基于優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)方式的數(shù)學(xué)閱讀指導(dǎo)*
——以數(shù)學(xué)教材為例

優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是新課程改革的重要目標(biāo)和內(nèi)容。學(xué)生學(xué)習(xí)方式是否得到了轉(zhuǎn)變與優(yōu)化，是衡量新課程改革是否成功的重要標(biāo)志。在知識(shí)更新頻繁且日益加快的今天，學(xué)校教育更要教給學(xué)生獲取知識(shí)的方法，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式勢(shì)在必行。相關(guān)研究表明，教師指導(dǎo)在影響學(xué)生學(xué)習(xí)方式中占有重要比重。［1］筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，一以貫之地將“優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式”作為數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作的重心和落腳點(diǎn)，“數(shù)學(xué)閱讀指導(dǎo)”即是筆者優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的一種嘗試。

談及數(shù)學(xué)閱讀，我們須樹(shù)立廣義的閱讀觀。廣義的閱讀，是指把閱讀作為學(xué)習(xí)其他內(nèi)容、為生活做準(zhǔn)備以及參與公共活動(dòng)的工具。國(guó)際知名的PISA測(cè)試將閱讀素養(yǎng)的測(cè)評(píng)作為其重要組成部分，它將閱讀測(cè)試涉及的情境分為個(gè)人的、公共的、教育的、職業(yè)的四種［2］，其中教育的情境指為了學(xué)習(xí)新知識(shí)而閱讀，是為了獲取信息來(lái)完成某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)而開(kāi)展的閱讀。閱讀數(shù)學(xué)文本所用的方法與文科閱讀有共性之處，但由于學(xué)科特征，這就使得我們必須以“數(shù)學(xué)的方式”來(lái)閱讀數(shù)學(xué)文本。因此，數(shù)學(xué)閱讀的過(guò)程應(yīng)是在教師指導(dǎo)下，學(xué)生按照一定方式、方法，對(duì)數(shù)學(xué)文本進(jìn)行閱讀、學(xué)習(xí)、思考與質(zhì)疑的過(guò)程。在數(shù)學(xué)閱讀和文本信息獲取的過(guò)程中，不僅能有效提高學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)、豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，更重要的是學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)自主性得到了極大的提升。可供閱讀的數(shù)學(xué)文本有很多：數(shù)學(xué)教材、習(xí)題、論文、科普讀物、人物傳記等等。數(shù)學(xué)教材是實(shí)現(xiàn)國(guó)家課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中就“如何指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)教材的閱讀”進(jìn)行了不斷的實(shí)踐與反思，現(xiàn)將其整理成文，敬請(qǐng)指正。

一、指導(dǎo)學(xué)生閱讀章節(jié)起始內(nèi)容

無(wú)論是哪個(gè)版本的教材，教科書(shū)在每章的起始都有一段話，還有與內(nèi)容配套的圖片，有的教材還有與之相應(yīng)的名人名言和詩(shī)詞。這些內(nèi)容與一般教學(xué)內(nèi)容不同，不是以單獨(dú)課題出現(xiàn)，而是放在一章之前，成為一章的起始內(nèi)容。以蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修5第三章“不等式”的章節(jié)起始內(nèi)容為例。

教材首先給出了一張圖片，圖片呈現(xiàn)的是一次帆船比賽：大賽組委會(huì)根據(jù)船隊(duì)所用的時(shí)間長(zhǎng)短來(lái)決定比賽的名次。

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考：這幅圖片和本章要研究的主題“不等式”有怎樣的關(guān)系？——這幅圖片中隱藏著本章要研究的重要模型——不等關(guān)系（不等式）。我們生活在大千世界里，無(wú)論是現(xiàn)實(shí)世界還是日常生活中都有大量的不等關(guān)系（不等式），圖片展現(xiàn)的就是一個(gè)在我們身邊再平常不過(guò)的例子：比賽排名。

緊接在圖片之后，是國(guó)際微分幾何大師陳省身先生的一句名言：“我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué)。”

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考：這句名人名言與本章要研究的主題“不等式”有著怎樣的關(guān)系？——再一次揭示我們本章要研究的是能刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活的一個(gè)重要模型。

在第一節(jié)“不等關(guān)系”開(kāi)始之前，教材還呈現(xiàn)了這樣幾段文字：

“在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，存在著大量的不等關(guān)系，不等式是刻畫(huà)不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

