開啟數學閱讀的智慧之窗
——有感于張景中的科普讀物

王鵬遠

閱讀是當前語文教學的弱項，更是數學教學的短板。語文教學起碼還離不開教科書，對于數學教學而言，教科書幾乎都變得無足輕重了。大多數學生并沒有認真閱讀教科書的習慣，他們把教科書僅僅視為可從中找到教師布置作業的一本習題冊。教科書不是讀不明白，就是對由數學符號、公式、定理呈現的課文感到枯燥，讀起來沒有味道，沒什么好讀的。當前市面上流行的教輔材料大多也是應對考試的變相習題冊加上一些對知識點的生硬解讀（如一課一練、同步輔導），同樣沒有多少可讀性，因此學生的數學課外閱讀也多限于解題。數學教學在很大程度上淪為單純的解題訓練了。學生的課內外數學閱讀嚴重不足，這不利于學生深刻理解生動的數學思想，也不利于學生在學科學習方面的進一步發展。

解決學生閱讀的首要任務是為學生提供適于閱讀的教材，數學由于其學科特點在這方面遇到的困難更大。要想把被多數人認為抽象難懂的數學變為有趣的、容易理解的學問，既要突出科學性，又要具有可讀性，這真是一門藝術，實現起來難度很大。要高屋建瓴，又要深入淺出，還需要發揮高超的語言感染力。數學教材的建設很大程度上考驗著作者的功底，需要數學大家的參與。前一段時間張景中主持編寫的高中數學“湘教版”教材，在這方面做了一些突破，受到廣泛好評，還被引入臺灣地區，但由于種種原因卻沒有在大陸進一步推廣。于是我們設想，既然建設滿意的教材有待時日，何不從學生的數學課外閱讀打開缺口呢？既然語文教學為學生的閱讀開列了那么一長串書單，那么數學教學現在也可以為學生推薦一些書目，打開學生數學閱讀的智慧之窗。

圖1 《院士數學講座專輯·中國科普名家名作（典藏版）》（中國少年兒童出版社，2011年7月）

其實，在這方面的科普讀物已經不少，其中一些是數學大家親自撰寫的，光是張景中寫的就有《數學家的眼光》《漫話數學》《數學哲學》《計算機怎樣解幾何題》《不用極限的微積分》《從談起》《面積關系幫你解題》《幫你學數學》《一線串通的初等數學》……當然除了張景中的科普著作外還有其他一些優秀的讀物。我們設想何不把這些現成的資源作為學生的課外閱讀材料，補充和延伸到當前的數學教學，滿足不同學生和家長的多方面需求呢？

通過閱讀體味數學的趣味性

科普作品的一大特點是生動有趣，能夠抓住學生的眼球，這是吸引學生數學閱讀的前提條件。2002年在北京舉行的國際數學家大會期間，當時91歲高齡的數學家陳省身先生為少年兒童題詞，寫下了“數學好玩”四個大字。這實際上是在呼吁要大力培養少年兒童的數學興趣。少年兒童是一個人成長的關鍵期，在這個時期培養什么興趣對其終生發展影響深遠。國際知名的數學家丘成桐在一次演講中說：“對于孩子們來說，學到多少知識并不是最重要的，興趣的培養，才是決定其終身事業的關鍵?！迸d趣是學生學好數學的內驅力，激發興趣是打開成功的數學教育的大門。

問題是如何激發學生對數學的興趣？回味科普作品的創作應該給我們不少有益的啟示。數學真的好玩嗎？多數學生對數學的感覺恰好相反：數學枯燥、數學難學，甚至可憎。眾所周知，抽象和嚴謹是數學的特點，這也是許多學生感到數學困難而疏遠它的原因。成功的數學教學不是要避開抽象和嚴謹，而是要藝術地、巧妙地處理抽象和嚴謹。有的課堂把本來容易的數學講難了，而成功的課堂卻把數學變得容易且妙趣橫生。

