基于相似材料模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的坐標(biāo)框架構(gòu)建及精度分析

李春意，劉相臣

(河南理工大學(xué)測繪與國土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454000)

開采沉陷中常用的物理模擬方法是相似材料模擬觀測法，它是以相似理論為基礎(chǔ)，特別適合于那些難以用理論分析方法獲取結(jié)果的研究領(lǐng)域，同時(shí)也是一種對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析的有效手段[1]。相似材料模擬實(shí)驗(yàn)是人們探討和認(rèn)識(shí)巖層移動(dòng)和礦壓規(guī)律的途徑之一，其核心思想是相似理論[2]。相似材料模擬實(shí)驗(yàn)以其直觀性強(qiáng)、靈活性好、效率高等特點(diǎn)在采礦和地質(zhì)工程中得以廣泛應(yīng)用。

相似材料模擬實(shí)驗(yàn)中，科學(xué)、快速、準(zhǔn)確獲取研究對(duì)象的位移場信息是實(shí)驗(yàn)的重要環(huán)節(jié)之一。目前，應(yīng)用較為廣泛的監(jiān)測方法有經(jīng)緯儀測角法、全站儀測坐標(biāo)法(免棱鏡模式，反射片做靶標(biāo))、三維激光掃描儀量測法和數(shù)字近景攝影測量法等[3]。王芳等[4]采用電子經(jīng)緯儀，基于相似材料模擬實(shí)驗(yàn)建立觀測模型，對(duì)急傾斜煤層的開采地表移動(dòng)與變形的規(guī)律進(jìn)行了研究。胡青峰等[5]采用無棱鏡全站儀進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，對(duì)地下采礦相似材料模擬實(shí)驗(yàn)觀測方法進(jìn)行了探討。張合兵等[6]利用全站儀采用自由設(shè)站法，對(duì)相似材料模擬實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图苌先我獗O(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行監(jiān)測，直接求取出監(jiān)測點(diǎn)點(diǎn)位坐標(biāo)，研究了反射片量測模式應(yīng)用于相似材料模擬實(shí)驗(yàn)中的監(jiān)測精度。上述不同監(jiān)測方法，分別從不同方面對(duì)相似材料模擬實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究，并對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了精度分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

無論采用哪種方法進(jìn)行監(jiān)測，為了獲取高精度的計(jì)算結(jié)果(主要是下沉量和水平位移量)，都需在模型架上布設(shè)若干個(gè)控制點(diǎn)，即構(gòu)建局部坐標(biāo)框架，進(jìn)而確定點(diǎn)的移動(dòng)和變形量。當(dāng)采用全站儀測坐標(biāo)法、近景攝影測量法監(jiān)測時(shí)，還需把監(jiān)測成果轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系中，如近景攝影測量中的“3-2-1”坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、全站儀測坐標(biāo)的布爾莎七參數(shù)轉(zhuǎn)換等。實(shí)際上，任何相似材料模擬實(shí)驗(yàn)都有確定的幾何相似比(常用的幾何相似比為1∶100、1∶200和1∶300)，而且相似比越小，對(duì)控制點(diǎn)的精度要求越高。因此，構(gòu)建高精度的局部坐標(biāo)系是獲取目標(biāo)點(diǎn)位空間信息的基礎(chǔ)。以往的相似材料模擬實(shí)驗(yàn)主要側(cè)重于相似材料、監(jiān)測方法和手段、模擬實(shí)驗(yàn)裝置優(yōu)化和機(jī)理分析等方面，而從坐標(biāo)框架構(gòu)建及精度分析方面開展研究的還比較少[7-13]。坐標(biāo)框架構(gòu)建實(shí)際上是在現(xiàn)場精確標(biāo)定點(diǎn)A、B、C、D的位置，進(jìn)而構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系B-XYZ，如圖1所示。在相似材料模擬實(shí)驗(yàn)過程中，需要把現(xiàn)場監(jiān)測到的點(diǎn)位坐標(biāo)(通常稱作物方坐標(biāo))轉(zhuǎn)化到局部坐標(biāo)系B-XYZ中，以便于分析和計(jì)算。因此，通過監(jiān)測設(shè)備精確標(biāo)定點(diǎn)A、B、C、D，并分析其點(diǎn)位誤差是本論文研究的重點(diǎn)?；诖?，作者提出了一種實(shí)用的高精度全站儀(0.5″)協(xié)同鋼尺量距(顧及溫度改正和尺長改正)的相似材料模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的坐標(biāo)框架構(gòu)建方法，同時(shí)建立了坐標(biāo)框架誤差分析模型，得出了坐標(biāo)框架點(diǎn)位中誤差計(jì)算公式，并通過設(shè)計(jì)的現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行了分析和驗(yàn)證。

