拓展思維 一題多解

黃玉梅

(綿陽師范學院數理學院,四川 綿陽 621000)

在高中物理教學中,如果教師有意識引導學生對一道題目從不同的角度進行解讀,不僅可以有效提高習題教學的效率,同時可以幫助學生更全面和深入地理解題目,特別是可以讓學生打破固有思維,綜合應用所學的物理知識,靈活地處理物理題目中給出的相關信息．

1 “一題多解”的多解源于對物理題目的多角度解讀

在物理學科中,“一題多解”是指針對同一道題目,不局限于一種分析方法,而是建立不同的物理模型或從不同的角度進行分析,應用不同的物理知識或者解題技巧進行解答．需要注意的是,東拼西湊找到“多種解”并不是一題多解的初衷,一題多解,應該是建立在真正理解題意、全面理解物理模型的基礎上．

在指導物理師范生進行見習時,發現無論是學生還是一些已經有多年授課經驗的教師,常常會陷入一種傾向,就是對物理題目的講解應試性目的太強,“一題多解”時更注重“巧解”,甚至把物理問題簡化處理為純數學問題,強調用數學技巧進行處理,這對于應試可能是有效的,但是對于學生理解物理知識卻容易產生不利影響．過分追求奇思妙解,會模糊掉題目本身的物理本質,教師應該做的是從題目中分析隱含的物理信息,建立不同的物理圖像來進行處理,以達到真正提高自身綜合運用物理知識能力的目的,從而有效傳遞給學生正確的物理思維．

2 一道多角度解讀的典型例題分析

圖1

在處理物理例習題或者試題時,經常采用圖像法、隔離法、整體法等方法,無論是哪一種方法都是和題目本身的物理內涵相關的．如下面給出的題目就有多種解法,不同的解法是源自于從不同角度分析題目的結果,反映出多解是因為題目本身具有豐富的物理內涵．

題目.如圖1所示,兩個帶有同種電荷的小球,用絕緣細線懸掛于O點,若q1>q2,l1>l2,平衡時兩球到過O點的豎直線的距離相等,則

(A)m1>m2.

(B)m1=m2.

(C)m1

(D) 無法確定.

答案:選(B)．

解析:如圖2作受力分析,m1受重力m1g、q2對q1的電場力F21和細線的拉力T1;m2受重力m2g、q1對q2的電場力F12和細線的拉力T2．因為F21和F12是一對作用力和反作用力,因此大小相等、方向相反且在同一條直線上,q1>q2對此結論并無影響．對兩個帶電小球來說,平衡是指所受細線拉力、重力和電場力的3力平衡．

圖2

方法1:“隔離法”,利用質點受力平衡以及力的合成與分解.

由上面的分析可知該題目可以視為典型的“受力平衡”題,一般對這類題目的傳統做法是用“隔離法”對兩個小球分別做受力分析,將拉力和電場力進行水平方向和豎直方向上的分解,在平衡時可得如下關系.

對m1:

T1cosα1=m1g+F21sinθ，

(1)

T1sinα1=F21cosθ.

(2)

對m2:

T2cosα2+F12sinθ=m2g.

(3)

T2sinα2=F21cosθ.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

F21=F12=F.

(9)

由(1)-(4),(9)式可得

(10)

(11)

由(5)-(8),(10)-(11)式可得

該做法物理圖像明晰,也是學生最容易想到的方法．弊端也是明顯的,那就是兩個質點各自受3個力并平衡,且滿足題設的幾何關系,因此最后需要聯立9個方程式進行求解,對數學公式的變形和計算要求較高．如果學生采用這種做法,反映了學生思維稍欠靈活,見到質點受力必用“隔離法”分析的思維定勢比較明顯．特別是該題目是一道選擇題,采用這一做法費時費力,且容易出錯．不過,在平時做練習時,這種方法能夠強化學生對力的合成與分解以及共點力平衡知識點的掌握,而且這種方法還能得到更多的信息,例如在幾何尺度給定的情況下,可以給出質量m、拉力T1、拉力T2與電場力F之間的確切關系．

方法2:“幾何法”,利用力的矢量疊加性和相似三角形的幾何特點.