我們在張景中的作品中讀出了數學的韻味。生動通俗的語言，引人深思的發問，貼近孩子生活的奇妙例子，不乏幾分幽默的數學“故事”，凸顯出數學本來“好玩”的真面孔。

以下看幾個例子。

“運算的規律”，這是《漫話數學》一書中的第三章。運算是數學學習的重要內容，也容易讓學生感到枯燥。但作者將這一內容言簡意賅地娓娓道來，僅用兩頁半的篇幅就對運算規律進行了高度精煉的概括，讀來興趣盎然。

該章有四個小標題：“什么是運算”“為什么-(-a)=a”“能交換與不能交換”“代數運算的三個級別”。雖然學生從小學一年級就開始學習運算，日常生活也離不開運算，但到底“什么是運算”卻一下把人們問蒙了。-(-a)=a，學生都知道，但許多學生卻回答不出其中的道理。“好”的問題可以啟發思考，但課堂上，雖然教師提問的問題不少，卻往往問不到“點”上。

再看第三個標題“能交換與不能交換”的行文：

生活中有很多事，先后順序是不能交換的。你不能先把扣子扣好，再穿衣服。語言文字，有順序可交換的，但意義可能變了?！皩覒饘覕　钡膶④娛遣莅?，而“屢敗屢戰”卻多少表現出堅持戰斗的勇氣。

“先扣扣子再穿衣服”有幾分好笑，誰能這樣穿衣服呢！“屢戰屢敗”的文字一顛倒，就表達了完全相反的意思。這里沒有講數學，而是用詼諧的語言道出了樸素的道理。

作者接著寫道：

就在數學里，不能交換的地方也很多。你不能把35寫成53，把100寫成001，不能把2^3寫成3^2，不能把2+3×5當成3+2×5.

把35寫成53，把100寫成001，一般的人誰都不會犯這樣的錯誤，但學生在初學時犯后兩個錯誤的卻大有人在。

接下來話題轉到物理：

物理運動，有的能交換，有的不能交換。“向東走10米，再向南走5米”，其結果和“向南走5米，再向東走10米”是一樣的。“向左轉，再向后轉”和“向后轉，再向左轉”也是一樣的?！跋蜃筠D，再向前5步走”和“向前5步走，在向左轉”卻大不相同。

理解這段話需稍思考，但通過日常生活的經驗也能理解“能交換與不能交換”。最后作者要說的重要的一點是“能不能交換順序，運算時應當時時留心”。

也許課堂上教師諄諄叮囑學生的也是最后這句話，但直說顯得有些干巴生硬。可作者在這里卻深入淺出略帶幾分幽默，講得好玩、有趣，給學生留下深刻的印象。接下來再看“代數運算的三個級別”就順理成章了。引導學生進行這樣的課外閱讀不是很有意思嗎！

我們知道，問題是發展數學的源泉，教學中常常需要考慮如何創設問題情境。讓我們看看張景中是怎樣做的。以下是他《從談起》的片段：

在1和2之間，分數多得很，要多少有多少，而且密密麻麻地擠在一起，那么，其中有沒有這樣一個分數，它自乘以后恰巧等于2呢？看來似乎應當有。真的有嗎？那你找幾個試試看，你一定找不到——不是太大，就是太小。盡管能找到平方很接近2的分數，但是要恰巧等于2，是不可能的。

也許你會說，1和2 之間既然有無窮多個分數，那就不可能一個一個地試，又怎能斷定沒有一個分數，它的平方等于2呢？

這個問題，早在2000多年前就解決了。請看：

（下略）

這里張景中創設了一個懸念：“在1和2之間，分數多得很，要多少有多少，而且密密麻麻地擠在一起，那么，其中有沒有這樣一個分數，它自乘以后恰巧等于2呢？看來似乎應當有?！薄懊苊苈槁閿D在一起”多么形象！既然有那么多要多少有多少的有理數擠在一起，總該有一個分數自乘之后等于2了。這一想法正好符合學生的思維心理。接著作者話鋒一轉，設置了疑問：真的有嗎？此時作者給學生出主意：找幾個試試看！可是又遇到問題了：1和2之間有無窮多個數，一個個地試，試得過來嗎！怎么辦？在勾起了學生的好奇，急于求得問題的解決時，作者才適時地給出了證明，給出的恰到火候！看來解讀數學有時也需要像張景中那樣設置一些“包袱”。

