基于實驗方法的橡膠圓管的本構(gòu)模型分析

劉洪波，劉 齊，孫國棟

(1.北華大學(xué) 工程訓(xùn)練中心，吉林 吉林 132021；北華大學(xué) 機械工程學(xué)院，吉林 吉林 132021)

天然橡膠作為氣動驅(qū)動器彈性氣囊[1,2]的主要構(gòu)件，在變形過程中具有大變形和非線性的特點，用準確的數(shù)學(xué)模型對其性能進行描述十分困難.由于橡膠是超彈性體，彈性體形變能的大小只取決于變形的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)，與加載路徑無關(guān)[3-5].因此，通常用應(yīng)變能密度函數(shù)來描述天然橡膠的本構(gòu)模型和力學(xué)性能[4].近幾十年來，國內(nèi)外學(xué)者對應(yīng)變能函數(shù)提出了很多假設(shè).其中Mooney和Rivlin提出的Mooney-Rivlin模型、Yeoh和Ogden模型應(yīng)用最為廣泛[6,7].

本文主要對小變形(變形量小于100%)的天然橡膠[8,9]圓管進行單軸拉伸實驗，通過數(shù)值分析其應(yīng)力-應(yīng)變曲線，總結(jié)得到了適合小變形下橡膠的應(yīng)變能密度函數(shù)及其材料系數(shù).

1 橡膠的本構(gòu)方程

通常，橡膠應(yīng)變能密度函數(shù)是變形張量的不變量I1，I2和I3的函數(shù)[10]，即

W=W(I1,I2,I3)

(1)

因為單軸拉伸時，另外兩個方向自由，設(shè)拉伸方向的伸長率為λ，應(yīng)變?yōu)棣牛瑒t得：

(2)

將(2)式代入(1)可得應(yīng)變恒量可得：

(3)

將(3)代入到應(yīng)變能密度函數(shù)的解析式中并對其應(yīng)變張量求導(dǎo)可以得到橡膠拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式:

(4)

式中：NH1、MR1及Y1分別對應(yīng)表示Neo-Hookea模型、Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型；CNH1、C10、C01、C1、C2和C3為各模型中對應(yīng)的材料系數(shù).

為了便于計算，對(4)式對應(yīng)用泰勒級數(shù)展開，得到三種本構(gòu)模型的多項式：

σNH1=2CNH1(4ε3-3ε2+3ε)

σMR1=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+2C01(10ε3-6ε2+3ε)

σY1=2C1(6ε5-5ε4+4ε3-3ε2+3ε)+12C2(8ε5-4ε4+3ε3)+54C3(3ε5-ε-1)

(5)

式(4)與(5)均反映出的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系.

2 橡膠圓管單軸拉伸實驗

2.1 單軸拉伸實驗

實驗橡膠圓管為乳膠管，其硬度為43HRC，尺寸規(guī)格8*11，有效長度為50 mm.實驗時，乳膠管上下兩端通過自制簡易夾具固定在拉伸機上(圖1)，在室溫下以5 mm/min的速度施加軸向載荷，設(shè)置拉伸參數(shù)[10]，使得乳膠管伸長量達到100%時停止加載(圖2是拉伸過程中，載荷隨伸長量變化的實時曲線)，如此反復(fù)5次，取實驗的平均值作為最終的實驗數(shù)據(jù).

圖1 實驗裝置圖

圖2 拉伸過程中的數(shù)據(jù)變化過程

實驗時所測應(yīng)力：

(6)

式中：F為負載；A0為乳膠管的橫截面積；D1為乳膠管外徑，D2為乳膠管內(nèi)徑.

實驗時所測應(yīng)變：

(7)

式中：Δl為乳膠管被拉伸的位移變化量，L為乳膠管原始長度.

將最終獲得的試驗數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中，進行處理，得到曲線(圖3).

ε圖3 拉伸時應(yīng)力與應(yīng)變的變化曲線

2.2 材料系數(shù)擬合

利用MATLAB對式(5)中的個模型本構(gòu)方程進行曲線擬合，可以得到相應(yīng)的模型擬合曲線(圖4).

ε圖4 擬合曲線圖

擬合出各模型的材料系數(shù)如下所示：

N-H模型參數(shù)CNH1=0.086 7；M-R模型參數(shù)C10=0.213 8，C01=-0.086 77；Y模型的參數(shù)C1=0.242 5，C2=-0.023 9，C3=-0.000 9.

經(jīng)對比易知：在小變形(變形量小于100%)時，M-R模型與實驗數(shù)據(jù)擬合效果較好.

3 結(jié) 論

本文利用單軸拉伸的實驗方法，首先得到了天然橡膠圓管的應(yīng)力應(yīng)變曲線，然后通過已有的本構(gòu)方程與實驗數(shù)據(jù)進行擬合，最終確定了橡膠中常用的三種本構(gòu)模型的材料系數(shù).通過實驗對比，結(jié)果表明，M-R模型適用于變形量小于等于100%的范圍.實驗結(jié)論具有一定的借鑒意義，為后續(xù)氣動人工驅(qū)動器變形機理研究提供了實驗依據(jù)和理論基礎(chǔ).