1 坐標(biāo)框架構(gòu)建方法

如圖1所示，點(diǎn)A、B、C、D設(shè)在模型架的左右兩側(cè)的鋼架上，要求A點(diǎn)與B點(diǎn)、C點(diǎn)與D點(diǎn)在豎直方向的投影重合，且點(diǎn)A、D和點(diǎn)B、C分別處于同一水平面上。這些點(diǎn)不受開采影響，相當(dāng)于控制點(diǎn)。在模型架前5～10 m適當(dāng)位置安置全站儀，O點(diǎn)為全站儀的中心位置，以過O點(diǎn)的水平面(面OEF)作為基準(zhǔn)面。

圖1 相似材料模擬實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)框架示意圖

不妨設(shè)點(diǎn)A、B之間的長度為D3，且AB=CD；點(diǎn)A、D之間的長度記為D1，且AD=BC=EF；B、E之間的長度記為L，且BE=CF；O、E之間的長度記為L1，O、F之間的長度記為L2；點(diǎn)A、B、C、D與水平基準(zhǔn)面OEF之間的夾角分別記為δ2、δ1、δ3、δ4，OE與OF之間的水平夾角記為θ。

架設(shè)好全站儀并整平(無需對(duì)中)，用全站儀的望遠(yuǎn)鏡十字絲中心照準(zhǔn)A點(diǎn)，固定水平制動(dòng)螺旋，調(diào)節(jié)豎直制動(dòng)螺旋，使十字絲中心向下投影，至模型架下方適當(dāng)位置(可根據(jù)需要設(shè)定)，記為B點(diǎn)，此時(shí)A、B點(diǎn)處于同一鉛垂線上。

(1)

(2)

(3)

(4)

然后，在鉛垂線C′D′上上下移動(dòng)望遠(yuǎn)鏡，分別量取δ3、δ4兩個(gè)角度值所對(duì)應(yīng)的豎直角度，即可確定C點(diǎn)、D點(diǎn)的位置，進(jìn)而以B點(diǎn)為原點(diǎn)，即可建立高精度的局部坐標(biāo)系B-XYZ。

2 誤差分析

2.1 坐標(biāo)框架誤差分析

望遠(yuǎn)鏡視準(zhǔn)軸與A、B兩點(diǎn)的連線與OE所夾角度分別為δ2、δ1，通過全站儀測量δ1、δ2的大小，取兩個(gè)測回平均值，作為δ1、δ2的角度值。鋼卷尺讀數(shù)估讀到0.1 mm，測定AB邊長度，取兩次測量的平均值，作為AB邊最終長度。

基于全站儀測角、鋼卷尺量距，所建立的坐標(biāo)框架中誤差主要來源為測角隨機(jī)誤差和鋼卷尺量距誤差，根據(jù)隨機(jī)誤差傳播定律[14]，對(duì)坐標(biāo)框架的點(diǎn)位精度，即分別對(duì)C點(diǎn)、D點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差進(jìn)行分析，見式(5)。將L1、L2代入式(5)并求全微分得式(6)。

(5)

dD1=

(6)

式中，ρ=206265″。

LC=L2·tanδ3

(7)

(8)

LD=L2·tanδ4

(9)

(10)

(11)

(12)