圖3

該題目中,任何一個質點的3力平衡可以視為是所受電場力和重力的合力與細線施加的拉力平衡．而力是矢量,滿足矢量疊加性,因而無論是采用平行四邊形法則還是三角形法則,都可以把受力情況用幾何圖形表示,力的大小和方向也會相應地滿足幾何關系,“幾何法”自然也就適用了．如圖3所示，用AH、AB、AC分別表示m1所受重力m1g、q2對q1的電場力F21和二力的合力大小;用DF、DI、DE表示m2所受重力m2g、q1對q2的電場力F12和二力的合力大小．F21和F12是一對作用力和反作用力,因此F21=F12,即DI=AB,則根據幾何關系可知:ΔOGA與ΔAHC是相似三角形,ΔODG與ΔDEF是相似三角形,則可得

當然,也可以采用△OGA與△CBA、△ODG與△EDI這一組相似三角形．

這種方法強調力的矢量疊加性,將矢量相加的幾何法則聯系到數學中的幾何關系,避開了繁瑣的計算過程,能夠比較準確迅速地得到結果.該方法綜合性較強,不僅要求學生對矢量疊加比較熟悉,頭腦中能有效建立力的合成的物理圖像,還要能夠靈活結合幾何知識找到關聯．

方法3:力矩平衡法.

上面的兩種方法雖然不同,但都是基于將題目處理為質點受力平衡的情況來分析的,物理模型并沒有本質的差異．進一步的分析可以發現,該題目還可以視為是兩質點關于懸掛點O無旋轉(即所受力矩平衡)的情況,這樣又有兩種做法.

圖4

(1) “隔離法”對兩個帶電小球分別討論對O點的力矩平衡．如圖4所示,對O點而言,質點所受拉力過O點,因此拉力的力矩為0;重力的力臂都為d,電場力的力臂為O點到m1、m2連線的垂線段l,因為F21=F12=F,則

對m1∶m1g·d=F·l； 對m2∶m2g·d=F·l.

因此,容易得到m1=m2．

(2) 將兩個小球視為一個整體,整個體系對O點無旋轉,即所受力矩平衡,即合力矩為0．電場力是一對作用力與反作用力,在整個體系可被視為內力,對任何參考點而言,體系的內力對合力矩沒有貢獻．

則體系所受的合力矩只能由外力(所受的拉力和重力)提供,被稱為之合外力矩．因細線施加的拉力關于O點的力矩為0;則平衡時體系對O點的合外力矩為m1g·d-m2g·d=0,因此可得m1=m2．

這類方法把研究對象處理為力矩平衡的模型,不僅沒有繁冗的公式推導,而且形式非常清晰簡潔,物理圖像也十分明晰．學生在面對這類題目時,不要局限于共點力平衡的物理圖像,而應從共點力平衡的思維定勢中脫離出來,結合學過的對固定點力矩平衡的相關知識建立新的物理圖像．

方法4:“懸掛”找重心法.

同樣基于整體法的考慮,題目的圖像是將兩個小球用細線懸掛于同一點,小球之間的電場力是作用力與反作用力,在兩小球構成的整體體系中可以處理為內力,這就能夠類比于“懸掛體問題”．形象地說可以設想兩小球之間用一輕質細桿或輕質彈簧(即質量忽略不計)連接起來,則該體系的重心(其實是質心,但在尺度不大的情況下,可認為兩心重合)應該在m1和m2連線上．結合“懸掛法”找物體重心的方法,當體系被懸掛于O點時,重心應該在過O點的豎直線上,則m1和m2連線與過O點的豎直線的交點就是重心．如圖4由幾何關系可知,該交點位置恰平分m1和m2連線,即重心在m1和m2連線的中點處,可得m1=m2．

該方法更加強調“整體法”,在分析題目時,主要是利用電場力的特點,把兩小球看作整體,題目的物理模型就可處理為一個被懸掛在O點的物體．從日常的習題教學中發現,學生對把兩個小球作為一個整體來考慮不太熟悉;特別在力學問題的分析中,“隔離法”更為常見,“整體法”用得反而不多．但是對于很多問題來說,用整體法可以在分析中不考慮一些物理量,有效簡化解題過程．

3 總結

從上述這道結合電場力的力學題目,能看到一題多解的解法并不是簡單的數學變形,都是出自于對題目本身隱含信息的不同解讀．如解讀題目為質點受力平衡,那么用力的合成與分解列算式解答是合理的;解讀題目為力的矢量疊加,那么結合幾何法也是可行的;解讀題目為質點對固定點無旋轉,那么用力矩平衡來完成是適當的;解讀題目為被懸掛的體系,那么借助重心的相關知識處理是有道理的．在高中物理教學中,教師可以講解一些類似的習題,引導學生在日常練習中經常對題目進行多角度的分析,這樣可以讓學生充分回顧并運用已經學過的物理知識,深刻理解題目中的豐富信息,這樣就能更加有效地建立物理圖像和掌握物理思維方法．