融合新型偏好度模型和改進累積前景理論的決策方法

項華春,李京峰,陳云翔,李正欣

(空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院,陜西 西安 710051)

0 引 言

累積前景理論[1-5]自提出以來已被廣泛應用,被認為是最有影響力的理論。該理論考慮到人們在不確定條件下的心理行為,被應用于各種決策問題,涉及資產配置[6-9]、交通管理[10-14]、多屬性決策[15-19]以及應急決策[20-21]等領域。在多屬性決策方面,大多數研究通常基于傳統的期望效用理論,該理論假設決策者完全理性,但存在Allias悖論和Ellsberg悖論等無法解釋的現象[22]。累積前景理論與期望效用理論有兩個主要的偏差:非線性決策權重和損失規避。基于有限理性假設,累積前景理論解決了期望效用理論無法解決的問題,因此成為近年來研究的熱點。

文獻[22]針對準則值為區間直覺模糊數,準則權重分別為完全未知和部分已知的多準則決策問題,提出一種基于前景理論的決策分析方法;文獻[20]針對在風險和不確定性下決策者總是有限理性的,且現有逼近理想解排序法(technique for order performance by similarity to ideal solution，TOPSIS)方法很少關注專家心理行為這一問題,提出了一種基于前景理論的區間動態參考點決策方法;文獻[23]針對突發事件的動態性及信息的不確定性等特征,提出基于前景理論的應急方案動態調整方法;文獻[24]針對屬性權重未知、屬性值為猶豫模糊集的決策問題,提出一種前景理論和逼近理想解相結合的多屬性決策方法;文獻[25]針對復雜環境下決策者對于應急事件做出的決策往往會面臨偏好轉移的問題,提出一種新的大群體風險型動態應急決策方法;文獻[26]針對現實世界中發生緊急事件單個決策者很難做出全面決策且決策者理性有限的問題,引入專家心理行為,提出一種基于前景理論的群決策方法。上述研究豐富和發展了累積前景理論在決策方法上的應用,一定程度上克服了不考慮專家心理行為的局限。但是文獻[22-25]所采用的心理參考點均為精確值,未能很好滿足不確定性決策問題以及緊急復雜問題的實際和需求。文獻[20]雖然進行了改進,將心理參考點變為區間值,但是采用單一專家決策,結果有失合理性。文獻[26]在文獻[20]的基礎上采用專家群體進行決策改進,但專家賦權采用等權重,且屬性賦權方法造成一定程度的信息丟失。

因此,針對以上不足,本文提出一種融合新型偏好度模型和改進累積前景理論的決策方法。首先考慮到決策問題的不確定性和復雜性,將屬性值和心理參考點改進為區間值;然后根據區間心理參考點的二維幾何表示定義新型偏好度模型,簡化計算,并基于此確定專家權重和屬性權重;由收益值和損失值的計算公式,確定各備選方案的前景值,結合權重向量確定總前景值,進而得到方案排序和最優方案;最后通過案例和方法對比進行驗證。

1 基礎理論及框架定義

1.1 基礎理論

累積前景理論[1]是由Daniel Kahneman和Amos Tversky在1979年提出的前景理論[2]基礎上改進得到的行為經濟學理論。研究表明,人們的心理行為可以分為風險規避傾向和風險偏好傾向,同時在決策過程中,人們首先確定一個心理參考點(psychological reference point,RP),根據RP確定收益或者損失的心理預期,然后利用收益或損失的潛在價值做出決策,選擇具有較高前景價值的備選方案。

根據累積前景理論中參考依賴、敏感度下降和損失規避3個重要原則,提出了S型的價值函數,定義如下。

定義1累積前景理論中以冪形式給出價值函數v(x)，表示為

式中,當x≥0時,x表示收益值,當x<0時,x表示損失值；α和β分別表示對收益和損失的敏感程度,且0≤α,β≤1；λ表示風險規避參數,λ>1放大了決策者對損失的敏感程度。

1.2 群決策問題的框架定義

本文提出方法所要用到的相關符號如下所示。

E={e1,e2,…,eK}表示參與決策的專家組,其中ek代表第k個專家,k=1,2,…,K。

A={a1,a2,…,aM}表示備選方案的集合,其中am代表第m個備選方案,m=1,2,…,M。

C={c1,c2,…,cN}表示備選方案屬性的集合,其中cn代表第n個備選方案屬性,n=1,2,…,N。

2 方法原理

2.1 新型偏好度模型

本文提出一種新型偏好度模型,該模型以幾何表示(面積)為基礎進行相關定義,進而設計偏好度公式,最終明確區間心理參考點之間的偏好程度。

(1)

