逼近高斯信道容量的M-APSK調(diào)制星座優(yōu)化設(shè)計(jì)*

蔣炫佑，魏以民，王 雷，彭 磊

(中國(guó)人民解放軍陸軍工程大學(xué) 通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210000)

0 引言

當(dāng)前，為了滿(mǎn)足與日俱增的通信用戶(hù)數(shù)量并達(dá)到用戶(hù)不斷提高的通信質(zhì)量要求，通信技術(shù)飛速發(fā)展。5G標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)用化指日可待，為適應(yīng)其109bit/s以上的通信速度要求，不難想象接下來(lái)高階調(diào)制將逐漸成為主流的調(diào)制方式。而當(dāng)下眾多的調(diào)制方式中，較為新穎的幅度和相移鍵控(APSK)調(diào)制與傳統(tǒng)調(diào)制方案中應(yīng)用最為廣泛的正交幅度調(diào)制(QAM)比較，具有更低的峰均功率比(PAPR)和更突出的頻譜效率，因此被認(rèn)為是適應(yīng)于非線性信道的高效魯棒傳輸方案[1-3]。迄今為止，該調(diào)制方式已經(jīng)在標(biāo)準(zhǔn)衛(wèi)星通信系統(tǒng)中加以采用，如第二代衛(wèi)星數(shù)字視頻廣播(DVB-S2)等，但由于其相對(duì)較差的誤碼率(BER)性能，在移動(dòng)通信和地面廣播系統(tǒng)中仍很少考慮APSK[4]。

與此同時(shí)，結(jié)合信息論觀點(diǎn)，考慮在功率約束加性高斯白噪聲(AWGN)信道傳輸，如何逼近高斯信道容量仍然是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題[5]。由于在實(shí)際中，有限的信號(hào)星座點(diǎn)數(shù)量必然會(huì)導(dǎo)致信號(hào)偏離最優(yōu)連續(xù)輸入分布，使得絕大多數(shù)調(diào)制方式的星座容量距離高斯信道容量都有一定差距，因此提出了結(jié)合等概率信令與星座整形的有效方法[6-7]。

傳統(tǒng)意義上，為AWGN信道設(shè)計(jì)信號(hào)星座分布的原則是在平均功率約束條件下最大化信號(hào)星座點(diǎn)間的最小歐幾里德距離，以此來(lái)改善相應(yīng)調(diào)制方式的誤碼率指標(biāo)。在一維信號(hào)平面中，基于該原則所采用的服從于均勻分布的信號(hào)集能夠?qū)崿F(xiàn)最佳誤碼率性能，但是，倘若信號(hào)集中的點(diǎn)等概率，則又不能滿(mǎn)足高斯信道容量可實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)前提[3]。因此，在二維信號(hào)平面上滿(mǎn)足高斯信道容量可實(shí)現(xiàn)的APSK星座設(shè)計(jì)吸引了廣泛學(xué)者的注意。如對(duì)于等概率均勻分布的一維信號(hào)，文獻(xiàn)[3]中提出了能夠逼近高斯信道容量的星座構(gòu)建方案；而在文獻(xiàn)[4]中提出了一種特殊的具有灰度映射的APSK星座，具有較大的整形增益。

值得關(guān)注的是，近年來(lái)MERIC H提出了一種利用Box-Muller變換[8]構(gòu)建具有等概率輸入信號(hào)的APSK星座方案，給出了其在星座點(diǎn)的數(shù)量達(dá)到無(wú)窮大時(shí)，可以在二維信號(hào)平面上漸近實(shí)現(xiàn)高斯信道容量的數(shù)學(xué)證明，通過(guò)仿真驗(yàn)證了其在DVB-S2X系統(tǒng)中具有良好的兼容性[9-10]。但由于該方案未考慮誤碼率性能，所構(gòu)建的APSK調(diào)制與傳統(tǒng)矩形QAM之間存在很大的信噪比差距。

針對(duì)以上研究背景，本文提出了一種新的APSK星座構(gòu)造方案，在滿(mǎn)足高斯信道容量可實(shí)現(xiàn)的前提上改善最小歐氏距離指標(biāo)，統(tǒng)籌兼顧星座容量與誤碼率性能，對(duì)其實(shí)際應(yīng)用做了一定的推廣。

