數(shù)的開方與數(shù)系擴(kuò)充

劉東升

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學(xué)）

剪拼實驗：如圖1，將兩個邊長為1的正方形分別沿對角線剪開，得到四個等腰直角三角形，即可拼成一個大正方形.容易知道，這個大正方形的面積是2，那么大正方形的邊長是多少呢？

圖1

建立模型：待求的大正方形的面積為2，設(shè)它的邊長為a，則有a2=2.也就是要把平方運算逆過來思考，即在冪的運算式子“an”中已知指數(shù)和冪，逆過來求底數(shù)的值.問題簡化如下：

若a2=2，求a=_______.

引入新運算、定義新概念：

介紹第六種運算：開方運算.在冪的表達(dá)式中，已知指數(shù)和冪，求底數(shù)的運算，稱為開方運算.開方運算的結(jié)果稱為方根.

從最簡單的開二次方說起，即開平方.從定義上看，如果一個數(shù)的平方等于a（a≥0），這個數(shù)就叫做a的平方根.換句話說，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，22=4，（-2）2=4，所以2和-2都是4的平方根.

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.例如，正數(shù)4的正的平方根是2，所以2叫做4的算術(shù)平方根.

符號表達(dá)：正數(shù)a的平方根寫成 ± a.例如4的平方根寫成± 4=±2.正數(shù)a的算術(shù)平方根寫成 a.例如4的算術(shù)平方根寫成 4=2.可見，在上面的“問題”中，a= 2.（負(fù)值舍去）

性質(zhì)辨析：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.算術(shù)平方根具有兩個非負(fù)特性：①被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，②算術(shù)平方根的值也是非負(fù)數(shù).

成果擴(kuò)大：繼續(xù)學(xué)習(xí)開立方運算——立方根.

定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根.數(shù)a的立方根，記作 a3，讀作“三次根號a”.

顯然，任何數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)或零）的立方根如果存在的話，必定只有一個.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.

數(shù)系擴(kuò)充：有了開方運算，出現(xiàn)了一些開方開不盡的數(shù)，我們就有必要將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實數(shù)了.實數(shù)系其實就是對以前學(xué)習(xí)的所有數(shù)的總結(jié)，是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充，又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).我們已經(jīng)知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，并規(guī)定無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，這樣我們把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即實數(shù)這個大家庭里有有理數(shù)和無理數(shù)兩大成員.

實數(shù)的分類可從兩個角度去思考，即（1）按定義來分類；（2）按正、負(fù)數(shù)來分類.

最后，我們列一個“知識結(jié)構(gòu)圖”，幫助同學(xué)們直觀理解“從數(shù)的開方到數(shù)系擴(kuò)充”.