凹凸率與平均值
——琴生不等式的推廣：凹凸率不等式

◎王禮斌

一、均值的概念

定義：對給定區間內任意 x1，x2（x1＜x2），當f（x）在該區間上連續且單調時，則稱使等式 f（x0）＝p1f（x1）＋...＋pnf（xn）（p1＋p2＋...＋pn＝1，且p1，p2，...pn均為正數）成立的 x0稱為 x1，x2，...xn的 n元 f（x）加權均數，p1，p2，...pn，分別為對應元素的權。

二、凹凸函數的幾何特征

凹凸函數是區分函數增減方式的兩種不同類型的函數，即：雖然函數單調增加，但卻可以有如圖的兩種方式的增加，把形如f1（x）的增長方式的函數稱為凸函數，而形如f2（x）的增長方式的函數稱為凹函數。

根據函數的凹凸定義，不難證明，若函數 f（x）在區間 I是凹的，則函數－f（x）在區間I就是凸的。從而，我們從凸函數特征的討論可在凹函數上適用。

為了便于使用，通常把不等式寫成如下的等價形式：

如：設q1＝t，q2＝1－t，有q1－q2＝1.（q1，q2∈ （0，1））則（1）式可改寫為

則函數式可寫為

f（q2x2＋q2x2）≤ q1f（x1）＋q2x2

2、凸函數的幾何特性：

如圖，設A1，A2是凸函數y＝f（x）曲線上的兩點，它們對應的橫坐標 x1＜x2x∈ （x1，x2），則存在q1，q2＞0，q1＋q2＝1，使得x＝q1x1＋q2x2，過點x作ax軸的垂線交函數于A，交A1、A2于B，則上式左端即為A點縱坐標，右端即為B點縱坐標。因此，凸函數的幾何意義就是：其函數曲線任意兩點A1與A2之間的部分位于弦A1A2的下方或曲線在任一點切線上方。

從而由上述凸函數幾何性質有

三、凹凸率與凹凸函數

2、性質：設兩連續且單調函數f（x），g（x）存在給定區間 D上的凹凸率函數。記為 Cf（x），Cg（x）分別為其凹凸率函數，若 Cf（x）＞Cg（x）在區間D上恒成立，則稱g（x）在區間D上的凸性強于f（x）（或f（x）在區間D上凸性若于g（x））記分別為 x1，x2的 f（x），g（x）均數（x1，x2均定義區間且 x1≠x2g（x）），則有：

四、凹凸函數應用定理

定理可以直接由控制不等式的理論得出，見定理5.5

當然，若f（x）是嚴格凹函數，則定理1和推論1中不等號反向。

如同推論 1，設正實數 xi≤p，i＝1，2，...，n，其余條件不變，若 f（x）在區間［0，p］內是嚴格凸函數，則定理2中右邊不等式是嚴格小于的，同樣對于f（x）是凹函數時不等號反向。

F（x1，s－x1，0...0）≤m.因此我們就有下面這個定理：

結語：綜上所述，利用凸函數定義及幾何特性證明不等式，關鍵的要根據所要證明不等式，選取相關的函數及適當的x1，x2選取，此法雖然具有一定的構造性，但證明的過程卻相對簡潔。