光纖陀螺隨機(jī)漂移的混沌特征分析

狄世彥，李 賀，朱奎寶，鄧學(xué)文

(中國(guó)航天科工集團(tuán)第二研究院706所，北京 100854)

0 引 言

光纖陀螺隨機(jī)漂移可看作是一組具有非線性、非平穩(wěn)和弱時(shí)變特性的隨機(jī)時(shí)間序列，這些特點(diǎn)限制了光纖陀螺向高精度領(lǐng)域的發(fā)展，因此，建立準(zhǔn)確有效的隨機(jī)漂移模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)補(bǔ)償是有意義的。目前，時(shí)間序列的分析預(yù)測(cè)方法主要有兩種：一種是應(yīng)用較早、發(fā)展較成熟的傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)建模方法，如自回歸模型(AR)和自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA)[1,2]，這種方法要求時(shí)間序列必須是平穩(wěn)的、正態(tài)分布的零均值序列，對(duì)于慢時(shí)變的陀螺信號(hào)，其模型的預(yù)測(cè)精度受到很大的限制；另一種是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的現(xiàn)代非線性預(yù)測(cè)模型，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析、模糊邏輯等等，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以很好地逼近非線性函數(shù)，但其遵循的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小準(zhǔn)則降低了算法的泛化能力，且易陷入局部最小值。本文研究的目的是找到一種泛化能力強(qiáng)、預(yù)測(cè)準(zhǔn)確的光纖陀螺隨機(jī)漂移模型。

1 光纖陀螺隨機(jī)漂移的混沌特征

1.1 混沌運(yùn)動(dòng)

所謂混沌，是指在確定的非線性動(dòng)力系統(tǒng)中存在的一種貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于確定性動(dòng)力系統(tǒng)，可由給定的初值推知系統(tǒng)未來的發(fā)展?fàn)顩r，對(duì)于非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)對(duì)初值相當(dāng)敏感，即使初值有微小的變化，也將引起系統(tǒng)長(zhǎng)期狀態(tài)的極大變化，如著名的“蝴蝶效應(yīng)”。混沌是確定性系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)性的反映，它與受外部因素影響的隨機(jī)性不同，系統(tǒng)可用確定性的方程描述，在不附加任何其它隨機(jī)因素的情況下，系統(tǒng)仍會(huì)表現(xiàn)出一定的類似隨機(jī)行為。通常的隨機(jī)性由于不服從確定的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，其隨時(shí)間的發(fā)展是不可預(yù)測(cè)的，但混沌發(fā)生在確定性系統(tǒng)中，其服從一定的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，因此，混沌系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)是可以預(yù)測(cè)的。混沌理論最早來源于法國(guó)著名數(shù)學(xué)家Poincare在研究三大球體時(shí)提出的假設(shè)[3]，他意識(shí)到三大球體受到微小的干擾，將可能導(dǎo)致完全不一樣的運(yùn)行軌道。1963年美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz在研究大氣流動(dòng)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，1975年華人學(xué)者李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家York首次給出了混沌的數(shù)學(xué)定義，并證明：一個(gè)周期為3的軌道存在，則一定有混沌現(xiàn)象出現(xiàn)。

混沌運(yùn)動(dòng)客觀存在于自然界中，它是一種不規(guī)則的、非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，主要有以下幾個(gè)特征：

(1)長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件極為敏感

初始狀態(tài)非常靠近的兩個(gè)點(diǎn)，其軌道的差距隨著時(shí)間的推移會(huì)成指數(shù)擴(kuò)大，這使得混沌系統(tǒng)的長(zhǎng)期演化行為變得不可預(yù)測(cè)。

(2)相空間中存在奇異吸引子

吸引子是動(dòng)力學(xué)過程的軌跡，在經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展之后，其將逐漸達(dá)到收斂的狀態(tài)或狀態(tài)的集合。動(dòng)力系統(tǒng)有3類吸引子：平衡點(diǎn)、極限環(huán)河奇異吸引子，平衡點(diǎn)是系統(tǒng)運(yùn)行軌跡收斂到一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，極限環(huán)是系統(tǒng)軌跡呈現(xiàn)周期性，而混沌系統(tǒng)的奇異吸引子在軌道中表現(xiàn)出無限的扭曲和折疊。平衡點(diǎn)和極限環(huán)的維數(shù)常為整數(shù)，混沌吸引子由于是分形結(jié)構(gòu)而具有分形維。