我們已利用不等式的基本性質(zhì)求得一元一次不等式ax+b＞0的解集，同時(shí)，研究了一元一次不等式ax+b＞0與一次函數(shù)y=ax+b及一元一次方程ax+b=0三者之間的關(guān)系。

當(dāng)我們面臨新的不等式時(shí)，例如，一元二次不等式ax2+bx+c＞0、二元一次不等式ax+by+c＞0等，我們自然會(huì)想到，曾經(jīng)用過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法還能繼續(xù)運(yùn)用嗎？”

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考：從這段章頭語(yǔ)中我們有哪些啟發(fā)和收獲？在教材上寫(xiě)下你的收獲和啟發(fā)。

——從研究?jī)?nèi)容來(lái)看，本章要研究的是不等式，會(huì)涉及解一元二次不等式等問(wèn)題；從研究方法來(lái)看，章頭語(yǔ)暗示我們可應(yīng)用函數(shù)與方程、類比等數(shù)學(xué)思想方法對(duì)一元二次不等式及其他相關(guān)問(wèn)題加以研究。章頭語(yǔ)是本章研究?jī)?nèi)容與研究方法的有機(jī)融合。

自然，有老師會(huì)對(duì)學(xué)生是否能夠達(dá)到這一閱讀層次提出質(zhì)疑，筆者認(rèn)為，也許學(xué)生一開(kāi)始理解得不會(huì)那么到位，但有思考就有收獲，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完整個(gè)章節(jié)后，對(duì)章節(jié)起始內(nèi)容會(huì)逐步形成更為深刻的理解，這些思考的方式和經(jīng)驗(yàn)也勢(shì)必會(huì)對(duì)其他章節(jié)起始內(nèi)容的閱讀帶來(lái)啟發(fā)。

二、指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)概念和定義

數(shù)學(xué)概念和定義是數(shù)學(xué)的重要組成部分。在指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)概念和定義（含約定式定義）時(shí)，不僅要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從概念和定義中抓住關(guān)鍵詞，還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念和定義產(chǎn)生的必要性和合理性進(jìn)行有益的思考和質(zhì)疑。

以“等差數(shù)列”這一核心概念的定義為例：“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為該等差數(shù)列的公差，用d表示。”

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考以下問(wèn)題。

問(wèn)題1：等差數(shù)列的定義中，有哪些關(guān)鍵詞？

問(wèn)題2：減法是常見(jiàn)的四則運(yùn)算之一，類比等差數(shù)列的定義，你還能提出新的概念和定義嗎？

問(wèn)題3：等差數(shù)列除了這種定義方式之外，你認(rèn)為還有別的定義方式嗎？如有，請(qǐng)寫(xiě)出你的成果，并與之進(jìn)行比較，哪一個(gè)更為合理。

——也可定義為前一項(xiàng)減去后一項(xiàng)，但定義的敘述方式顯得啰唆。若該數(shù)列是無(wú)限數(shù)列，每一項(xiàng)與后一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列；若該數(shù)列是有限數(shù)列，則從首項(xiàng)至最后第二項(xiàng)，每一項(xiàng)與后一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列。雖然也合理，但確實(shí)沒(méi)有教材來(lái)得那么簡(jiǎn)潔。

再以閱讀教材“集合子集”的一個(gè)重要性質(zhì)為例：“我們約定，空集是任何集合的子集。”

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考以下問(wèn)題。

問(wèn)題1：為什么要有這樣的約定？（探討其必要性）

——從子集定義可知，子集定義中所涉及的集合不包括空集。為了完善子集定義，約定空集是任何集合的子集是必要的。

問(wèn)題2：為什么可以有這樣的約定？（探討其合理性）

——由子集的定義可知，顯然有任何一個(gè)集合是它本身的子集，但是上述這個(gè)結(jié)論中的“任何一個(gè)集合”，也是不包括空集的，只有規(guī)定了“空集是任何集合的子集”，才真正使每一個(gè)集合（包括空集）都成立。

在指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材概念和定義時(shí)，可給學(xué)生提供一些思考的角度和方式。譬如上述兩個(gè)案例中提到的，“這個(gè)定義中，有哪些關(guān)鍵詞需要注意？”“類比這個(gè)概念和定義，你還能提出新的概念和定義嗎？”“除了教材所給的定義方式之外，還有別的定義方式嗎？試比較你的定義和教材定義的優(yōu)劣。”“為什么要作出這樣的約定？”“為什么可以作出這樣的約定？”等等問(wèn)題。通過(guò)提供一些可操作的方法，幫助學(xué)生不斷地積累閱讀、學(xué)習(xí)、質(zhì)疑概念和定義的經(jīng)驗(yàn)。