圖2 64APSK和64QAM星座分布對(duì)比圖

1 星座成型過(guò)程

本文信號(hào)生成過(guò)程基于文獻(xiàn)中方法，利用Box-Muller變換將服從均勻分布的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為服從高斯分布的隨機(jī)變量。

生成過(guò)程可以簡(jiǎn)單表述為：

首先取0到n-1的整數(shù)集合Nn={0,1,2,…,n-1}，基于如式(1)所示離散數(shù)集生成信號(hào)分布序列：

(1)

然后引入兩個(gè)在Sn均勻分布的離散隨機(jī)變量Un和Vn，單獨(dú)考慮其中每個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)時(shí)，序列(Un)n≥1和(Vn)n≥1都弱收斂于均勻分布(0，1)。

再后定義整形函數(shù)φ：(0，1)→R2，根據(jù)Box-Muller變換，可得：

(2)

Wn=φ(Un,Vn)=

(3)

其中，P為輸入信號(hào)的功率限制。

通過(guò)上述步驟，產(chǎn)生了均勻分布在R2上的n2對(duì)隨機(jī)向量Wn，星座集Cn呈現(xiàn)出高斯分布，并且均勻分布在n個(gè)同心圓上，每個(gè)圓上有n個(gè)星座點(diǎn)。集合Sn的映射序列確保了Un永不為零，避免了在取對(duì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題。圖1所示是64點(diǎn)APSK調(diào)制(n=8且P=1)，由圖可知對(duì)任意星座點(diǎn)Wn，隨機(jī)向量Un控制模值，Vn決定相位。

圖1 64APSK信號(hào)星座圖

2 基于增大歐氏距離的優(yōu)化方案

2.1 優(yōu)化方向與意義

本小節(jié)首先給出同等階數(shù)下APSK調(diào)制與矩形QAM調(diào)制的星座對(duì)比圖，如圖2所示。

觀察分析圖2中64APSK與64QAM信號(hào)星座分布的對(duì)比，可以清楚地看到在最小歐氏距離這一指標(biāo)上，64APSK并沒(méi)有傳統(tǒng)矩形64QAM星座有優(yōu)勢(shì)，這也就意味著在信道參數(shù)一致時(shí)，第1節(jié)所構(gòu)建的M-APSK調(diào)制方式會(huì)產(chǎn)生更高的誤碼率，這項(xiàng)指標(biāo)的不理想將直接影響到該調(diào)制方式的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。為此，本節(jié)主要研究了基于增大最小歐氏距離的M-APSK調(diào)制星座優(yōu)化方案。

進(jìn)一步觀察，圖2中64APSK信號(hào)星座在每一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線上星座點(diǎn)都是服從高斯分布的，明顯可見(jiàn)在中間圈數(shù)上的星座點(diǎn)分布極為密集，因此針對(duì)最密集區(qū)域?qū)ψ钚W氏距離做出調(diào)整的話，就意味著在整個(gè)星座圖上做到了優(yōu)化。基于此本節(jié)提出了一種通過(guò)旋轉(zhuǎn)重構(gòu)星座圖的整形方法，增大了星座點(diǎn)間最小歐式距離，實(shí)現(xiàn)了該M-APSK調(diào)制方式在誤碼率性能上的改善。

2.2 星座優(yōu)化方案

優(yōu)化思想：通過(guò)對(duì)部分星座點(diǎn)的整體旋轉(zhuǎn)，在仍然滿(mǎn)足高斯分布的基礎(chǔ)上，則可以將原先密集的區(qū)域分散到鄰近閑置空間上。

根據(jù)原始星座圖的中心對(duì)稱(chēng)性，考慮奇數(shù)圈星座點(diǎn)不變，偶數(shù)圈星座點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度θ，則θ=π/n，其星座圖如圖3所示。