(3)內(nèi)在隨機(jī)性

混沌系統(tǒng)隨機(jī)性的根源是來自確定性系統(tǒng)的內(nèi)部，并不僅僅依賴于外部因素的干擾。

(4)標(biāo)度不變性

混沌是一種無周期的有序，混沌系統(tǒng)的演化會(huì)出現(xiàn)分叉行為，并遵從Feigenbaum普適常數(shù)。

當(dāng)今社會(huì)上的混沌現(xiàn)象無處不在，不同行業(yè)的學(xué)者都可以在自己的研究領(lǐng)域找到混沌現(xiàn)象，從20世紀(jì)90年代開始，混沌的研究已經(jīng)開始在學(xué)科間相互滲透，無論是物理學(xué)、生理學(xué)、電子學(xué)，還是氣象學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、音樂，混沌理論都有著廣泛的應(yīng)用。

1.2 光纖陀螺隨機(jī)漂移混沌特征的判定

時(shí)間序列是自然界中某一個(gè)或一組變量按時(shí)間先后和相同時(shí)間間隔排列的一組觀測(cè)數(shù)值，現(xiàn)實(shí)生活中如股市指數(shù)、地區(qū)降雨量、河流徑流量等都可看作是時(shí)間序列，這些序列均被發(fā)現(xiàn)含有混沌特性[4]。為了揭示混沌時(shí)間序列貌似隨機(jī)現(xiàn)象的背后可能隱藏的規(guī)律，需要采用時(shí)間序列分析方法來提取序列中含有的準(zhǔn)確信息，并通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來對(duì)時(shí)間序列的未來值進(jìn)行預(yù)測(cè)，以給人們的生活帶來更多的幫助。

混沌運(yùn)動(dòng)來自于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，這使得混沌時(shí)間序列具有非線性、非平穩(wěn)的特征，因此，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的線性回歸模型預(yù)測(cè)方法對(duì)于混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)是困難的，而基于數(shù)據(jù)的各種機(jī)器學(xué)習(xí)方法在混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)中逐漸得到應(yīng)用[5]。要采用混沌理論的相關(guān)知識(shí)對(duì)時(shí)間序列作出較為精確的預(yù)測(cè)，必須判斷時(shí)間序列是否具有混沌特性，常用的混沌時(shí)間序列判別方法主要有：功率譜法、Poincare截面法和最大Lyapunov指數(shù)法，其中最大Lyapunov指數(shù)法應(yīng)用較多[6]。

混沌運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基本特征是長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件非常敏感，極其相近的初值所運(yùn)行的軌道，其差距會(huì)隨著時(shí)間的推移按指數(shù)形式擴(kuò)大，而Lyapunov指數(shù)能夠定量描述出兩個(gè)軌道的發(fā)散特征。在識(shí)別混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常只需要計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)λl即可，若λl為正，則表明系統(tǒng)運(yùn)行軌道有發(fā)散特征，呈混沌運(yùn)動(dòng)；若λl為零，則表明系統(tǒng)運(yùn)行軌道對(duì)初值不敏感，呈周期運(yùn)動(dòng)；若λl小于零，則系統(tǒng)的長(zhǎng)期運(yùn)行軌道與初值無關(guān)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡最終將收斂到一個(gè)平衡點(diǎn)。