在此之后，張景中又講述了歷史上發現這個事實的年輕人希帕蘇斯為堅持真理被拋入大海的故事，以及與此有關的數學文化。這樣對的解讀就很有趣了，閱讀這一段文字不是一種享受嗎？如果我們的課堂能吸取張景中的做法，又會有多少學生不喜歡數學呢！

通過閱讀與大師交流數學思想

北京大學原校長、數學家、數學教育家丁石孫教授在《數學與教育》一書“數學與人類思維”一章中寫道：

作為既是一門高度抽象的理論性學科，又是一門應用廣泛的工具學科，數學在培養人的思維方面，也具有其他學科無法替代的功能。

數學的發展，主要是數學思想的發展，美國數學史家M.克萊因將其數學史名著取名為《古今數學思想》。

丁石孫接著說，要使數學教育真正發揮思維訓練的作用，首先要求數學教師自覺意識到數學的這種功能，并能充分理解數學中蘊含的思想。一批在數學最前沿工作的數學家，熱衷于數學教育，利用各種各樣的途徑和方法直接參與中小學的數學教學。他們從自己形成的對數學的獨特感受，從自己受數學影響而產生的思想出發，直接把活生生的思想注入教育之中，這是我們應該重視的不可多得的寶貴資源。一般的數學教師向學生傳授的多是知識和技巧，而數學大師們給予學生的則是思想。讀到這里，自然想到了張景中。

張景中《數學家的眼光》一書，傳達的正是這種思想。閱讀他的科普作品，猶如直接與大師交流。在輕松的環境下自主學習，能夠細細品味、吃透大師的數學思想，這是與課堂聽講完全不同的感受。課堂聽講往往是被動學習，教師關注知識點的理解和解題技巧，有時學生的思維節奏難與教師的講授同步，可能一些問題還沒來得及消化，教師已一語帶過，有的問題早已想清楚，教師卻還在不厭其煩地講解。自主學習的數學閱讀可以有更多的自主權，不僅提高了學生自主學習的能力，還可以更深刻地感悟生動的數學思想。

下面我們欣賞《數學家的眼光》中“變化與不變”的一個片段：

哥哥長一歲，弟弟也長一歲。兩個人的年齡都變了，但年齡的差沒有變。去年哥哥比弟弟大3歲，今年還是大3歲。

把一張椅子從屋里搬到院子里，椅子的位置變了，但大小沒有變。它還是那么高、那么寬。方的還是方的，圓的還是圓的。

照相機把萬里河山的壯麗景色攝于小小的底片上，顯微鏡把細菌的奧秘呈現于眼底。大的可以變小，小的可以變大。在這類變化之中大小變了，模樣兒大體沒有變。

以上所談論的事都在我們身邊發生，誰都明白，但沒有多想。數學家舉這么多似乎與數學不沾邊的事例究竟要說什么？且看張景中下面的敘述：

大千世界，到處都在發生著或明顯或隱蔽的運動與變化。迅速的變化令人目眩神迷，緩慢的變化使人不知不覺。但是，正像前面的例子那樣，在變化的過程中，常常有相對不變的東西。

