突出數學思維的教學設計

肖占魁

摘要：本文以《高等代數》中的多項式為例，探討突出數學思維方式，特別是代數學思維方式的教學設計。以中學知識為出發點，以多項式分解為目標將相關知識點體系化。

關鍵詞：高等代數；數學思維；多項式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）49-0067-02

一、引言

《高等代數》是大學數學專業在一年級開設的核心基礎學位課之一，與《數學分析》一起構成了整個大學數學專業知識體系的基石。然而這兩門課具有知識點多、難度大、要求高等特點，從我們的實際教學效果來看，很多同學都是從這兩門課開始恐懼數學的。為提高教學質量，當前數學教學的一個趨勢就是以中學知識點和實際例子出發，用數學思維循序漸進地推進知識點，最終形成知識點的網絡體系。這樣便于學生在初學時有熟悉感和自信心，在知識點的推進過程中又有利于培養學生的數學思維和數學能力。

“代數學是研究代數對象的結構理論與表示理論的一門學科”[1]。這里結構理論我們理解為以分類與分解兩種方式呈現出來，而表示理論更傾向于工具，即用一些簡單的、熟悉的代數對象反映出復雜代數對象的某些性質。本文以多項式為例說明我們是如何突出數學思維來設計教學方案的。

二、針對多項式的教學設計

1.知識點的引入。中學數學的一個重點是二次多項式的根的分布（稱為韋達公式），等價的描述就是將一個二次多項式分解成兩個一次因式的乘積。因此教學中明確告訴學生我們的目標就設定為如何把一個n次多項式的根全部找到，或者說如何將它分解成一次因式的乘積。由于實二次多項式可能有一對共軛的復根，因此這個問題的解答必定涉及到具體的數域。

2.建立運算。數域F上的多項式全體F[x]是我們現在需要研究的代數對象，由于“代數對象是在一個集合上定義若干運算，且滿足若干公理所構成的代數系統”[1]，所以多項式作為研究的目標對象，我們首先要考慮其上的運算規則。多項式集合F[x]關于加法和數乘構成一個線性空間，然后引入乘法構成一個F-代數；這樣就自然的引出一個問題：除法如何推廣？

結合中學數學的具體例子，這個問題有兩條解決途徑。一是直接定義除法為乘法的逆運算，即設f（x），g（x）∈F[x]如果f（x）g（x）=1，那么f（x）稱為g（x）的逆。容易計算得到f（x），g（x）都是非零常數，所以為了運算的封閉性，我們以整數集合為模板做適當調整，這樣就引入了第二種途徑：稱f（x）除以g（x），或g（x）整除f（x），如果存在h（x）∈F[x]使得f（x）=h（x）g（x）。到這里我們就可以詳細介紹帶余除法了，根據學生能力情況，如需為后續《近世代數》的學習做一些鋪墊時，強調帶余除法與數域的擴大無關，把帶余除法抽象成公理可以定義歐式整環。

3.不可約多項式的出現與應用。我們已經知道求多項式的根或者說多項式的因式分解依賴于具體的數域，當固定一個數域F時，自然需要考慮這樣的多項式，它或者在F中沒有根，或者在F[x]中不可分解為兩個次數更小的多項式的乘積（不妨稱為不可分解）。通過介紹余數定理可得a∈F是f（x）的根當且僅當（x-a）整除f（x），所以我們可以發現f（x）在F中沒有根與在F[x]中不可分解不是等價的。對次數大于等于1的多項式f（x）在F[x]中如果不可分解為兩個次數更小的多項式的乘積，那么定義f（x）為不可約多項式。

對次數做簡單的數學歸納法可以證明任何一個次數大于等于1的多項式都可以分解為不可約多項式的乘積。一個數學的自然思維就是：問這樣的分解是否唯一？假如有兩個分解表達式，這時就需要了解不可約多項式作為因子是如何出現在這兩個表達式中的，這時最大公因式和互素的相關知識就自然出現了。

4.唯一分解定理與重因式。經過上述研究工具的準備之后，我們可以證明唯一分解定理了，這時回答了我們最初關心的多項式分解的問題，盡管我們并不能在任意數域上達到分解成一次因式的乘積這樣的理想目標（這里根據學生能力情況可以介紹唯一分解整環的基本思想）。將唯一分解定理寫成如下的標準分解式：

f（x）=cp■■（x）p■■（x）…P■■（x）

其中c是f（x）的首項系數，p■（x）是首一的兩兩互素的不可約多項式，r■是正整數。從這個標準分解式可以知道我們需要確定全部不可約多項式，并且給出計算不可約多項式重數的算法。先從較容易的問題入手，可以證明：不可約多項式p（x）是f（x）的k重因式當且僅當p（x）是（f（x），f′（x））的k-1重因式。從而利用輾轉相除法我們就可以給出一個封閉的算法來確定不可約多項式的重數。

5.唯一分解定理在復數域、實數域、有理數域中的具體形式。接下來我們來解決困難的問題——確定某個數域上的全部不可約多項式，即不可約多項式的分類。遺憾的是這個問題到目前為止沒有辦法解決[2]。我們轉而研究三個熟悉的數域，即在復數域、實數域、有理數域上確定全部不可約多項式，通過例子積累研究經驗。

復數域上我們介紹代數基本定理：每個復數域上次數大于零的多項式在復數域中至少有一個根。從而我們可以得到復數域上的全部不可約多項式，只能是一次多項式；進而理論上找到復多項式的全部根，解決了最初提出的求根問題。實數域上可以證明不可約多項式要么是一次的，要么是判別式小于零的二次多項式。從而理論上解決了實數域上多項式的求根問題。

有理數域上的情況就變得異常復雜起來，這里將出現一個有跳躍度的知識點：本原多項式，證明整系數多項式關于本原多項式的唯一分解定理。既然我們無法給出全部的不可約本原多項式，或者說無法給出全部的不可約整系數多項式，那么退而求其次，尋找一些方法來判斷整系數多項式的不可約性就變得有意義起來。這時介紹Eisenstein（艾森斯坦）判別法作為研究公開問題的一種數學思維來引入是合適的。

三、彩蛋

第二部分我們用數學思維循序漸進的完成了多項式這一章的知識體系的建立。在不同的教材中，處理多項式時會安排一些有趣或者有歷史淵源的彩蛋，以提升學生的興趣或應用能力等。例如，介紹Lagrange（拉格朗日）插值公式和中國剩余定理（如文獻[1]），介紹代數基本定理的復變函數論證明方法（如文獻[2]）。這些彩蛋是學生可以理解的，同時在體現多項式的應用時反映出數學的美感。

參考文獻：

[1]林亞南.高等代數[M].高等教育出版社，2013.

[2]丘維聲.高等代數（第二版）[M].高等教育出版社，2003.

[3]林亞南，陳健敏.突出數學思想觀點下的教學方法——以線性空間的同構為例[C].“第四屆大學數學課程報告論壇”論文集，2013：48-53.