以最大度節點作為蓄意攻擊目標時，網絡表現出脆弱性，且度值越大的節點失效造成全局網絡效率下降越快，當較多度值大的節點實效后，整個網絡將幾近癱瘓。對武漢市地鐵網絡魯棒性進行仿真模擬的實際意義在于：地鐵管理者應加強對節點度值較高站臺的日常維護與安全檢查，以保障重要節點的正常運行，防止造成地鐵網絡大面積的癱瘓。