求取時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)λl的方法較多，常用的有雅克比法和Wolf軌線法[7,8]。Wolf法直接根據(jù)相軌線、相體積、相平面等的演化來估計(jì)Lyapunov指數(shù)，由于光纖陀螺隨機(jī)漂移可看作是非線性、非平穩(wěn)的時(shí)間序列，因此，本文采用Wolf法來計(jì)算隨機(jī)漂移的最大Lyapunov指數(shù)。在相同的環(huán)境條件下，采集同一型號(hào)的8只光纖陀螺的常溫靜態(tài)數(shù)據(jù)，每只陀螺的采樣時(shí)間為3600 s，采樣間隔1 s，為了消除奇異點(diǎn)和部分噪聲的影響，計(jì)算前對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行零偏補(bǔ)償和低通濾波去噪，如圖1所示為其中一組光纖陀螺隨機(jī)漂移的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖1 預(yù)處理后的光纖陀螺隨機(jī)漂移

利用wolf法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的主要過程如下：

任取一組光纖陀螺隨機(jī)漂移作為計(jì)算的時(shí)間序列{x(n),n=1,2,…,N}，N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，用嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間ττ對(duì)隨機(jī)漂移進(jìn)行相空間重構(gòu)(關(guān)于相空間重構(gòu)的內(nèi)容在后續(xù)章節(jié)介紹)，M是重構(gòu)空間的相點(diǎn)個(gè)數(shù)，M=N-m-1，則重構(gòu)空間中的相點(diǎn)可表示為

X(i)=[x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ)]
i=1,2,…,N-(m-1)τ

(1)

(1)首先將重構(gòu)空間中的相點(diǎn)X(i)作為一條基準(zhǔn)軌線，并在基準(zhǔn)軌線上選定一個(gè)初始點(diǎn)X(0)；

(2)然后在X(0)的鄰近范圍內(nèi)選定另一個(gè)點(diǎn)，可得兩點(diǎn)間的距離向量L(0)，要求L(0)滿足L(0)<ε,ε為一大于0的閾值，且盡量使L(0)的方向與基準(zhǔn)軌線在X(0)處的切向量不平行；

(3)追蹤這兩個(gè)點(diǎn)的演化，當(dāng)經(jīng)過一段時(shí)間后，L(0)變?yōu)長(zhǎng)′(1),X(0)變?yōu)閄(1)，如果L′(1)>ε,則在X(1)附近再選定另一個(gè)點(diǎn)，得到距離L(1)，滿足L(1)<ε；

(4)重復(fù)上述過程，可得一組L(k)以及L′(k)，用下式計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)λl，K為總的迭代次數(shù)

(2)

運(yùn)用上述方法所估計(jì)的8組光纖陀螺隨機(jī)漂移的最大Lyapunov指數(shù)見表1。

表1 光纖陀螺隨機(jī)漂移的最大Lyapunov指數(shù)

由表1可見，8組隨機(jī)漂移的最大Lyapunov指數(shù)的估計(jì)值均大于0，這說明光纖陀螺隨機(jī)漂移具有混沌特性，因此，采用混沌系統(tǒng)的相關(guān)模型對(duì)光纖陀螺隨機(jī)漂移進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的。

2 光纖陀螺隨機(jī)漂移的相空間重構(gòu)

2.1 相空間重構(gòu)參數(shù)的計(jì)算

自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多系統(tǒng)都是復(fù)雜的高維非線性系統(tǒng)，這些系統(tǒng)往往包含多個(gè)變量的信息，但通常情況下只能觀測(cè)到系統(tǒng)的一維信息，即某一分量的時(shí)間序列。由于系統(tǒng)任一分量的演化是與其它分量相互作用的結(jié)果，這些相關(guān)分量的信息蘊(yùn)含在任一分量之中，因此，從某一個(gè)分量的時(shí)間序列中就可以提取和恢復(fù)出系統(tǒng)內(nèi)在的規(guī)律。相空間重構(gòu)(phase space reconstruction，PSR)是找出數(shù)據(jù)隱藏演化規(guī)律的重要方法，是分析混沌系統(tǒng)的主要工具，其目的是將一維的時(shí)間序列通過重構(gòu)的方式嵌入到多維相空間中，從而恢復(fù)出系統(tǒng)的吸引子。