數學家的眼光，常常盯住變化中不變的東西，正是這些不變的東西，把變化中的不同鏡頭聯系起來，幫助我們認識變化過程的本質，幫助我們解決各種問題。

到底是數學家的眼光尖銳，一下抓住了這些事物的共同點，也就是事物的本質。這樣精彩的、高屋建瓴的總結概括是課堂上不多見的。

這一思想可以幫助我們解決什么問題呢？作者接著談到小學生解應用題時關鍵是抓住不變量，中學生解方程在變形時方程的解并沒有變，這是移項的根據。平面幾何中，圖形經過旋轉、平移、反射，兩點的距離沒有變。按比例放大、縮小的時候角度沒有變。利用圖形在變化過程中的不變性質，常?？梢哉业狡婷畹慕忸}竅門。為了說明問題，作者又舉了用此思想解決的三個漂亮的例題。最后他寫道：

變換，是數學家手里的一大利器。看清楚哪些東西是在變化中不變的，數學家就能得心應手地用變換的辦法解決問題。

一個看似普通的標題“變化與不變”引出閃光的數學思想方法，從那些具體的、耳熟能詳的例子中提煉出生動活潑的數學思想方法，不是空洞的說教，而是深入人心地帶著你一步步的思考，從具體到抽象再回到具體，從特殊到一般再到特殊，數學就是這樣發展的，這樣的閱讀給人的印象深刻。

限于篇幅，這里不舉更多的例子了。不過可以說，《數學家的眼光》中篇篇都是美文，滲透著數學家閃光的數學思想。

通過閱讀培養創新意識

創新驅動，已經成為人工智能時代的國家發展戰略。在《基礎數學課程標準（2011年版）》中，創新意識是新增加的一個核心概念。標準指出：“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中。”

閱讀張景中的科普作品可以感悟到一個個完整的創新過程，有利于創新意識的培養。

首先是激發孩子的好奇心。好奇心是創造性人才的重要特征，愛因斯坦認為他之所以成功，原因在于他有狂熱的好奇心。如果沒有好奇心和求知欲為動力，就不可能產生有價值的創造。

張景中科普作品的一個特點是通過一次次地提出問題創設懸念，激發學生的好奇心。

例如，“一個小孩為什么能拉住一頭牛？”光是這個題目就足以釣起學生閱讀的興趣。再如，“地下高速列車從上海挖一條筆直的地道直通烏魯木齊，乘坐在這條地道開通的高速列車，借助地心引力，多長時間可從上海到達烏魯木齊？”看來，這倒是個節能的奇思妙想，能實現嗎？如果真能從北京開通一條直達紐約的地道，情況又如何呢？

其次是問題意識和獨立思考。問題是數學發展的源泉，也是創新的基礎，張景中的科普作品都是從一系列問題出發，引起活躍的數學思考，歸納概括出猜想和規律，并進行驗證。在《數學哲學》一書的每章后面，作者還給出思考和討論的題目。在某種意義上，閱讀張景中的科普是一次感悟和體驗創新的過程。

張景中的作品不少屬于原創，這和他的科研是密不可分的。他的一些原創，基于強烈的迎難而上的問題意識和大膽的求異思維。

例如，“平面幾何新路”“面積關系幫你解題”，這都與他在幾何教學上的創新有關。

還是在1974年4月，張景中走上新疆建設兵團21團子女中學初二年級講臺，講平面幾何。在教學中，他痛感傳統的幾何解題方法過于依賴技巧，難以為學生掌握，開始探索新的更有效的方法。他很快發現，用面積關系解幾何題目非常有效，并且容易掌握。他對這種技巧作了深入的研究，把它從特殊技巧初步發展成一般方法。面積法引出了教育數學的研究，并導致十八年后幾何定理可讀證明自動生成新方法的出現。

談到“計算機怎樣解幾何題”，這又與他在機器證明的開創性工作有關。

1979年張景中到中國科學技術大學，從《中國科學》上看到了吳文俊提出幾何定理機器證明新方法的論文。這一突破性工作對他有莫大的吸引力，他就開始向這一方向學習、思考、創造。

