探尋兒童符號意識的養(yǎng)成策略

/周丹菊

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)往往是從具體到表象再到抽象的符號化過程。因此，符號語言成了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本語言，它具有間接性、抽象性和通用性等特點。法國數(shù)學(xué)家讓·迪多內(nèi)在《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》一文中強(qiáng)調(diào)，“引進(jìn)好的符號”是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素之一。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生時時刻刻都在與符號打交道，對數(shù)學(xué)符號的抽象、理解與運(yùn)用構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號能力也應(yīng)成為重要的教學(xué)目標(biāo)。如何喚醒學(xué)生的符號意識，發(fā)展學(xué)生的符號思維，建構(gòu)符號模型體系是廣大教育工作者需要探索的一個重要課題。

一、數(shù)學(xué)符號意識的意蘊(yùn)

（一）數(shù)學(xué)符號意識的內(nèi)涵詮釋

東北師范大學(xué)史寧中教授指出：所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。數(shù)學(xué)的符號由數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等構(gòu)成。符號意識是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號方面所做出的一種主動性反應(yīng)。[1]筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號意識是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)下，運(yùn)用對數(shù)學(xué)符號的感知、理解、運(yùn)算與推理來解決數(shù)學(xué)問題的一種核心素養(yǎng)。

（二）數(shù)學(xué)符號意識的特征

1.數(shù)學(xué)符號意識的形成具有階段性。

數(shù)學(xué)符號意識的形成具有階段性特征，應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)符號意識的演化機(jī)制，確保學(xué)生在積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷與反思符號表征、體驗與感悟數(shù)學(xué)理解與思想方法。符號意識應(yīng)表現(xiàn)出“生”和“成”兩個階段。“生”的階段是學(xué)習(xí)者在探究活動中對符號意識的科學(xué)認(rèn)識、感悟與反思階段；“成”的階段是學(xué)習(xí)者用符號化的思維思考問題，用恰當(dāng)?shù)姆柋碚鞣治鰡栴}，用適切的符號表達(dá)、解釋問題的階段。

2.數(shù)學(xué)符號意識的形成具有層次性。

符號意識來源于現(xiàn)實世界，學(xué)生主要通過對客觀事物的抽象而形成符號表征，再借助符號表征形成符號化思維，進(jìn)而從符號化的角度思考問題，形成數(shù)學(xué)思想方法。“符號表征—數(shù)學(xué)思維—符號思考—思想方法”的轉(zhuǎn)化，必將超越原有的符號認(rèn)知水平，正是因為這種層次性的特征，才使得培養(yǎng)學(xué)生的符號意識成為可能。

3.數(shù)學(xué)符號意識的形成具有主體性。

兒童心理學(xué)家皮亞杰指出，整個認(rèn)識關(guān)系的建立，既不是外物的簡單摹本，也不是主體內(nèi)部預(yù)先存在的獨(dú)立顯現(xiàn)，而是包括主體與外部世界在連續(xù)不斷的相互作用中逐漸建立起來的一個結(jié)構(gòu)集合。數(shù)學(xué)符號意識的生成是學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷實踐活動中的經(jīng)驗、感悟與反思的積極心理傾向。因此，在實際問題的解決過程中，學(xué)生就會帶有符號的傾向性與符號化的思維模式。可見，數(shù)學(xué)符號意識的形成包含著人的主體能動性。

4.數(shù)學(xué)符號意識的形成具有實踐性。

數(shù)學(xué)符號意識的形成是學(xué)習(xí)者將客觀事物抽象出符號特征，達(dá)到思維提升的過程。只有經(jīng)歷實踐過程，才能檢驗學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)符號意識的生成程度，驗證思維成果的對與錯。所以，在數(shù)學(xué)符號意識的生成過程中，思維與實踐是相輔相成的，學(xué)習(xí)者只有積極參與各種實踐探究，才不會使符號意識的實踐操作成為“紙上談兵”。