圖1 規范化IRP的幾何表示Fig.1 Geometric representation of the normalized IRP

(1) 點A在線段ON上,該情景下正方形MONP被劃分為兩部分;

(2) 點A在線段OM上,該情景下正方形MONP被劃分為兩部分;

(3) 點A在線段MP上,該情景下正方形MONP被劃分為兩部分;

(4) 點A在線段NP上,該情景下正方形MONP被劃分為兩部分。

觀察圖1發現,四邊形AA1PA2區域內所有點表示的區間心理參考點均大于點A,四邊形OA3AA4區域內所有點表示的區間心理參考點均小于點A。然而,四邊形NA1AA4和四邊形MA2AA3區域內的點與點A之間的大小關系并不確定。

根據規范化后區間心理參考點幾何表示中非重疊的四邊形區域,IRP的偏好度概念定義如下。

P(A>B)=

(2)

此外,需要注意一種特殊情景。當P(A>B)=0.5時,可以是xA=xB且yA=yB,亦可以是(xA-xB)(yA-yB)<0這兩種條件,此時A等價于B,記作A～B。

對于xA=xB且yA=yB,A等價于B是顯然的。對于(xA-xB)(yA-yB)<0這一情景,可舉例說明,例如,當xA=0.2,yA=0.3;xB=0.3,yB=0.2時,P(A>B)=0.5,作圖根據對稱性可知,A～B。這與文獻[27]中所述直覺模糊數的應用有所差別,不需要求出點A到線段MN的距離作為參考。

2.2 基于新型偏好度模型的屬性權重確定

在目前多數研究中,對于不同的決策專家,屬性權重被視為相同。然而在實際應用當中,因專家知識、經驗及背景的差異,不同屬性往往有不同的重要性。如果關于一個屬性所有專家意見差異甚微,那么該屬性對于決策結果影響不大。相反,如果專家意見差異明顯,則該屬性在決策進程中扮演重要角色。因此,對于專家意見差異明顯的屬性應分配較大權重,反之則分配較小權重。

(3)

按照專家意見差異明顯的屬性應分配較大權重的原則,結合式(3)得到屬性權重向量WC=(wc1,wc2,…,wcN),其中

(4)

2.3 基于新型偏好度模型的專家權重確定

專家權重的確定在群決策問題中至關重要,目前,已有許多不同的方法確定專家權重。文獻[28]提出模糊層次分析法(fuzzy analytic hierarchy process，FAHP)確定權重,考慮過多主觀因素;文獻[29]利用熵值法直接求解權重,忽略專家意見;文獻[30]提出一種基于距離的群決策方法,忽略了專家在決策過程中的心理行為。同時,這3種權重確定方法均是針對精確值,對本文提出的區間值不適用。

通常情況下,決策專家群體的共識程度大小反映出所有個體之間意見的一致性高低。群組意見的一致性越高,說明決策結果越合理。因此,本文認為專家ek與決策群體之間的意見分歧越小,越應該分配較大的權重,基于此,求解專家權重。

(5)

(6)

(7)

根據式(7)可以得到決策專家組權重向量WE=(we1,we2,…,weK)。

2.4 專家意見聚合

以上已經指出RP在累積前景理論中的重要性,GRP在基于改進累積前景理論的多屬性群決策中同樣重要。

由于單個專家形成的區間心理參考點IRP僅僅代表該專家個人意見,若以此為參考進行收益值和損失值的計算往往會造成偏差或者極端現象等情況發生,所得結果過于片面。因此,若把具有不同知識、經驗背景的各個專家形成的區間心理參考點IRP,結合各個專家的權重經過加權聚合而來,得到群參考點GRP,代表所有專家的期望,便能綜合考慮每位專家的意見,相比單個專家意見更加嚴謹、合理。其中專家權重向量已由式(7)解得,即WE=(we1,we2,…,weK)。因此,所有專家關于屬性cn的區間心理參考點GRPn為

(8)