三、指導(dǎo)學(xué)生閱讀定理和公式

數(shù)學(xué)定理和公式是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。在指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的定理和公式時(shí)，可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行閱讀指導(dǎo)：第一，定理和公式使用的條件是什么？結(jié)論是什么？第二，定理和公式有哪些等價(jià)變形？第三，定理和公式的證明方法有哪些？每個(gè)證明方法各體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？第四，定理和公式有怎樣的應(yīng)用？第五，該定理和公式與其他定理、公式之間有怎樣的聯(lián)系？第六，該定理和公式為何這樣命名？等等。以“基本不等式”這一公式的閱讀指導(dǎo)為例。

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考以下問(wèn)題。

問(wèn)題1：該公式使用的條件是什么？結(jié)論是什么？

問(wèn)題2：該公式可有哪些等價(jià)變形形式？

問(wèn)題3：該公式有哪些證明方法？不同的證明方法各自體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？

（圖1）

證明4：如圖1，已知AB為圓O的直徑，D是圓O上異于A，B的任意一點(diǎn)，過(guò)D作DC⊥AB，垂足為 C，連接 DO，設(shè) AC＝a，BC＝b，則易得若C，O兩點(diǎn)重合，即a=b時(shí)，；若C，O兩點(diǎn)不重合，即a≠b時(shí)綜上，成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

證法1和證法3采用的是直接法，證法2則采用了分析法，而證法4結(jié)合圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法給出了公式的幾何證明。

問(wèn)題4：該公式有什么樣的應(yīng)用？

——可用來(lái)求兩個(gè)正數(shù)和或積的最值或范圍。

問(wèn)題5：為什么該公式稱為基本不等式？基本在哪里？

——和與積是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最為簡(jiǎn)單的兩種運(yùn)算形式，該公式體現(xiàn)的恰恰是兩個(gè)正數(shù)的和與積的不等關(guān)系，因此稱為基本不等式。

四、指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材的例題和習(xí)題

教材例題與習(xí)題的選編是教材編寫(xiě)過(guò)程中的重要一環(huán)，蘇教版教材從2004年至今先后經(jīng)歷了4次大規(guī)模的修訂，其中例習(xí)題的修訂力度最大，可見(jiàn)教材編寫(xiě)團(tuán)隊(duì)對(duì)教材例習(xí)題選編的高度重視。筆者以為，教材例題不僅要用，而且要用好，通過(guò)對(duì)教材例題的研究和反思，可以學(xué)到不少研究問(wèn)題的邏輯、思路和方法。因此，教師有必要對(duì)教材例習(xí)題的閱讀進(jìn)行有效的指導(dǎo)。

對(duì)教材例題的閱讀指導(dǎo)必須凸顯其示范性，分析并明確每一個(gè)例題的設(shè)置意圖，可從“這個(gè)例題想告訴我們什么？”“你從例題的解答過(guò)程中有什么收獲？”“如何規(guī)范地進(jìn)行這一類問(wèn)題的作答？”等方面入手。以蘇教版必修1“函數(shù)的奇偶性”例題為例。

例6 判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)。

（1）f（x）=x2-1；（2）f（x）=2x；（3）f（x）=2|x|；（4）f（x）=（x-1）2。

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考以下問(wèn)題。

問(wèn)題1：這個(gè)例題設(shè)置的意圖是什么？

問(wèn)題2：通過(guò)例題的解答，你有什么收獲？

——利用定義來(lái)證明一個(gè)函數(shù)是否具有奇偶性的一般步驟：首先研究函數(shù)的定義域，其次利用定義加以判斷。本題的前三個(gè)函數(shù)都是具有奇偶性的函數(shù)，直接寫(xiě)出f（x）與f（-x）的關(guān)系即可得證，而第四個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則需要舉反例說(shuō)明。

問(wèn)題3：如何規(guī)范地進(jìn)行作答和書(shū)寫(xiě)？

對(duì)教材習(xí)題的閱讀主要凸顯其拓展性和探究性，可從“本題的結(jié)論能否作進(jìn)一步推廣？”“針對(duì)本題的條件與結(jié)論，能否提出其他相似的問(wèn)題？”“能否就本題的條件和模型加以變化，變更為其他條件或模型？”等等。教材可以拓展和探究的問(wèn)題有很多，以蘇教版必修4一道“直角走廊”問(wèn)題為例說(shuō)明：一鐵棒欲通過(guò)如圖2所示的直角走廊，回答下列問(wèn)題。