（三）數(shù)學(xué)符號意識的教學(xué)價值

1.符號意識有助于兒童數(shù)學(xué)思想的表達(dá)。

符號作為數(shù)學(xué)的獨(dú)特語言具有抽象性、簡約性。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)把生活語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，運(yùn)用簡潔的符號語言有利于幫助學(xué)生完整、精確地描述數(shù)學(xué)信息，表達(dá)數(shù)學(xué)思想，展現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的魅力。

2.符號意識有助于兒童邏輯思維的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，符號的形成是學(xué)生在經(jīng)歷“感知具體事物—個性化的表達(dá)—數(shù)學(xué)地表示”這樣一個符號化、形式化的過程。而學(xué)生解決問題的過程，便是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)經(jīng)歷“日常語言—符號意識—符號思考”的過程，這一過程讓學(xué)生的邏輯思維得到有效的培養(yǎng)。

3.符號意識有助于兒童創(chuàng)造能力的提升。

符號是對客觀事物抽象的結(jié)果，學(xué)生對符號的認(rèn)識是基于對事物的本質(zhì)理解而創(chuàng)造出來的。學(xué)生在創(chuàng)造各種符號的過程中對數(shù)學(xué)的理解更加深刻，學(xué)生的創(chuàng)造力也能得到提升。

二、數(shù)學(xué)符號意識的策略探尋

符號意識實際就是學(xué)生積極主動運(yùn)用符號的意識，因此，符號意識的培養(yǎng)應(yīng)該經(jīng)歷記憶模仿—推演抽象—理解應(yīng)用的“生”與“成”過程。在這個過程中，學(xué)生能夠積累運(yùn)用符號的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟符號蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)，從而促進(jìn)符號意識的提升。

（一）以情境為載體，喚醒符號意識

1.現(xiàn)實場景抽象化，從實物到圖形，萌發(fā)符號意識。

由于身心發(fā)展水平及認(rèn)知能力有限，低年級的學(xué)生還不容易接受比較抽象的知識。因此，在促進(jìn)兒童符號意識形成的最初階段，應(yīng)該盡可能地讓他們從現(xiàn)實的場景中，經(jīng)歷由淺入深、循序漸進(jìn)的過程，讓學(xué)生在腦海中建立客觀事物與符號抽象之間的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)符號有效內(nèi)化。

例如：教學(xué)蘇教版一上《數(shù)數(shù)》時，教師可以先出示游樂園的場景圖（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生數(shù)一數(shù)圖中的物體，再提醒學(xué)生關(guān)注實物圖下面的圓點，思考其表示的數(shù)學(xué)意思，最后鼓勵學(xué)生動手畫出數(shù)學(xué)符號來表達(dá)數(shù)量。

（圖1）

由圖形到符號，學(xué)生逐漸體會到圖形符號與物體的數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)造符號、運(yùn)用符號表達(dá)思想奠定了基礎(chǔ)。

2.表達(dá)方式個性化，從繁雜到簡約，體會數(shù)學(xué)符號的意趣。

學(xué)生在現(xiàn)實生活中會接觸到很多符號，教師應(yīng)善于啟發(fā)，喚醒學(xué)生記憶中的符號表象。例如：教學(xué)蘇教版一上《認(rèn)識圖形》后，教師可以設(shè)計解決問題的習(xí)題：一張全家福的照片中有5個大人排成一排，每相鄰2個大人中間有1個小朋友，照片中一共有幾個人？

師：你會怎么解決這個問題呢？

生1：我們可以上去排排隊嗎？

師：當(dāng)然可以。男生代表大人，女生代表小朋友，看看到底一共多少人。（得出9人）

生2：還可以畫圖解決（如圖2）。

（圖2）

師評價：畫得不錯，能不能表示得簡單點兒呢？

生3：可以畫大圓圈和小圓圈來分別表示大人和小朋友（如圖3）。

（圖3）

生4：我想畫正方形和豎線（如圖4）。

（圖4）

從真實的數(shù)學(xué)情境到個性化的圖片，再到圓點、豎線等簡單的數(shù)學(xué)符號，學(xué)生對符號的理解愈加深刻，數(shù)學(xué)符號意識逐步生成。