圖3 偶數(shù)圈星座點(diǎn)旋轉(zhuǎn)整形后100APSK星座分布圖

可以觀察到，此時(shí)已經(jīng)成功將其中央圈數(shù)上的星座點(diǎn)再分配開(kāi)，初步滿(mǎn)足了優(yōu)化目標(biāo)。對(duì)該方案的星座容量性能仿真驗(yàn)證在下一小節(jié)中給出討論。

進(jìn)一步分析，由于星座圖最內(nèi)一圈的點(diǎn)間距是只與信號(hào)的調(diào)制階數(shù)有關(guān)的，即調(diào)制階數(shù)越高分布越密集，當(dāng)調(diào)制階數(shù)取到一定大小時(shí)，則此時(shí)的星座最小歐氏距離為最內(nèi)圈點(diǎn)間距。故整形函數(shù)的最理想效果即為通過(guò)旋轉(zhuǎn)使得最小歐式距離大于等于最內(nèi)圈點(diǎn)間距。因此，事實(shí)上不必像上述優(yōu)化方案中旋轉(zhuǎn)n/2圈，而是針對(duì)幾個(gè)特定的星座圈進(jìn)行旋轉(zhuǎn)整形即可達(dá)到最佳狀態(tài)。

由于構(gòu)建的星座符合圓高斯分布，中央圈數(shù)的星座點(diǎn)距離較近，考慮只對(duì)第l圈的星座點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)整形變換，其中l(wèi)滿(mǎn)足：

l∈{n/2-2,n/2,n/2+2}

那么，同樣給出當(dāng)星座點(diǎn)數(shù)量為100時(shí)，星座圖如圖4所示。

圖4 特定圈星座點(diǎn)旋轉(zhuǎn)整形后100APSK星座分布圖

2.3 優(yōu)化方案相關(guān)理論推導(dǎo)與證明

2.3.1優(yōu)化方案性能提升證明

由圖3、圖4顯然可以看出優(yōu)化方案提升了M-APSK信號(hào)星座的最小歐氏距離，首先將優(yōu)化方案表述為如下過(guò)程：對(duì)于原APSK信號(hào)，針對(duì)每條射線邊上的點(diǎn)，每奇數(shù)順序的點(diǎn)保持不變，每偶數(shù)順序的點(diǎn)統(tǒng)一(順時(shí)針或者逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn)角度θ，其中θ為兩條相鄰射線夾角的一半。

證明：考慮如圖5所示，每條射線邊的第1、2個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離代表著最小歐氏距離。如圖5所示，星座點(diǎn)變化前有：

d1=R-d3

對(duì)于變化后的星座點(diǎn)，根據(jù)三角形邊的關(guān)系公式，有：

d2>R-d3

可得：

d2>d1

圖5 證明圖示

那么由最小歐氏距離增大，顯然可以得出誤碼率性能有改善。

該處證明方法多樣，可通過(guò)解析幾何方法先求距離最近的星座點(diǎn)的坐標(biāo)，再求兩點(diǎn)間距離進(jìn)行比較驗(yàn)證。該方法易于理解但計(jì)算過(guò)程相對(duì)繁瑣，在此不做贅述。

2.3.2優(yōu)化方案滿(mǎn)足前置條件證明

出于嚴(yán)謹(jǐn)性考慮，本小節(jié)對(duì)優(yōu)化后方案滿(mǎn)足原星座圖構(gòu)建方案前置定理做出補(bǔ)充證明。為便于證明，針對(duì)更具普遍性的方案一序列進(jìn)行，因?yàn)榉桨付欠桨敢坏暮?jiǎn)化形式，若方案一滿(mǎn)足條件，則方案二也必然成立。

參考文獻(xiàn)[9]中給出了通過(guò)Box-Muller變換構(gòu)建服從高斯分布輸入信號(hào)在星座點(diǎn)數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)能夠逼近高斯信道容量的兩個(gè)前置條件：

根據(jù)第1節(jié)得出的結(jié)論：構(gòu)建星座圖序列映射中Un控制變換后信號(hào)點(diǎn)的幅度，Vn影響角度，則經(jīng)過(guò)整形函數(shù)后的優(yōu)化方案映射序列可以表示成如下形式：

(4)

(5)

