關于素養培育的數學過程闡釋

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下稱“2011年版課程標準”）從數學思考和問題解決的目標維度出發，將“經歷（experience）”“體驗（taste）”“探索（explore）”等行為動詞作為數學教學的過程性目標。這些行為動詞既為數學應用意識和創新意識的發生提供支點，也是培育數學學科素養的具體行為的支撐。PISA 2012從數學過程、數學內容和數學情境三個方面對數學素養的內涵進行了闡述。［1］其中，數學過程包括了“形成數學”“使用數學”和“解釋數學”三個維度，與經歷、體驗、探索描述的過程性目標一致。這里的“形成數學”過程是指經歷數學概念的尋求過程，獲得心理原型；“使用數學”過程是指體驗數學概念的客觀行為，形成基本問題；“解釋數學”過程是指探索數學概念的事實行為，發展基本思想。為此，我們可以從經歷、體驗、探索這三個行為動詞出發，來闡釋數學過程這一數學素養。

一、由經歷“形成數學”

2011年版課程標準將“經歷”的內涵確定為，“在特定的數學活動中，獲得一些感性認識”。經歷是感受、嘗試的替代概念，是學生數學素養在社會參與維度、自主發展維度和文化修養維度得以實現的執行程序，也是具體章節目標、單元目標以及課時目標得以落實的基本動作。［2］比如，在生活情境中感受大數的意義，嘗試發現和提出問題；綜合運用方程等數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力等，都必然建立在學生“經歷”的基礎之上。

筆者以為，形成數學的過程涵蓋三個層面的內容：一是經歷數學前概念的再發現過程，建立可靠性認知知覺；二是經歷前概念思維被看見的過程，建立概念與思維的聯系系統；三是經歷先行材料的組織過程，建立知識理解和知識表征的內部關系，體現數學素養的本體意義。

在一次數學省優質課評比中，12位選手基于“三個‘一次’關系”（一次函數、一元一次方程與一元一次不等式）一課的教學展示自己的設計過程。經歷整個過程的課堂觀察發現，選手們基本上都是“碎片式”的知識教學（如何解一元一次方程、如何解一元一次不等式、如何畫出一次函數的圖象等），很少有體現這一節課“整體思想”的教學設計。值得欣慰的是，有一位教師采取“頂層設計”方法，圍繞“從實踐中來，到實踐中去”的整體思想進行設計，該節課具體操作流程如下。

首先，讓學生任意寫出一個簡單的一次函數（比如：y=2x+4），畫出其函數圖象，描述函數值何時大于零、等于零和小于零，這種基于學生認知基礎的“引課”行為，反映了執教者對學生認知結構的把控。

其次，讓學生研究“彈簧掛重”問題。一是寫出彈簧所掛物體的質量（x kg）與其長度（y cm）的函數關系式（y=0.5x+25），并畫出函數圖象；二是分別求出彈簧長度是30cm、32.5cm、35cm時所掛物體的質量；三是利用剛才畫出的函數圖象，求出方程 0.5x+25=30、0.5x+25=32.5、0.5x+25=35的解；四是求出彈性限度內（彈簧伸長長度不超過35cm）所掛物體的最大質量；五是在問題解決的基礎上，讓學生“數學地”表達一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。這種“直觀為抽象支架，抽象為直觀讓道”的整體設計思想，有利于學生認知結構的定向與形成。

最后是拓展研究，即改編蘇科版初中數學教材八年級上冊第105頁的“行李付費”問題（略）。在用待定系數法求出相關量后，執教者又提出兩個半開放問題：一是設計一個用一元一次方程解決的問題；二是設計一個用一元一次不等式解決的問題。這種教學設計突出“應用—回流—遞進”，反映了數學教育整體教學觀，也較好地體現了“從實踐中來，到實踐中去”的整體教學思想。此外，這種“引入新課→暴露思維→實踐檢驗”的經歷是“形成數學”的有效路徑，使得概念的揭示過程與學生的知覺水平一致，反映了“經歷”所特有的意義。

二、由體驗“使用數學”

2011年版課程標準把“體驗”確定為“參與特定的數學活動，主動認識或驗證對象的特征，獲得一定的經驗”。體驗也是體會的替代概念。比如，結合具體情境，體會有理數加減法則、乘除法則以及混合運算法則的意義；獲得分析問題和解決問題的一些方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識；初步形成評價和反思的意識等。

筆者以為，“使用數學”至少包括三層意思：一是在直觀的觀察學習中獲得概念的“雛形”，體驗概念發生的初始狀態；二是在當前表象學習中保持表征概念的反應結果及其與結果有關的環境事件的信息，體驗概念得以加工的本質；三是在高階思維（概括、批判、策略）訓練中獲取概念的基本體系，體驗概念產生的來龍去脈。

當然，任何概念的發生、發展、高潮與結局都是有局限的。體驗概念的過程是一種量變過程，同時又是一種質變過程，這也與教材的編寫體例相吻合。比如，數感的建立就是一個“平衡—突變—平衡”的“從量變到質變”的漸進過程，突出了有理數范疇、實數范疇、復數范疇等運算本質的相對特征。

不妨以“去括號法則”的教學過程作為“使用數學”的一個范例來加以說明。具體體驗的過程設計如下。

第一，創設體驗性問題情境，讓學生感受法則產生的必要性。比如，在假期的勤工儉學活動中，小麗從報社以每份0.4元的價格購進a份報紙，以每份0.5元的價格賣出b份（b≦a）報紙，剩余的報紙以每份0.2元的價格退回報社，小麗贏利多少元？顯然，在求解過程中，涉及去括號問題，即-0.4a+0.5b+0.2（a-b）。這就讓學生在尋求答案的過程中，體驗到學習“去括號法則”的必要性和緊迫性。同時，從另一個側面，也說明合理的現實情境能有效地引導學生發現問題，反映概念表象發生的現實意義。

