一類Kirchhoff型方程組極小能量解的存在性

孫宜民

(西北大學 數學學院, 陜西 西安 710127)

本文研究如下形式的非局部邊值問題:

(1)

其中:Ω是RN中具有光滑邊界的有界區域；M1，M2：R+→R+以及f,g:Ω×R→R都是連續函數。

由于在方程中含有整個區域上的積分項, 所以這類問題稱為非局部問題。事實上,這種形式的非局部算子最早出現在Kirchhoff方程中:

(2)

早在19世紀80年代, Kirchhoff在研究彈性弦自由振動時首次給出了如下方程(見文獻 [1]):

(3)

其中ρ,P0,h,E,L均為常數。而方程(2)所刻畫的是方程(3)的穩態解所滿足的方程。Lions在文獻[2]中首次應用變分法研究了Kichhoff型方程 (2)。此后該問題引起了很多知名的數學家的關注, 見文獻 [3-10]。此外，下降流不變集方法在半線性橢圓型方程中有非常重要的應用[11]。張志濤與其合作者在文獻[12]中利用該方法得到了非局部橢圓型方程(2)的非平凡解。

本文主要考察當f與g是如下特殊形式的非線性項時, 非局部方程組正解的存在性。具體來說, 研究如下形式的方程組的正解:

(4)

關于具有臨界非線性項的Kirchhoff型非局部方程組的討論, 已有的文獻較少。 對于單個方程的情形, Alves與其合作者在文獻[3]中考察了如下形式的非局部方程

(5)

其中Ω是R3中具的有界光滑區域。他們運用集中列緊原理證明了當參數λ充分大時,方程(5)對應的能量泛函具有緊性, 從而得到該方程極小能量正解的存在性。在此思想的啟發下,本文將該結論推廣到非局部方程組的情形。

假設非局部項Mi:R+→R+(i=1,2)滿足如下條件:存在m0>0以及b≥0,使得對任何t∈R+，以下兩式成立

Mi(t)≥m0，

(6)

(7)

相比已有文獻中關于非局部項的限定條件, 本文給出的條件(6)和(7)更廣并且由條件(7)可知, 對任何t≥0,存在K>0，滿足

1 主要結果

本文的主要結論如下。

定理1假設10,方程組(4)至少存在一個具有極小能量的正解。

記號說明:

2 定理的證明

方程組(4)的正解恰為如下方程組的解:

(8)

該方程組對應的能量泛函為:

首先，證明該泛函具有山路幾何結構。

引理1對任何β>0，存在δ>0，α>0以及e∈H，滿足

(i) 當u∈H時,‖u‖≥δ,Φ(u)≥α>0;

(ii) ‖e‖>δ,Φ(e)<0。

證明由Sobolev嵌入定理, 存在C>0，使得對任何u∈H

(9)

因而

由于10，滿足

(10)

令

(11)

引理2在定理1的條件下, 當β→∞時,c*(β)→0。

證明利用引理1, 存在tβ>0，使得Φ(tβφ,tβφ)=maxt≥0Φ(tφ,tφ)。因而

(12)

這表明tβ與βtβ關于β均一致有界。

不妨設當β→∞時，tβ→0。對任何t∈[0,1]，令γβ(t):=te(β)，則γβ∈Γβ。

結合式(12)可知，0≤c*(β)≤Kt2q‖φ‖2q。因此當β→∞時，c*(β)→0，證畢。

利用山路引理(見文獻[13]),可知存在{un=(un,1,un,2)}?H，滿足

Φ(un)→c*(β),Φ′(un)→0。

假設(un, 1,un, 2)是非負的, 若不然, 考慮(|un,1|,|un,2|)。對于充分大n，

c*(β)+‖un,1‖+‖un,2‖≥

集中緊原理(文獻[14]引理1.2)表明存在至多可數指標集Λ，序列{xi}?R4以及{μi},{νi}?[0,∞),滿足對任何i∈Λ，下式成立

利用文獻[11]中的證明思想, 不難證明當β充分大時Λ是空集。從而有在空間L4(Ω)中

由Fatou引理可知

從而有

定理1的證明

(13)

3 結 語

本文研究了一類具有臨界非線性項的Kirchhoff型方程組, 運用變分法、集中列緊原理、極大值原理、山路引理等工具, 證明了該方程組極小能量解的存在性。從而將文獻[3]的結果推廣至方程組的情形。