不可思議的重組

劉金龍

數學不僅是加減乘除，其中更蘊藏著無窮的樂趣。瞧，大家在認真地玩著七巧板，重組出了各種各樣的圖案，車子、輪船、魚兒……這些圖案的面積都是相等的，因為同一個七巧板的面積是固定的。

不過，有些圖形裁剪后重組卻沒法得到相等面積的圖形。真是不可思議！

一塊地毯，不見了

蘿拉在小鎮上開了一家裁縫店。沒有人知道她從哪里來，但所有人都知道她有一雙巧手，只要你能想到的東西，她都能做出來。有一天，一件奇怪的事情發生了……

“叮咚”，瑪麗太太抱著地毯推開了裁縫店的門，她想請蘿拉幫忙將地毯裁剪成幾塊。

蘿拉鋪開地毯，按照瑪麗太太的要求將地毯進行了裁剪，分成了這樣的5塊：

“謝謝你，蘿拉！你的手真巧！”瑪麗太太滿意地道謝。

可沒過多久，瑪麗太太抱著5塊地毯返回來了。

“蘿拉，不好了！不好了！我的地毯少了一塊！”瑪麗太太著急地說道。

蘿拉和瑪麗太太把那5塊地毯重新一拼，果然出現了一個空洞。

盯著那個空洞，蘿拉陷入了沉思：奇怪，明明是嚴格按照瑪麗太太的要求裁剪的，怎么會憑空消失一塊地毯呢？

瑪麗太太更著急，自己是看著蘿拉裁剪的，中途沒有出任何差錯，當時自己還很滿意，可回到家卻發現莫名其妙地少了一塊。這是怎么回事呢？

會不會是裁剪時，蘿拉不小心給裁掉了或者蘿拉把那塊地毯藏起來了？

不對，不對！瑪麗太太是看著蘿拉裁剪的，蘿拉不可能裁掉或藏起來。并且瑪麗太太的裁剪要求也不高，憑蘿拉的手藝，她不可能失誤。

蘿拉和瑪麗太太一起想啊想……突然，蘿拉靈機一動，想到了一個辦法：“瑪麗太太，我們先按原樣把地毯拼回去。”

于是，蘿拉和瑪麗太太將裁剪了的地毯按最初的位置組合回去。神奇的是，丟失的那塊地毯回來了！

瑪麗太太看著完整的地毯，驚呼道：“天哪，這太讓人驚訝了！蘿拉，你是我見過的最出色的裁縫！”

真相大白

事實上，地毯根本就沒有丟失，那個空洞是我們在重組時人為制造出來的。仔細看，你會發現瑪麗太太重組后的地毯并不是一個正方形。

我們可以假定小正方形的邊長為a，那么最初的地毯邊長為7a。因為△ADE和△ABC相似（內角都相等），所以兩個三角形的對應邊成比例，有=，已知AB=7a，AD=4a，BC=2a，從而求得DE=a，EF=a。這樣一來，重組后地毯的高=a+2a=a≠7a。但由于只比原來長了a，肉眼很難看出來。也就是說，重組后的地毯其實是個長方形，減去原地毯面積= a×7a-7a×7a=a2，而這正是地毯上神秘“失蹤”的那塊。

把多余的“藏”起來

蘿拉幫瑪麗太太找回地毯后，蘿拉有魔法的消息就傳開了。大家紛紛慕名前來，請蘿拉幫忙解決各種關于裁剪的難題。當然，其中也包括瑪麗太太。這不，她抱著地毯又來了。不過，這塊地毯是她新買的。她對家里的布置要求很高，買到的地毯不能讓她滿意，還好有蘿拉可以幫她裁剪。

瑪麗太太拿出地毯，說：“親愛的蘿拉，我想把這塊邊長為13分米的正方形地毯，改成21分米×8分米的長方形地毯。這樣的話，就得裁掉1平方分米的地毯。可是我不知道要裁掉哪里的1平方分米，我想只有你能幫我了。”

蘿拉接過地毯，仔細量了量后，便開始動手裁剪，只見她將地毯裁剪成了4塊。

“這么簡單？能行嗎？”瑪麗太太擔心地問道。

“放心好了，我一定讓您拿到您想要的地毯。”說完，蘿拉將地毯進行了重組，得到了這樣一塊長方形地毯——

“天哪，你是如何做到的？簡直太完美了！竟然將1平方分米大的一塊地毯‘藏起來了。”瑪麗太太驚訝極了。

這簡直太不可思議了！魔術都沒有這么精彩！從一個正方形變成一個長方形，一個是13×13=169（平方分米），一個是21×8=168（平方分米），蘿拉究竟是如何將那1平方分米隱藏起來的？她真的有魔法？

嚕嚕，你別一驚一乍的。蘿拉的手確實巧，但魔法嘛，肯定沒有。

真相大白

經過一番仔細觀察，終于真相大白了。原來重組的長方形地毯的對角線上有微小的重疊，而這個微小的重疊正是減少的隱藏部分。蘿拉就是這樣將瑪麗太太的那1平方分米的地毯重疊在了長方形中，實現了完美的“隱藏”。你動手剪一剪、拼一拼，就能找到它了。

更有趣的是，4個長度數值5，8，13和21，是斐波那契數列里的4個連續項。這個重組說明了斐波那契數列的一個特性：數列當中任何一個數的平方都等于相鄰兩個數之積再加1或者減1，即tn2=tn-1×tn+1±1。其中，位于數列奇數位上的數（如2，5和13）的平方都比相鄰兩個數的乘積大1；相反，位于偶數位上的數（如3，8和21）的平方都比相鄰兩個數的乘積小1。知道這點，你就很容易預測一個特定的正方形變成長方形后，面積是增加了還是減少了一個平方面積單位。

多出一點兒的時候，是因為沿著重組的長方形的對角線處有一個菱形的小空隙；而少一點兒的時候，是因為沿著重組的長方形的對角線處有一個菱形的小重疊。