其中k越小，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在越外圈的圓上，而序列中每一個(gè)元素的值仍在0～1之間。

證明如下：

根據(jù)前文分析，改進(jìn)后APSK在映射關(guān)系上只改變了偶數(shù)點(diǎn)的Vn，相當(dāng)于偶數(shù)點(diǎn)在同一個(gè)圓周上進(jìn)行角度位移，對(duì)應(yīng)的幅度不變，所以并不會(huì)影響模值，即：

該證明分為以下3個(gè)步驟：

(6)

其中，

將式(4)和式(5)帶入式(6)，可得：

(7)

(8)

可以得到：

(9)

其中，ΦW*(t)是高斯變量W*的特征函數(shù)。

(10)

聯(lián)立式(7)、(9)、(10)可得：

3 優(yōu)化方案仿真驗(yàn)證與分析

3.1 兩優(yōu)化方案容量差比較分析

在本小節(jié)中，給出M-APSK兩次優(yōu)化方案以及與M-QAM調(diào)制方式的比較仿真，以信道容量差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，取信噪比SNR為20 dB，則有仿真圖6和7。可以得到如下結(jié)論：

(1)兩優(yōu)化方案在性能上沒(méi)有明顯區(qū)別，由此可見(jiàn)，優(yōu)化方案二基本保留了優(yōu)化方案一的性能優(yōu)勢(shì)，并且在調(diào)制過(guò)程中有相當(dāng)程度的簡(jiǎn)化；

(2)對(duì)比參考文獻(xiàn)，優(yōu)化方案不僅保留了原調(diào)制方案在星座點(diǎn)數(shù)量多時(shí)互信息量接近高斯信道容量的優(yōu)勢(shì)，還能在星座點(diǎn)數(shù)量較少時(shí)保持等同于M-QAM的星座容量，這大大提高了M-APSK調(diào)制方式的應(yīng)用范圍與價(jià)值；

(3)比較APSK與優(yōu)化APSK曲線，可以明顯看出優(yōu)化方案的收斂速度超過(guò)了原方案。

圖6 優(yōu)化方案一與QAM的容量差隨星座點(diǎn)數(shù)變化示意圖

圖7 優(yōu)化方案二與QAM的容量差隨星座點(diǎn)數(shù)變化示意圖

保留優(yōu)化方案二，給出4APSK、16APSK、64APSK、4 Modified APSK、16 Modified APSK以及64 Modified APSK 6種調(diào)制方式的星座容量隨信噪比變化，如圖8所示。

圖8 多種調(diào)制方式的星座容量隨信噪比變化示意圖

3.2 兩優(yōu)化方案誤比特率比較分析

如圖9所示，Modified APSK為優(yōu)化方案二的誤碼率曲線，經(jīng)比較可得出結(jié)論：旋轉(zhuǎn)整形后的星座分布，有效地增大了最小歐氏距離，在誤碼率指標(biāo)上取得了明顯改善。

圖9 優(yōu)化方案與原方案誤比特率對(duì)比圖

綜合星座容量與誤碼率仿真分析結(jié)果，優(yōu)化方案較原始方案均表現(xiàn)出一定的性能優(yōu)勢(shì)，并且優(yōu)化方案二相比方案一大大減少了系統(tǒng)復(fù)雜度，降低了對(duì)收發(fā)兩端的性能要求，因此可以說(shuō)優(yōu)化方案二已經(jīng)基本達(dá)到了本文的優(yōu)化目標(biāo)。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的整形函數(shù)來(lái)優(yōu)化已有的性能較好的APSK星座分布，基于高斯信道容量可實(shí)現(xiàn)的APSK星座構(gòu)造目標(biāo)，通過(guò)聯(lián)合考慮最大可實(shí)現(xiàn)率和最小歐氏距離構(gòu)建出了性能更好的星座分布。通過(guò)綜合性能仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方案在誤碼率和容量性能方面的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于給定調(diào)制階數(shù)的信號(hào)星座，本研究認(rèn)為在略微放松信號(hào)分布條件時(shí)，在APSK星座的設(shè)計(jì)中將獲得更快的收斂速度。