Packard等于1980年提出了相空間重構(gòu)理論以及廣泛使用的時(shí)間延遲相空間重構(gòu)方法[9]，1981年Takens從數(shù)學(xué)角度證明了相空間重構(gòu)的方法[10]。時(shí)間延遲重構(gòu)法的基本思路如式(1)所示，Takens已經(jīng)給出證明，當(dāng)嵌入維數(shù)m≥2d+1(d是動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù))時(shí)，重構(gòu)的相空間是一個(gè)嵌入映射，它能夠保存非線性動(dòng)力系統(tǒng)的許多特征，并在拓?fù)涞葍r(jià)下恢復(fù)出這些特征。

前一節(jié)中已經(jīng)通過計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)證明了光纖陀螺隨機(jī)漂移存在混沌特性，但一維的光纖陀螺隨機(jī)漂移時(shí)間序列無法表現(xiàn)出系統(tǒng)的隱藏演化規(guī)律。因此，本文借助于相空間重構(gòu)技術(shù)將一維的隨機(jī)漂移時(shí)間序列嵌入到高維空間中，在高維空間中對(duì)隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析與預(yù)測(cè)。相空間重構(gòu)的關(guān)鍵問題是如何正確選擇嵌入空間維數(shù)m和延遲時(shí)間τ，m太小難以展示出系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)，m太大使得相點(diǎn)之間的關(guān)系變得模糊，增加了計(jì)算的復(fù)雜度。對(duì)于有限的數(shù)據(jù)，恰當(dāng)?shù)摩雍苤匾犹。瑒t重構(gòu)空間的相點(diǎn)相關(guān)性太強(qiáng)，系統(tǒng)信息無法完全顯露，τ太大，則動(dòng)力系統(tǒng)可能失真。

目前，計(jì)算嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間τ最常用的方法是由Kim等于1999年提出的C-C算法[11,12]，這種方法認(rèn)為兩個(gè)參數(shù)是相互關(guān)聯(lián)的，其取值相互依賴，并通過引入嵌入窗τw=m-1τ[13]將m和τ聯(lián)系起來。由于C-C算法相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，有較好的抗噪聲能力，本文應(yīng)用C-C法計(jì)算光纖陀螺隨機(jī)漂移的兩個(gè)相空間重構(gòu)參數(shù)，計(jì)算的主要過程如下：

選取1.2節(jié)中的一組光纖陀螺隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)作為計(jì)算的時(shí)間序列xn,n=1,2,…,N，以嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間τ對(duì)其進(jìn)行相空間重構(gòu)，X(i)為重構(gòu)空間中的一個(gè)點(diǎn)，則嵌入時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)積分為

(3)

(4)

關(guān)聯(lián)積分是個(gè)累積函數(shù)，表示相空間中任意兩點(diǎn)間的距離小于r的概率，點(diǎn)間距離用向量差的無窮范數(shù)表示，定義檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

S(m,N,r,τ)=C(m,N,r,τ)-Cm(1,N,r,τ)

(5)

上式的計(jì)算方法為：將時(shí)間序列劃分成τ個(gè)相互不重疊的子序列，子序列的長(zhǎng)度為INT(N/τ)，計(jì)算每個(gè)子序列的統(tǒng)計(jì)量

(6)

令N→∞，有

(7)

如果時(shí)間序列滿足獨(dú)立同分布，那么對(duì)于固定的m和τ，對(duì)于一切r，均有

(8)

由于實(shí)際的時(shí)間序列是有限的，且時(shí)間序列各數(shù)據(jù)之間可能存在相關(guān)性，Sm,r,τ一般不為0。當(dāng)m和r固定時(shí)，Sm,r,τ～τ曲線反映了時(shí)間序列的自相關(guān)性，最優(yōu)延遲時(shí)間τ取Sm,r,τ～τ第一次過零點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間。此外，選擇對(duì)應(yīng)值最大和最小的兩個(gè)半徑r，定義差量

ΔS(m,τ)=max{S(m,rj,τ)}-min{S(m,rj,τ)}

(9)