第二，讓學生在合理精當的填表及其分析中，體驗去括號法則的合理意義。具體見表1及其分析操作。（填寫的是表格右邊4個式子的結果，為行文需要已填好）

（表1）

觀察填寫后的表格，你發現了什么？再換幾個數試試，結論還成立嗎？

追問：你能說明下列關系式：a+（-b+c）＝ab+c；a-（-b+c）＝a+b-c，等號兩邊發生了哪些變化？你認為去括號法則如何表述？并舉例驗證其合理性。

第三，讓學生在學以致用和表象監控中生長“使用數學”的能力，反映高階思維的能動作用。具體可分三步走：一是讓學生對照法則，指出例題作答的每一步依據；二是讓學生任意寫一個可以用去括號法則進行運算推理的多項式，并與同伴交換求解意見；三是教師呈現可以變換角度解決的問題，讓學生在方法研討中獲得高層次使用數學的能力，體驗創新意識和基本方法的可用性。

我們可以把上述的“小麗假期勤工儉學售報紙，計算贏利”的現實情境作為觀察學習的概念“雛形”。其中，填表以及對應問題串的設計是概念生長的思維沃土，實現由表象到概念的變遷，這里既有陳述知識到程序知識的轉化，也有概念理解到概念使用的遷移，體現概念教學的層次觀；學以致用的過程就是高階思維發揮作用的過程。這些不確定的、變化的過程性特征，與“從思維的抽象發展到思維的具體，在思維中再現事物的整體性和具體性”的觀念具有內部的一致性。

三、由探索“解釋數學”

2011年版課程標準認為，“探索”是指“獨立或與他人合作參與特定的數學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發現對象的特征及其與相關對象的區別和聯系，獲得一定的理性認識”。獲得理性認識的過程就是探索習得經驗的內化過程，更新了原有經驗結構，實現了新舊經驗的同化或順應。探究、探尋是探索的替代概念，帶有“究往窮來”“探明淵源”的特征。比如，在具體問題解決中，探索用字母表示數的簡明意義，發展從具體到抽象的歸納思想；在參與觀察、實驗、猜想、證明、實踐活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰表達自己的想法，體會數學的基本思想和思維方式；等等。這些過程性目標是當前“育人目標”的顯性特征，既要求數學過程能反映對象解釋數學的能力水平，也要求數學過程能反映對象基本經驗的獲得水平。

“探索”這一行為動詞本身就帶有強烈的過程性特征。探索的過程就是“解釋數學”的過程，“解釋數學”的過程就是擴展概念內涵的過程，也是理解概念的思維基礎。理解概念是引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同角度加以分析、從不同的層次進行理解的具體化，反映“解釋數學”的經驗水平。為此，“解釋數學”過程必須突出三個層次：一是引導數學思考，鏈接相關經驗，突出知識內部關系；二是設置問題鏈，拉長概念思維長度，建立“解釋數學”的方法體系；三是設計動手“做”數學支架，積累基本活動經驗，達成深度學習目標。

不妨以“用字母表示數”為“解釋數學”的一個范例，具體解釋程序如下。

首先，讓學生基于已有經驗和認知水平，提出“人人均能做有所用、思有所成”的記憶性目標，實現概念的先行組織行為。比如，讓學生用字母表示學過的運算律；任意畫出一個三角形、平行四邊形、梯形等并標注字母，用字母表示這些基本圖形的面積；用含有字母n的代數式表示任意一個奇數或偶數等。這些先行組織材料為概念的產生提供了思維鋪墊，為“解釋數學”奠基。

其次，讓學生通過研究月歷掌握概念。“解釋數學”是概念生長的外部表現，是新舊經驗得以整合并概括的內在形式。一是讓學生在月歷的同一行上任意圈出三個數，用字母a表示其中一個數，研究其余兩個數如何用含有字母a的代數式表示；二是讓學生在同一列上任意圈出三個數，用字母b表示其中一個數，研究

（）（）如何用含有字母b的代數式表示其余兩個數；三是用矩形任意框出四個數，用字母c表示其中一個數，研究如何用含有字母c的代數式表示其余三個數等。設置這種貼近生活經驗的問題鏈，有利于學生的“解釋數學”素養的發展。

最后，讓學生在動手做數學的過程中建立概念體系，落實數學課程教育的育人價值目標和解釋數學的數學能力。如圖1，按照如（1）～（5）的小正方形的排列方式進行操作：（1）（2）（3）（4）（5）……（9）（10）（n）各有多少個小正方形？思考：（2）比（1）多幾個小正方形？（3）比（2）呢？（4）比（3）呢？（5）比（4）呢？……（10）比（9）呢？（n）比（n-1）呢？說說你的想法。結合本次實驗的規律，你能找到簡單而又快捷地計算式子1+3+5+7+…+997+999的方法嗎？請與同學交流。

（圖1）

這種帶有鮮明高階思維特征的深度學習行為，突出了“思維為經驗讓步，經驗為方法讓步”的“做”數學的特征，聚焦“特殊—一般—特殊”的基本思想和思維方式，反映了解釋數學的基本意義。就“解釋數學”邏輯理序來說，上述案例中，寫出“數學規律”“數學公式”是數學思考的執行動作，反映“解釋數學”的先行組織行為。探索“月歷中數字規律”的行為是概念生長的內部表現，為后續的整式、方程、函數、不等式等運算經驗的獲取做好鋪墊。動手“做”數學的過程就是概念得以完善的探索過程，也是“解釋數學”得以發揮作用的過程，使得概念的邏輯關系敞亮通透，突出了不同角度解決問題的優越性和基本經驗的逆向性。