淺談極值點偏移問題中構造函數的兩種方法

（江蘇省南通中學 江蘇南通 226000）

一、構造差函數

例1.（2014江蘇南通二模第20題）設函數f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖象與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，且x1＜x2.

第一問的答案為a＞e2.

因為f(x)的導函數f′(x)=ex-a，所以x2＞lna，f(1) ＞0，所以x1＞1，則有當a=e3時，③式不滿足，所以這條路無法走下去.

那么這道題是不是無解呢，顯然不是，我們可以從另外一個角度來思考，利用①式和②式相減：

設g(s)= 2s-(es-e-s)，則g′(s)=2-(es+e-s)＜0，所以g(s)是單調減函數。

這個方法未免過于討巧了些，那我們能不能找一些更具有普適性的方法呢？

我們都知道，在做極值點偏移的題目時，有一個常規的做法，就是構造形如g(x) =f(x+c)-f(x-c)的式子（c為極值點的橫坐標）

g(x) =a(ex-e-x-2x)

∴f(x1) =f(x2) =f[ lna-(x2-lna) ] ＞f[ l na-(x2-lna) ] =f(2lna-x2)因為f(x)在(0 ,ln )單調減，

主元法構造也屬于構造差函數的一種.本題也可構造g(x) =f(x) -f(2lna-x)(x＜ lna)，具體解法與上相同，不再贅述了.

二、齊次化構造

例2.（2017屆湖北省第一次八校聯考理科21題）已知函數f(x) = l n(x+ 2a) -ax，a＞0.

這種思路在思考是不容易將式子變形到我們所能夠進行求導處理的函數形式，所以我們可以選擇在思維難度方面要求更低的齊次化構造.

所以，h(t)在(1,+∞)上單調遞增，h(t) ＞h(1) = 0，

我們在解答有關極值點偏移的問題時，構造函數能為我們省下不少時間和精力，但是依舊存有一些疑惑，在進行構造的時候該怎樣選取構造方式？如例1，在使用齊次化構造的時候會遇到比較難辦的構造差函數則相對比較容易破解，而在例2中，齊次化構造相對于構造差函數又降低了思維難度困難， 怎樣快速選取構造函數的方法還希望能和大家一起討論交流.