（圖2）

（2）求 L（θ）的最小值（用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；

（3）解釋（2）中所求的L是能通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值。

【閱讀指導(dǎo)】請(qǐng)學(xué)生思考以下問(wèn)題。

問(wèn)題1：該問(wèn)題如何解答？

問(wèn)題2：該問(wèn)題能否作進(jìn)一步的拓展？

——該題是一道非常有趣的應(yīng)用題，形式新穎，又貼近生活實(shí)際，我們可以進(jìn)一步提出新的問(wèn)題：題目中展現(xiàn)的是一個(gè)不等寬的直角走廊，如果換成等寬直角走廊，情況有何變化？若將直角走廊換成120°的折線形走廊、圓角走廊，將木棒變成有厚度的平板小車(chē)（或木板），情況又是怎樣的呢？

教材可供閱讀的部分還有很多，限于篇幅，不再一一贅述。為了進(jìn)行更為有效的數(shù)學(xué)教材的閱讀指導(dǎo)，筆者以為可加強(qiáng)以下三個(gè)方面的研究。

第一，教師要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)教材的研究。教師對(duì)教材的理解和把握能力，會(huì)直接影響學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材的質(zhì)量和層次。因此，數(shù)學(xué)教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，特別是加強(qiáng)針對(duì)教材研究的學(xué)習(xí)，可搜集數(shù)學(xué)教育類期刊中的相關(guān)論文、購(gòu)買(mǎi)針對(duì)教材進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)教育專著進(jìn)行學(xué)習(xí)，可多參與各類教師教育培訓(xùn)和社會(huì)共同體活動(dòng)等等。通過(guò)學(xué)習(xí)，掌握教材概念和定義的內(nèi)涵與外延，深刻理解教材公式和定理的來(lái)龍去脈，明確教材章節(jié)起始內(nèi)容的豐富內(nèi)涵，把握教材例習(xí)題的編寫(xiě)意圖及其示范、拓展、探究等價(jià)值，如此才能有的放矢，對(duì)學(xué)生進(jìn)行教材的閱讀給予更多專業(yè)化的指導(dǎo)。

第二，教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的研究。教師在對(duì)學(xué)生進(jìn)行閱讀指導(dǎo)時(shí)，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的研究，要對(duì)不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生提出不同的要求，并拿出不同的指導(dǎo)方案；要對(duì)學(xué)生教材閱讀的進(jìn)程加以監(jiān)控和測(cè)評(píng)，可考慮經(jīng)常舉辦閱讀教材能力的相關(guān)競(jìng)賽，以激發(fā)學(xué)生參與教材閱讀的積極性和興趣，與此同時(shí)，考慮到學(xué)生進(jìn)行教材閱讀主要利用假期或周末時(shí)間，有條件的學(xué)校和教師可建立教師專用輔導(dǎo)QQ群或微信群，及時(shí)輔導(dǎo)和追蹤學(xué)生的教材閱讀進(jìn)展，解決學(xué)生在閱讀教材過(guò)程中產(chǎn)生的困惑和疑難。

第三，教師要將對(duì)教材閱讀的指導(dǎo)上升到“課”的高度加以研究。筆者只是借助自身的實(shí)踐體會(huì)和經(jīng)驗(yàn)分享了自己平時(shí)指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材的一些做法，卻未能上升到課的高度進(jìn)行研究。既然對(duì)教材閱讀加以指導(dǎo)能在很大程度上豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)自主性，如若能將對(duì)教材閱讀的指導(dǎo)上升到課的高度進(jìn)行研究，形成“數(shù)學(xué)教材閱讀指導(dǎo)課”，那么它的價(jià)值可以得到更大程度的體現(xiàn)和彰顯。因此，雖然筆者這幾年在指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材上做出了一些有益的探索和實(shí)踐，但一門(mén)新的課程出現(xiàn)，勢(shì)必還要考慮諸多因素，關(guān)于“數(shù)學(xué)教材閱讀指導(dǎo)課”的教學(xué)研究仍是一個(gè)系統(tǒng)工程，還有很多問(wèn)題值得我們進(jìn)行深入探討。