在幾何定理機器證明的吳方法取得公認的成功后，這一領域面臨兩個有待突破的難題：一個是幾何不等式的機器證明問題，另一個是如何讓機器生成易于理解和檢驗證明的問題。張景中特別關注的是后一問題，即可讀證明的自動生成問題。

直到1992年年初，所有有效的幾何定理機器證明的方法都只能判定命題是否成立，而不能給出通常意義下的證明，即人在合理的時間內能看明白，能檢驗其正確性的證明。在一些著名的科學家看來，讓計算機用統一的方法對千變萬化的幾何命題給出通常意義下的證明是不可能的。但是，如果不突破這一關，幾何定理機器證明就難以在教育中發揮作用，難以得到大眾的理解，難以在人類文化的發展中扮演更重要的角色。張景中迎難而上，在1992年提出了在面積方法的基礎上，探索幾何定理可讀證明自動生成的新途徑。經過一個個不眠之夜，從面積方法解題的大量經驗中提煉出對這一要害問題的回答：“消點”，解決了幾何定理證明的可視化難題，后來還發展出用于中學教學的工具軟件“超級畫板”。

談到“不用極限的微積分”，這又與他研究的第三代微積分有關。1979年張景中在中國科學技術大學任講師，教數學系少年班的微積分。為了克服微分學入門的難點，提出了非ε語言的極限定義方法，以及連續歸納法，即所謂的第三代微積分。

大家知道，微積分源于牛頓和萊布尼茨，那時開創的微積分有用，但并不嚴謹，一些道理說不清楚，這是所謂的第一代微積分。為了克服理論的缺陷，柯西等數學家奠定了微積分基于極限的堅實的理論基礎，這下微積分倒是嚴謹了，但是卻很難懂，這就是所謂的第二代微積分。張景中和林群創設的第三代微積分力圖克服前兩代微積分的缺點，使之變得既說得明白，又容易接受。這就是《不用極限的微積分》這本書的背景。

應該說張景中以上的創新都源于數學教育，且服務于數學教育。因此學習張景中的這些著作不僅可以領略他的創新思路，還能把這些創新成果用于教學實踐。

值得一提的是《一線串通的初等數學》一書，這是張景中對改造中學數學的大膽建議。他把三角經過改造提前引入初一，用三角帶動幾何，串聯代數，用知識的縱橫聯系驅動學生的思考，促進其學習興趣與數學素質的提高。這是一次基礎數學教育的創新，已在一些學校實驗并取得良好的效果。

這樣看來，張景中的以上科普作品不僅是學生的良師益友，也是促進教師提高業務水平、深化教學改革的首選讀物。

張景中的科普作品是個寶庫，讓我們充分利用以開啟數學閱讀的智慧之窗。

閱讀是一切學科最重要的基礎。突出閱讀是當前全國教育改革的最新動向，這一變革是顛覆性的。今后學生光閱讀教材是遠遠不夠的，還需大量閱讀課外讀物。“核心素養版”高中語文新課標附錄《關于課內外讀物的建議》提到，“高中階段要求學生在課內外加強閱讀，培養閱讀的興趣和習慣，提高閱讀品位，掌握閱讀方法，提高閱讀能力，讓學生在閱讀中拓寬視野，領略人類社會氣象與文化”。該附錄還列舉了文化經典類、現代詩歌、小說、散文、劇本、文學理論六個方面的幾十本書目。由此可見語文教學改革力度之大。需要關注的是，突出閱讀不僅關系到語文教改，也關系到所有學科。所有學科都要考驗學生的閱讀水平，數學當然也不例外。實踐表明，一些學生對解應用題，對近年來中、高考的閱讀題感到困難，其實都是閱讀能力不足所致，這制約著學生的數學學習。

我們呼吁加強這類科普作品的宣傳、組織和引導?？破战^不能忽略“普”字，要大面積普及，沒有普及，“科”只能孤芳自賞了。我們期望科普讀物為盡快提高廣大中學生的數學閱讀能力做出貢獻。