（二）經(jīng)歷抽象過程，培養(yǎng)符號思維

1.借助數(shù)學(xué)文化史，從一般到特殊，感受數(shù)學(xué)符號的魅力。

數(shù)學(xué)語言具有簡潔美，同樣具有獨(dú)特美。對于某些專屬符號表征，可以在學(xué)生經(jīng)歷探究、抽象的過程中引入數(shù)學(xué)文化來介紹符號的由來，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史的悠久，感受數(shù)學(xué)符號的趣味。

例如：教學(xué)蘇教版五下《圓的周長》時，可以先讓學(xué)生經(jīng)歷探索和討論，知道“任意一個圓的周長都是它直徑的三倍多一些，這是一個固定不變的數(shù)，這個數(shù)叫作圓周率”，繼而借助數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家關(guān)于π的研究過程，介紹數(shù)學(xué)家的小故事幫助學(xué)生理解π的由來及其獨(dú)特性，并結(jié)合符號與現(xiàn)實生活的聯(lián)系感悟它的無限不循環(huán)性，在此過程中讓學(xué)生認(rèn)識到π是一個無理數(shù)，是一個常數(shù)，是一個能表示固定常數(shù)的字母。

2.創(chuàng)新探究表達(dá)方式，從感性到理性，發(fā)展學(xué)生的符號思維。

在解決問題中，學(xué)生可以自主選擇合理的、方便的符號表達(dá)方式，但在探究過程中，學(xué)生不僅要關(guān)注解決數(shù)學(xué)問題本身，更應(yīng)注意符號表達(dá)是否合理，思維結(jié)構(gòu)是否完善。因此，只有以數(shù)學(xué)知識為載體，借助符號理解深化對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，學(xué)生的視野才能得到拓展，知識結(jié)構(gòu)才能網(wǎng)絡(luò)化，符號思維才能有深度與廣度。

例如：教學(xué)蘇教版五上《用字母表示數(shù)》時，教師可以設(shè)計唱“數(shù)青蛙歌”的活動：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……當(dāng)學(xué)生唱不下去時，教師適時指導(dǎo)。

師：每只青蛙1張嘴、2只眼睛、4條腿。每只青蛙眼睛、腿的個數(shù)分別是嘴的2倍、4倍，青蛙的個數(shù)就是嘴的個數(shù)。用什么方法可以表示出任意只青蛙，且將青蛙的只數(shù)與它的嘴、眼睛、腿的數(shù)量關(guān)系表達(dá)清楚呢？

生1：我們可以用字母表示。n只青蛙，n張嘴，n只眼睛，n條腿。

生2：不對，如果是n只青蛙，那么青蛙就有n張嘴，2n只眼睛，4n條腿。

《字母表示數(shù)》這一課對發(fā)展學(xué)生的符號意識起著關(guān)鍵性作用，它促進(jìn)了學(xué)生抽象思維能力和代數(shù)思想的一次提升，讓學(xué)生真正地理解了符號所表達(dá)的意義，讓學(xué)生思維結(jié)構(gòu)更加完整和縝密。

（三）活用數(shù)學(xué)符號，建構(gòu)符號體系

對數(shù)學(xué)符號既要“弄懂”，更要“會用”。理解數(shù)學(xué)符號，關(guān)鍵是對其內(nèi)涵及外延的正確把握，而學(xué)生往往受數(shù)學(xué)符號形式的困擾難以甄別。因此，在解決問題的過程中，要注重符號的理解，使運(yùn)算意識達(dá)到符號化思考的自覺程度。