2.2 測距誤差分析

鋼卷尺量距要考慮尺長改正、溫度改正、拉力改正及垂曲改正等影響因素。由鋼卷尺檢定規(guī)程可知[15]，首次檢定的普通鋼卷尺尺帶標(biāo)稱長度和任意兩個(gè)非連續(xù)刻度間的示值最大允許誤差Δ按不同精度等級(jí)，Ⅰ級(jí)由式(13)給出，Ⅱ級(jí)由式(14)給出。

Δ=±0.1 mm+10-4L0

(13)

Δ=±0.3 mm+2×10-4L0

(14)

式中：Δ為示值最大允許誤差，mm；L0為鋼卷尺所量距離，m。

普通鋼卷尺的檢定溫度，Ⅰ級(jí)由式(15)給出，Ⅱ級(jí)由式(16)給出。

(20±5) ℃

(15)

(20±8) ℃

(16)

2.2.1 溫度改正

鋼卷尺長度隨溫度變化而變化，因此，在一定拉力下，可以用以溫度為自變量的函數(shù)來表示某一溫度時(shí)鋼卷尺的溫度改正值[16]。為了研究溫度變化對(duì)鋼卷尺長度變化的影響，本研究中設(shè)定外界溫度變化范圍為0～40 ℃，按5 ℃間隔分析不同溫度對(duì)鋼卷尺長度變化的影響，進(jìn)而分析溫度改正對(duì)相似材料模擬實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)框架精度的影響。

普通鋼卷尺的溫度改正函數(shù)見式(17)[17]。

ΔLt=αL0(t-t0)

(17)

式中：ΔLt為鋼卷尺量距的溫度改正值，mm；t0為鋼卷尺檢定時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)溫度，t0=20 ℃；α為鋼卷尺膨脹系數(shù)，其值約為1.15×10-5m/(m·℃)；t為鋼卷尺丈量時(shí)的溫度，℃；L0為鋼卷尺丈量距離，m。

2.2.2 尺長改正

經(jīng)過查閱資料，不同規(guī)格的鋼卷尺尺長改正值Δl大小不一，本研究以鋼卷尺檢定規(guī)程為基礎(chǔ)，在Ⅱ級(jí)鋼卷尺首次檢定示值最大允許誤差范圍內(nèi)，按0.02 mm等間隔選取若干值，作為鋼卷尺尺長改正值，以分析不同鋼卷尺尺長改正值對(duì)相似材料模擬實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)框架精度的影響。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證坐標(biāo)框架構(gòu)建方法的正確性與精度，通過在墻上設(shè)置標(biāo)識(shí)點(diǎn)，模擬坐標(biāo)框架進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并借助Matlab編制了計(jì)算程序，大大方便了觀測數(shù)據(jù)的處理。

實(shí)驗(yàn)采用徠卡TCA 2003全自動(dòng)全站儀(測量機(jī)器人，圖2)測量角度值。實(shí)驗(yàn)時(shí)，外界環(huán)境溫度為20 ℃，徠卡TCA 2003的測角精度為0.5″，最小角度顯示單位為0.1″，具有較高的測角精度。實(shí)驗(yàn)中，點(diǎn)位布置方式與圖1相同，B為坐標(biāo)原點(diǎn)，構(gòu)成局部坐標(biāo)系B-XYZ。在實(shí)際測量時(shí)，在模型架前方適當(dāng)位置安置全站儀，整平后，即可開始測量。

圖2 實(shí)驗(yàn)場地布設(shè)

3.2 精度評(píng)定

實(shí)驗(yàn)測得角度觀測值和長度觀測值，見表1。

表1 角度觀測值和長度觀測值

圖3 D3改正值隨尺長改正的變化

圖4 D3改正值隨溫度的變化

表2 溫度改正值

實(shí)驗(yàn)中，所有角度值均為獨(dú)立同精度觀測值，故有式(18)。

σ=dδ1=dδ2=dδ3=dδ4=

在0.5″儀器測角精度下，根據(jù)誤差傳播定律，由式(11)和式(12)可得C點(diǎn)和D點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨尺長改正值和溫度的變化，如圖5和圖6所示。

圖5 C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨尺長改正的變化(0.5″)

圖6 C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度的變化(0.5″)

