淺談函數二階導數零點和函數對稱中心關系的探究

于彭博 陳奪

摘 要：高中數學關于函數性質的考察占總分的很大一部分，而且其變換種類多、解題方法靈活。經常作為選擇填空的壓軸題出現在試卷中，對學生有很大的區分度。但是只要掌握了一定的技巧，一些題就可以迎刃而解。所以掌握一定這樣的技巧對于高考有莫大的幫助，本文主要簡單介紹函數的對稱性和其二階導零點的關系，以其為高中數學函數部分提供一個靈活的解題方法。

關鍵詞：高中數學；函數；導數

經過若干次對三次函數，形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的圖象研究，我們發現其圖像有中心對稱的特點。因此我們猜想，其二階導數的零點是其對稱中心的橫坐標，證明如下

令f（x）=ax3+bx2+cx+a.

則f'（x）=3ax3+2bx+c. f''（x）=6ax+2b.

令f''（x）=0，則有x=-.

將x=-帶入f（x）=ax3+bx2+cx+a

得到一個點（-，f（-））.

但是，這個點究竟是不是該函數的對稱中心呢？

我們可以設他的對稱中心為（m，n）按向量a=（-m，-n）將函數的圖像平移，則所得函數y=f（x+m）-n是奇函數。

所以 .

將其化簡可得 .

上試對x∈R恒成立，故：3ma+b=0得m=-.

.

所以函數y=ax3+bx2+cx+d的對稱中心是（-，f（-））.

對此我有一個猜想：如果一個函數有對稱中心，那么使它二階導為0的x值是不是其對稱中心的橫坐標呢？下面是我的證明過程。

首先，我們有一個函數f（x）在x∈R上可導，它的稱中心是（a，b）那么根據導數的幾何意義，其關于（a，b）對稱的點對應的導數的值應該相等。即f'（a-x）=f'（a+x）那么x=a一定是它的一個極值點（極大值或者極小值點）再一次根據導函數的定義，其導函數，即f''（x）的零點的橫坐標為x=a即可得證。

關于這個猜想的應用，有如下兩道例題.

例一：已知函數f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+2017在[-2016，2018]上的最大值為M，最小值為m，求M+m為何值。

本題的一般解答方法是構造新函數后進行平移.

令 .

整理得 .

易得 是奇函數.

所以g（x）的對稱中心為（1，2018）.

所以M+m=2×2018=4036.

現在我們使用本文猜想求解.

我們可以求出這個函數的二階導：

可得f''（1）=0 f（1）=2018

所以f（x）關于（1，2018）中心對稱.

所以f（x）的最大值點（x1，M）與最小值點（x2，m）中心對稱.

所以M+m=4036.

例二：已知函數f（x）=x3+x2+x+若函數y=f（x+a）+b為奇函數，則a+b=

應用猜想，我們可以得到f''（x）=2x+2

令f''（x）=0則有x=-1

將x=-1帶入f（x）=x3+x2+x+

得f（1）=1所以該函數的對稱中心為（-1，1）

平移后可得a=1，b=1

所以a+b=2

通過這兩種方法的比較我們可以看出，構造函數這種方法很難想到，一旦在考場上想不到關鍵點，就會束手無策，導致考題做不出，有時甚至影響后面的答題。但如果應用此猜想，就可以很便捷的找到破題的關鍵——即函數的對稱中心從而迅速求解。這個猜想適用于高中階段所接觸到的簡單的函數，在面對一些考察函數對稱性的問題時，應用此定理會節省很多時間，而不需要去配湊、構造函數，從而達到對這類問題的順利求解的目的。（指導教師：程欣）

參考文獻：

[1]李志邊.函數的零點問題的探究[J].文中數學教與學，2012（3）.

[2]張明亮主編.步步高？高考總復習？新課標.黑龍江教育出版社，2010.2.

[3]孫翔峰主編.三維設計？高考總復習？新課標.光明日報出版社，2011.4.