1.強(qiáng)化體驗重感悟，從隱性到顯性，促使符號意識模型化。

數(shù)學(xué)知識具有顯性和隱性的特征，間接接受的多為顯性知識，它是數(shù)學(xué)理解的源泉，而學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷感悟的過程中獲得的數(shù)學(xué)理解、建立的數(shù)學(xué)模型等隱性知識才是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵。例如：教學(xué)蘇教版五下《認(rèn)識方程》時，教師可以設(shè)計“天平稱物”的活動引入教學(xué)。

師：觀察天平，你有什么發(fā)現(xiàn)與思考？（出示天平圖：左邊一個櫻桃和5克砝碼，右邊10克砝碼。）

生1：天平指針在中間，說明兩邊質(zhì)量相等。

生2：一個櫻桃加5克砝碼的質(zhì)量等于10克砝碼的質(zhì)量。

師：能用一個式子表示出來嗎？

生3：一個櫻桃+5=10

師：如果不知道有多少個櫻桃，可以用什么符號來表示呢？

生：用x來表示：x+5=10。

師：如果一個裝有2000毫升水的水壺，剛好倒?jié)M2個熱水瓶和一個200毫升的杯子，它們的關(guān)系又可以怎樣表示呢？

…………

數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)需要讓學(xué)生在知識形成的過程中去感受符號。學(xué)生通過天平稱物、水壺倒水等情境理解了字母x在不同數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)意義，完成了從數(shù)量關(guān)系到符號表達(dá)的抽象過程，學(xué)習(xí)者通過舉一反三，建立起數(shù)學(xué)符號表征之間的交錯聯(lián)系，體會到方程是刻畫等量關(guān)系的重要模型。

2.深化知識的理解，從會用到活用，挖掘并滲透數(shù)學(xué)思想。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號意識的最終目的是為了更好地解決生活實際問題。運(yùn)用學(xué)生已有的符號意識激發(fā)其符號化地思考，有利于幫助學(xué)生在推理表達(dá)的過程中運(yùn)用符號語言，進(jìn)而揭示問題的一般性和普遍性規(guī)律。

例如：教學(xué)蘇教版五上《用列舉的策略解決實際問題》時，筆者曾創(chuàng)設(shè)過這樣一個生活實際問題。出示午餐菜譜：魚、肉圓、白菜、豆腐、土豆。

師：老師的午餐如果是一個葷菜和一個素菜搭配，一共有幾種不同的搭配方法呢？

生1：我先選葷菜，再選素菜，這樣搭配：魚配白菜、魚配豆腐、魚配土豆、肉圓配白菜、肉圓配豆腐、肉圓配土豆，一共有6種方法。

生2：我先選素菜，再選葷菜，也有6種不同的搭配。

生3：我也是先選葷菜的，不過我用A、B代表葷菜，a、b、c 代表素菜，用搭配圖看得更清楚（如圖5）。

（圖5）

師：你們覺得他們的方法怎么樣？

生4：我覺得用圖表示能夠清楚地看出搭配的結(jié)果，而且用字母表示菜名比寫字要快得多。

在解決配菜問題的過程中，不僅滲透了有序搭配的思想方法，同時也引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行符號化的思考。學(xué)生經(jīng)歷了從語言表述到圖形表示，再到符號化表達(dá)的過程。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)搭配其實是有規(guī)律可循的，只要做到有序就不會重復(fù)、遺漏。學(xué)生在經(jīng)歷了從無意識地簡化搭配路線圖到有意識地發(fā)展數(shù)學(xué)符號思想的過程，這是學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)符號模型的過程，它豐富了學(xué)生的符號模型體系，推進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)符號化進(jìn)程的發(fā)展。

兒童具有發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的無盡潛力，當(dāng)兒童真正對數(shù)學(xué)產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣、牢固的信念時，就會爆發(fā)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的原動力。符號意識的培養(yǎng)助力兒童積極主動地認(rèn)識現(xiàn)實世界與符號表征之間的聯(lián)系，并通過符號理解、符號運(yùn)算、符號思考解決實際問題。學(xué)生在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中孕育成長，核心素養(yǎng)的積淀才更具有綜合性、整體性和持久性。