轉換思路,消減誤差

馬 輝

(江蘇省豐縣中學,江蘇 豐縣 221700)

在實驗測量過程中,由于原理的不完善、儀器的精度不夠、實驗方法粗略或測量者的不規范操作等,都可能會使測量結果相對真值而言總是偏小或偏大——即測量產生了系統誤差．若要想使系統誤差減小甚至消除,我們可根據實驗的具體特點,轉換思路,采用不同的方法加以處理,往往能巧妙地規避系統誤差的產生和影響．

1 轉換實驗研究對象

對同一實驗裝置而言,如果我們選定了其中的某個物體作為研究對象,則實驗的系統誤差就有可能無法避免．但在實驗裝置及操作都不改變的前提下,如果我們僅僅把研究對象轉換一下,比如換一個與之相關聯的另一物體,或者擴大或縮小研究對象的范圍等,則因測量原理而引起的系統誤差將有可能得以完全消除．

譬如高中教材中的“探究加速度與力、質量關系”的實驗,通常的方案是采用“控制變量法”, 如圖1所示的裝置就是一種常用的方案．實驗時讓砂筒通過細線拉著小車加速滑行,設小車及車上砝碼的質量為M、砂桶及桶中砂的合質量為m、細線的拉力為F,實驗中無論是“保持小車(含車上砝碼)的質量M不變”還是“保持砂筒的拉力不變”,我們都是讓小車與砂筒的質量關系滿足M?m,認為在此條件下細線的拉力可近似等于砂筒的重力,即F≈mg,這是為什么呢?

圖1

根據牛頓第二定律,對平衡過摩擦力之后的小車有:

F=Ma,

(1)

對砂桶有:

mg-F=ma.

(2)

F≈mg.

(3)

由于拉力實際上總比砂筒的重力要小些,這就必然引起了測量的系統誤差,那么能不能想辦法讓這一系統誤差消除呢?

由(1)、(2)兩式消去F有:

mg=(M+m)a,

(4)

鑒于此式,我們可以選小車、車上砝碼、砂桶和桶中砂所組成的系統為研究對象,此時系統所受合外力就是mg,系統總質量為(M+m),該系統的牛頓第二定律方程為:mg=(M+m)a,此式中是“=”號而非“≈”號,若把mg寫作F合,(M+m)寫作M總,則該式就可寫成

F合=M總a,

(5)

我們若利用它來“探究加速度與力、質量關系”,就可避免之前阿式中因為拉力的近似取值而引起的系統誤差了．

利用(5)式來“探究加速度與力、質量關系”,當保持系統質量M總不變探究加速度a與合力F合的關系時,如何改變拉力F合的大小呢?

因為F合是桶和砂的重力,故增減桶中的砂就可使F合改變,但砂又是M總的一部分,如何做到在增減砂時使M總不發生變化呢?其實辦法很簡單——只需把桶中的砂子取出一些放在小車上即可;若要增大拉力,只需要把小車上的砝碼取下一些來放于砂桶中．這樣既保證了系統的質量不變,又改變了砂筒的拉力,且能保證數據的多次測量,操作簡單、方便易行．若要讓拉力能夠連續地隨意改變,我們也可以用砂子取代小車上的砝碼,與桶中的砂子互相轉移即可,且不用考慮受M?m條件的限制,從而保證了拉力的連續可調,以方便可獲取更多組的測量數據．

圖2 圖3

2 轉換實驗數據處理方法

對同一組測量數據來說,其處理方法往往不止一種．有些方法處理起來系統誤差可能不可避免,但若換一種方法來進行處理,卻往往能將系統誤差巧妙地予以規避．

圖4

例1.(2013江蘇卷11題)某興趣小組利用自由落體運動測定重力加速度,實驗裝置如圖4所示．傾斜的球槽中放有若干個小鐵球,閉合開關K,電磁鐵吸住第1個小球．手動敲擊彈性金屬片M,M與觸頭瞬間分開,第1個小球開始下落,M迅速恢復,電磁鐵又吸住第2個小球.當第1個小球撞擊M時,M與觸頭分開,第2個小球開始下落…．這樣,就可測出多個小球下落的總時間．某同學考慮到電磁鐵在每次斷電后需要時間Δt磁性才消失,因此,每個小球的實際下落時間與它的測量時間相差Δt,這導致實驗誤差．為此,他分別取高度H1和H2,測量n個小球下落的總時間T1和T2．他是否可以利用這兩組數據消除Δt對實驗結果的影響?請推導說明.

(6)

(7)

滯后時間Δt很難確定其大小,如果我們將之略去不計,無疑會導致測量結果偏小,即不可避免地會產生系統誤差．但如果我們把(6)、(7)兩式聯立,把Δt消去,則可解得

顯然,利用該式就不必再考慮Δt的大小,而直接消除了因Δt導致的系統誤差．可見選擇恰當的方法處理實驗數據,有時可巧妙地規避系統誤差的產生．

圖5

3 轉換實驗測量方案

有些系統誤差源于實驗原理,如“伏安法”測量電阻的阻值,若用安培表外接法,則測量值就必然偏小,若用安培表內接法,則測量值就必然偏大,這些系統誤差都是由測量原理所決定的．我們要想將其消除,就可以將“伏安法”拋開,另擇他法．比如采用惠斯通電橋電路測電阻、替代法測電阻等．

圖6

圖6是教材里“把電流表改裝為電壓表”的實驗中給出的一種用半偏法測量電流表G內阻的電路,其中R1是阻值很大的電位器,R2是電阻箱．測量前R1的阻值先調至最大,合上S1后調節R1使電流表滿偏,此時有

(8)

然后合上S2調節電阻箱R2使電流表半偏,就認為電流表的內阻與電阻箱此時的阻值相等,即R2≈rg．為什么呢?

由閉合電路的歐姆定律得電流表半偏時的干路電流為

(9)

又因為

(10)

所以由(8)-(10)聯立可解得

由于R1?rg,所以可認為R2≈rg．該原理引起的絕對誤差的大小可表示為

顯然,無論電位器的阻值有多大,該絕對誤差都不可避免．

圖7

要想將上述系統誤差消除,我們就可以拋開半偏法,另換一種測量電路試一試,比如用“等效替代法”,如圖7所示．圖中R為電阻箱,G1為待測電流表,G2為標準電流表,E為電源,先將R調至最大,開關S合上b端,調R阻值使標準電流表G2到某一數值I,記下電阻箱的阻值Rb,則有由閉合電路的歐姆定律得

(11)

再將開關擲向a端,調R阻值使標準電流表G2的數值仍然為I,記下電阻箱的阻值Ra,則有

(12)

比較(11)、(12)兩式可得

rg1=Ra-Rb,

利用此式來測量G1的內阻就能把因測量原理而引起的系統誤差給巧妙地消除了．

一般說來,要想削減實驗誤差,在實驗前我們就要明確產生誤差的原因,對影響誤差變化的可能因素進行分析,針對產生機理采取相應的預防措施,譬如改善實驗原理、設計更精準的實驗方法等．測量過程中有針對性地采取某些技術手段來削減誤差,如規范操作、控制溫度、屏蔽外界電磁場的干擾等．測量后,我們則可以通過科學的數據處理,靈活選擇更好的方法來處理實驗數據,以期達到減小或消除實驗誤差之目的．