從圖5可知，在不同設(shè)定溫度下(0 ℃、20 ℃、40 ℃)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨尺長改正值的增加呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，并且存在極小值，相同兩條顏色曲線表示C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差在相應(yīng)設(shè)定溫度下的變化范圍。在20 ℃時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差介于0 ℃、40 ℃時(shí)點(diǎn)位中誤差之間。從圖6可知，在特定尺長改正下(-0.300 mm、0 mm、+0.300 mm)，當(dāng)尺長改正為-0.300 mm時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度增加而減小；在尺長改正為0 mm時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度增加先減小后增大，并且存在極小值；在尺長改正為+0.300 mm時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度增加而增加。在尺長改正為0 mm時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差介于-0.300 mm、+0.300 mm時(shí)點(diǎn)位中誤差之間。D點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨尺長改正值和溫度的變化規(guī)律與C點(diǎn)相同。

事實(shí)上，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度的變化，與隨尺長改正值的變化規(guī)律相同。由于考慮現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)條件，將溫度范圍設(shè)定為0～40 ℃，故C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度的變化呈現(xiàn)為圖6所示規(guī)律。

圖7 不同設(shè)定溫度下不同測角精度C點(diǎn)中誤差與尺長改正的關(guān)系

圖7(a)～圖7(c)給出在不同儀器測角精度下，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨尺長改正值的變化。由圖可知，在不同設(shè)定溫度(0 ℃、20 ℃、40 ℃)和不同儀器測角精度下，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨尺長改正值的變化都呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，都存在極小值，并且隨著儀器精度的提高C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差逐漸減小。

在不同儀器測角精度下，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度的變化如圖8(a)～圖8(c)。由圖8可知，在特定尺長改正值(-0.300 mm、0 mm、+0.300 mm)和不同儀器測角精度下，當(dāng)尺長改正值為-0.300 mm時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度增加而減?。辉诔唛L改正值為0 mm時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度增加先減小后增大，并且存在極小值；在尺長改正值為+0.300 mm時(shí)，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨溫度增加而增加，并且隨著儀器精度的提高，C點(diǎn)點(diǎn)位中誤差逐漸減小。在不同儀器測角精度下，D點(diǎn)點(diǎn)位中誤差隨尺長改正值和溫度的變化規(guī)律與C點(diǎn)相同。

圖8 不同儀器測角精度C點(diǎn)中誤差與溫度的關(guān)系

在相似材料模擬實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)精度與模型幾何的幾何相似比密切相關(guān)，但往往由于各方面的條件限制，一般幾何相似比取為1∶50～1∶300。因此，本文得出的理論點(diǎn)位精度，可根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮湍Ｐ蛶缀蜗嗨票?，為選擇符合精度要求的儀器設(shè)備提供技術(shù)參考。

4 結(jié) 論

1) 基于相似材料模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，提出了一種實(shí)用的全站儀測角協(xié)同鋼卷尺量距的坐標(biāo)框架的構(gòu)建方法，建立了高精度的局部坐標(biāo)框架。

2) 構(gòu)建了坐標(biāo)框架的誤差分析模型，模型誤差涉及測角誤差、尺長改正和溫度改正三個(gè)方面，鋼卷尺量距誤差分別隨尺長改正值和溫度改正值的增加而線性增加。

3) 在外界溫度為20 ℃條件下，坐標(biāo)框架上兩待定點(diǎn)C、D理論點(diǎn)位中誤差分別為±0.633 mm、±0.558 mm，而通過現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)和分析計(jì)算，兩點(diǎn)的實(shí)際點(diǎn)位中誤差分別為±0.409 mm、±280 mm，實(shí)測值優(yōu)于理論值。

4) 在不同儀器測角精度下，相似材料模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)坐標(biāo)框架點(diǎn)位中誤差隨尺長改正值和溫度的增加呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，且均存在極小值，并且隨著儀器精度的提高，控制點(diǎn)點(diǎn)位中誤差逐漸減小。在相似材料模擬實(shí)驗(yàn)中，可根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮湍Ｐ蛶缀蜗嗨票龋x擇符合精度要求的儀器設(shè)備。