2.5 收益值和損失值的確定方法

根據累積前景理論,收益值和損失值取決于專家組的心理行為,比如風險規避或風險偏好。為了依據GRPn和Pmn對不同備選方案進行評價,有必要確定二者之間的關系。由于GRPn和Pmn均為區間值,因此有6種可能的位置關系,如表1所示[26]。

表1 GRPn與Pmn可能的位置關系Table 1 Possible positional relationship between GRPnand Pmn

(9)

針對表1中6種不同的情景,表2和表3分別給出了對于成本型屬性和效益型屬性,收益值和損失值的計算公式。記備選方案am關于屬性cn的收益值為Gmn,損失值為Lmn。下面僅以表2成本型屬性下情景1為例解釋說明。

表2 成本型屬性在不同情景下的收益值和損失值Table 2 Gains and losses of cost attributes under different cases

Lmn=0,m=1,2,…，M,n=1,2,…,N

(10)

根據定義3,專家的收益為

(11)

已知變量x的概率密度函數,結合式(9)和式(11),得到

(12)

表3 效益型屬性在不同情景下的收益值和損失值Table 3 Gains and losses of benefit attributes under different cases

同理,表2中其余5種情景及表3中所有公式的證明均可參考上述過程。需要特別說明的是,關于情景5,最終結果是收益還是損失取決于Gmn與Lmn之和。

2.6 前景值的確定方法

根據文獻[1-2],前景值反映了專家的心理行為。當前景值大于等于0時,專家對其判斷結果感到滿意,否則會對其判斷結果感到后悔,通過運用累積前景理論,專家的心理行為被清晰地描述。

基于表2和表3,構造“收益-損失矩陣”(GLM),令GLM=(xmn)M×N,其中xmn代表Gmn或者Lmn。由此,備選方案am關于屬性cn的前景值為vmn

(13)

(14)

2.7 總前景值的確定方法

(15)

總前景值OVm越大,備選方案am越優,因此可以得到所有備選方案的排序,進而得到最優備選方案。

綜上所述,本文提出的融合新型偏好度模型和改進累積前景理論的決策方法步驟如下:

步驟1問題描述,定義群決策問題的基本框架。

步驟4專家意見聚合。已知決策專家組權重向量WE=(we1,we2,…,weK),由式(8)得到所有專家關于屬性cn的區間心理參考點GRPn。

步驟5確定收益值和損失值。根據表1判斷GRPn和Pmn的位置關系,然后由表2或者表3的計算公式確定收益值Gmn與損失值Lmn。

步驟6計算前景值。利用步驟5中得到的結果構造“收益-損失矩陣”(GLM),進而由式(13)得到前景值矩陣V=(vmn)M×N,經式(14)進一步規范化處理。

步驟7計算總前景值。由式(15)得到每一個備選方案的總前景值OVm,選擇最優方案。

3 案例分析

為了證明本文所提方法在解決多屬性群決策問題上的適用性,利用文獻[20,26]采用的研究案例(詳細內容參考文獻[20,26]),并與其他方法進行比較和討論。

3.1 案例背景

案例以我國西南某地區應對堰塞湖搶險救災為背景,在未來的72 h內,可能有4個潛在的堰塞湖緊急狀態:

(1) 堰塞湖壩體不會破壞;

(2) 堰塞湖壩體1/3將破壞;

(3) 堰塞湖壩體1/2將破壞;

(4) 堰塞湖壩體全部破壞。

針對這種緊急情況,當地政府組織人員從堰塞湖上游和下游最危險的地區撤離到安全地區,并通知處于潛在危險地區的人們準備疏散。同時,提出了4種應急方案,記為A={a1,…,a4},其中包含3個屬性[20],記為C={c1,c2,…,c3},c1代表影響人群,c2代表財產損失,c3代表方案成本。

a1:打開閘門的一小部分,以滿足堰塞湖洪水排放的要求。

a2:打開閘門數量的一半,增加上下游堰塞湖和水電站的聯合調度,減輕堰塞湖的壓力。

a3:打開所有閘門,動員大型、重型機械,實施小型爆破,盡可能降低堰塞湖的水位,減小潰壩風險。

a4:打開所有水閘,增加上下游堰塞湖和水電站的聯合調度。同時調動大型、重型機械,實施大型爆破,盡可能降低堰塞湖的水位,減小潰壩風險。

根據文獻[26]中表7得到區間屬性值矩陣P為

3.2 確定相關權重

(1) 屬性權重

(2) 專家權重

3.3 確定方案排序

通過式(8)聚合專家意見,得到所有專家關于屬性cn的區間心理參考點GRPn,即GRP1=[4 521.676,7 169.228],GRP2=[3 337.25,4 396.654],GRP3=[498.524 7,561.679 5]。