當(dāng)最大偏差ΔSm,τ最小時(shí)，重構(gòu)的相空間點(diǎn)最接近均勻分布，重構(gòu)的動(dòng)力系統(tǒng)軌道最準(zhǔn)確。由于ΔSm,τ為正數(shù)，最優(yōu)延遲時(shí)間τ可取ΔSm,τ～τ的第一個(gè)局部極小值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間。

根據(jù)BDS統(tǒng)計(jì)的結(jié)論，當(dāng)N≥3000，2≤m≤5，0.5σ≤r≤2σ時(shí)，Sm,r,τ～τ曲線能較好地表現(xiàn)出時(shí)間序列的自相關(guān)特性，σ為時(shí)間序列標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)際計(jì)算中取m=2,3,4,5,r=0.5σ,σ,1.5σ,2σ, τ∈0,20，并按下列各式計(jì)算

(10)

(11)

(12)

τw=(m-1)τ

(13)

圖2 C-C法計(jì)算隨機(jī)漂移的相空間重構(gòu)參數(shù)

2.2 重構(gòu)的相空間圖分析

為了從視覺上更加直觀地看到光纖陀螺隨機(jī)漂移所具有的混沌特征，可以根據(jù)C-C算法估計(jì)的最佳延遲時(shí)間τ=3作出光纖陀螺隨機(jī)漂移時(shí)間序列的相空間圖來進(jìn)行定性分析，這里將隨機(jī)漂移時(shí)間序列的xt+τ值作為xt的函數(shù)畫在二維空間圖中，如圖3(a)所示。為了與隨機(jī)漂移的相空間圖作對(duì)比，用Matlab的rand函數(shù)在區(qū)間(0，1)內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生3600個(gè)數(shù)據(jù)，并將隨機(jī)數(shù)時(shí)間序列的相空間圖同樣按延遲時(shí)間τ=3畫在二維空間圖中，如圖3(b)所示。

圖3 時(shí)間序列的相空間

由圖3可見，光纖陀螺隨機(jī)漂移時(shí)間序列的相空間圖與隨機(jī)數(shù)時(shí)間序列的相空間圖在直觀上存在著明顯的差異：隨機(jī)漂移時(shí)間序列的所有點(diǎn)在相空間圖中緊緊糾纏在一起，形成一個(gè)近似的圓形，且圖面僅占據(jù)二維圖中間的一部分，而隨機(jī)數(shù)時(shí)間序列的所有點(diǎn)在相空間圖中均勻分布，幾乎填滿了整個(gè)取值空間。光纖陀螺隨機(jī)漂移時(shí)間序列的相空間圖所具有的復(fù)雜形狀，與隨機(jī)數(shù)時(shí)間序列的相空間圖完全不同，兩者存在本質(zhì)上的差別。由此可以推斷，光纖陀螺隨機(jī)漂移時(shí)間序列存在混沌特征，這與1.2節(jié)中計(jì)算的最大Lyapunov指數(shù)值所表征的結(jié)果相一致。

對(duì)光纖陀螺隨機(jī)漂移進(jìn)行相空間重構(gòu)的目的是為了將一維的標(biāo)量時(shí)間序列重構(gòu)成體現(xiàn)系統(tǒng)特征的高維空間向量，這些向量與現(xiàn)代非線性預(yù)測(cè)模型相結(jié)合，可以對(duì)光纖陀螺隨機(jī)漂移進(jìn)行回歸分析與預(yù)測(cè)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了混沌運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，并通過計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證了光纖陀螺隨機(jī)漂移所具有的混沌特性。為了有效地提取出隨機(jī)漂移的混沌特征，本文使用相空間重構(gòu)的方法將一維的隨機(jī)漂移時(shí)間序列嵌入到一個(gè)高維的輔助空間中，重構(gòu)參數(shù)由C-C法計(jì)算得到，根據(jù)相空間重構(gòu)的參數(shù)繪制了隨機(jī)漂移時(shí)間序列和隨機(jī)數(shù)時(shí)間序列的相空間圖，兩種圖形存在的較大差異進(jìn)一步說明了光纖陀螺隨機(jī)漂移存在的混沌特征。