由表1中GRPn和Pmn的位置關系和表2、表3的計算公式確定“收益-損失矩陣”(GLM)

通過式(15)和屬性權重向量WC=(0.236 0,0.402 1,0.361 9)得到每一個備選方案的總前景值,即OV1=-0.202 3,OV2=0.088 5,OV3=0.174 3,OV4=0.132 2,備選方案排序為a3>a4>a2>a1,即方案a3為最優方案。

3.4 比較分析

為了進一步說明本文所提方法的有效性和可行性,與其他3種方法進行比較。

(1)未考慮專家在決策過程中的心理行為,使用文獻[30]提出的基于距離的群體應急決策方法與本文所提方法進行比較。

(2)只考慮單個專家的意見,使用文獻[20]提出的基于前景理論的區間動態參考點應急決策方法與本文所提方法進行比較。

(3)將專家權重簡單視為等權重,使用文獻[26]提出的基于前景理論的群體應急決策方法與本文所提方法進行比較。

3.4.1 對比方法一

由于文獻[30]中方法處理的數值均為精確值,為不失公平性,分別選取矩陣P和矩陣R中區間值的下界、上界和中點計算決策結果及相關權重,如表4所示。

表4 方法一對比結果Table 4 Comparison results of method one

由表4可以發現,按照文獻[30]中基于距離的群體應急決策方法計算出的結果與本文所得結果相似,不同點在于最優方案分別是方案a3和方案a4。這是由于本文方法中結合累積前景理論引入了決策專家的心理行為,通過考慮收益值與損失值體現專家心理行為在群決策中的重要意義,也更好地反映了現實社會中人們的思維方式及習慣,然而文獻[30]沒有融合這一信息。

3.4.2 對比方法二

為體現群決策的重要性,分別利用矩陣R中每個專家提供的區間心理參考點進行計算,對比結果如表5所示。

表5 方法二對比結果Table 5 Comparison results of method two

表5展示了使用文獻[20]中方法,5位專家不同的決策結果。由于單一專家對情景的判斷容易產生偏差,因此具有不同知識經驗的專家決策結果往往不同。使用專家群體,通過分配權重聚合多人意見則會防止極端判斷的產生,使決策結果更加可靠、合理。

3.4.3 對比方法三

由于文獻[26]未對專家權重如何確定進行討論,僅使用等權重顯然欠缺合理性,且屬性權重確定過程中只考慮各專家關于某一屬性的正負參考點的距離,專家之間的相互關系沒有充分體現,與本文所提方法對比結果如表6所示。

表6 方法三對比結果Table 6 Comparison results of method three

據表6可知,兩種方法的排序結果相同,說明了本文的有效性與合理性,但是本文關于屬性權重和專家權重的計算更加精確合理。本文屬性權重向量為WC=(0.236 0,0.402 1,0.3619),文獻[26]的為WC=(0.367 6,0.314 1,0.318 3),顯然文獻[26]的屬性權重區分度不大,沒有很好地突出某一屬性應為關注重點,而本文的屬性權重則較好地實現這一目標;本文專家權重向量為WE=(0.195 1,0.195 9,0.224 6,0.214 4,0.170 0),文獻[26]為等權重,即WE=(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2),顯然將5位專家平等看待違背常識,有失合理性,本文則將5位專家加以區分,權重更加精確、合理,符合實際決策需要。

4 結 論

本文提出了一種融合新型偏好度模型和改進累積前景理論的決策方法。該方法首先以累積前景理論為基礎,考慮到專家在決策過程中的心理行為,克服了以往多屬性群決策方法中不考慮專家心理行為的局限。其次,將累積前景理論中的心理參考點RP進行改進,從精確值變為區間值GRP,更加符合不確定性決策問題以及緊急復雜問題的實際和需求。最后,本文提供了一種便于計算的新型偏好度模型,基于該模型確定了屬性權重和專家權重,使權重更加精確、合理,進而使不同屬性之間的區分度更高,專家意見更加一致。通過案例與其他3種方法公平比較,本文提供了更好的決策結果,最終證明了本文所提方法的有效性、可行性和實用性。