錯例研究：讓教學改進更為真實

紹興文理學院教師教育學院（312000）

長期以來，廣大數學教師一直用自己的方式在研究數學、研究學生，努力去追尋更為有效的教學策略。錯例研究，便是教學改進中最貼近一線教師、最接近課堂、最必要和最具實踐價值的數學教育研究方式。

學生在解題過程中出現錯誤的樣式或例子，我們稱之為錯例，出現錯誤的這個題就是易錯題。同一個易錯題可能會因各種原因而出現多種錯例，對于出現錯誤頻率高，具有一定普遍性和代表性的錯例，則稱為典型錯例（本文中所指的錯例研究，就是典型錯例研究）。錯例研究，就是立足易錯題，以典型錯例為研究對象，加以全面剖析、歸因，并提出或指導性的，或矯正性的，或預防性的教學建議的研究。教師每天都可以開展錯例研究，因為每節課上，每次練習中，每個學習環節里，學生都會發生錯誤，這樣的研究對師生而言，無疑是最本原、最直接，也是最有效的。

一、錯例研究對教學改進的價值性存在

聯合國教科文組織第十九次國民教育國際會議資料中指出：“應當研究學生所犯錯誤，并把錯誤看成是認識過程和認識學生數學思維規律的手段。”在如此高端的教育國際會議中提到了學生的錯誤，錯例研究的價值可見一斑。錯例既能反映學生的思維過程，又能反照出教師的教學問題。典型錯例是多位學生出現同種錯法，因具有普遍性所以更具有研究的價值。

1.典型錯例反映出學生的學習難點

學生的學習難點往往就是學生容易出錯的地方，典型錯例反映出的就是學生的學習難點。如，對于分數乘法應用題“一本書有100頁，已經看了這本書的，看了多少頁？”學生給出的算式“”就屬于典型錯例。在訪談學生的過程中發現：分數乘除法應用題對學生來說比較難，是因為學生受到正整數乘法的負面影響，認為“乘法一定是越乘越大，除法一定是越除越小”，這一認知誤區影響了他們對分數意義的正確理解。因此，對于這道分數乘法應用題，學生堅定地認為“書還沒有看完，說明看的頁數肯定比100要小，所以用除法”。這個學生在初學分數乘除法時的學習難點，教師就能從典型錯例中有所了解。

2.典型錯例折射出學生的認知偏差

學生原有的數學認知結構與新知識之間產生矛盾是正常的，從眾多的典型錯例中可見一斑。如，對于題目“在2.46和2.47之間有（）個數”，很多學生填“10”。在對學生的訪談中發現，學生對小數稠密性的理解不充分。小數的概念起源于測量和分數的部分與全體關系，有限小數是由“十等分”分割產生的，而十等分活動可以無限制地繼續下去，所以任意兩個小數之間有無數個小數存在，也就是說，小數具有稠密性。學生之所以填“10”，主要原因并不是他們沒有記住定義，而是他們的建構活動發生了偏差，也就是他們對小數稠密性的認知出現了偏差。

3.典型錯例映照出教師的教學缺失

錯誤不但能反映出學生的認知發展水平和行為習慣，而且能映照出教師在教學理念和教學行為上的不足。如，簡便計算的學習中，對于利用減法運算性質“ab-c=a-（b+c）”計算的變式題目“1603-（603-75）”，很多學生這樣做：1603-（603-75）=1603-603-75。學生會這樣做，更多地還是受減法運算性質“a-b-c=a-（b+c）”的影響。出現這樣的錯例，教師應該反思是不是教學時只關注了基本形式，而忽視了該性質的變式練習，以至于沒有足夠重視連減的簡便計算的變式，才造成了學生計算錯誤。如果能出示變式題，并利用問題情境進行教學，學生必然能夠更好地掌握相關知識。

教師只有研究錯例，讀懂錯誤，了解學生的學習難點，把握學生的認知缺陷，才能明白自己在教學過程中的種種缺失，從而對教學做出相應的思考和改進。這正是錯例研究對教學改進的真正價值。

二、錯例研究對教學改進的現實性思考

錯例折射出了教與學的問題，也就為教學改進提供了事實依據。而從哪里改進，改進什么，如何改進，也就有了其客觀的現實意義。英國心理學家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”只有認識到錯例的價值，才能更好地對其進行研究，而研究是為了改進，以改進教學來最終實現更有效的教學。

1.有利于讀懂教材，把握教學難點

典型錯例反映的正是學生的學習難點，即教學的難點。那么，怎樣來突破教學難點，從而化解學生的學習難點呢？突破難點的前提是知道難點是什么，在哪里。這就給教師提出了“讀懂教材，正確把握教學難點”的要求。

對于題目“把一根4米長的木料平均分成5段，每段是這根木料的（ ），每段長（ ）米。”，五年級的學生容易出現錯誤。這是由于題目中的兩個問題非常相似，又比較抽象，很多學生弄不清是求具體的數量，還是求部分與整體的關系。這恰恰就是“認識分數意義”的教學難點。要突破這難點，就要研究“分數的意義”教學在教材中的編排情況。“分數的意義”分別安排在三、四年級，分兩個階段來學習。對于教材的編排，教師會有兩點感受：一是感到分數意義理解的輕重失衡。教材沒有安排獨立的課時來研究用分數表示數量，所以和學生在第一學段已建立起“部分和整體的一種關系”相比，分數代表一種數的內容過于單薄。二是不利于學生學習分數意義時進行正遷移。教材先讓學生理解分數表示“部分和整體的一種關系”，再概括分數的意義，然后學習分數與除法的關系，最后認識分數表示一種關系的另一種意義。這樣編排于無形中割裂了分數的兩種意義，使學生的學習不能發生正遷移，學生必然就會錯誤理解所學的概念。通過對教材的反復研讀，筆者用“板塊系統教學”的思想對“分數的意義”教學做了改進，一是重組教學內容，均衡分數兩種意義的理解；二是指導學習方法，引出分數的兩種意義；三是拓展題目類型，強化分數的兩種意義。通過這三個策略幫助學生完整掌握分數的兩種意義，并為今后小數乘除法、分數乘除法等計算教學和相關解決問題的教學做好鋪墊。

典型錯例能促動教師反觀和審視教材，進一步思考教學的重點和難點，從這個意義上講，錯例研究其實就是對教材內容的再度理解與把握。

2.有益于摸清學情，做到對癥下藥

差錯總是伴隨著教學產生，學生的許多錯誤都是由于教師不了解學生的認知基礎和思維特點等而造成的。教師只要順“錯例”這根藤摸到“錯誤原因”這個瓜，就能摸清學生的學習情況，再依此開展教學改進。

對于題目“在一個長7分米、寬5分米的長方形紙上，要剪出邊長是2分米的正方形，最多能剪出這樣的正方形多少個？（請你畫一畫示意圖）”，學生的典型錯例是（7×5）÷（2×2）=8。在訪談中，學生的回答驚人相似：用“進一法”來解決，而對于畫示意圖的提示不屑一顧，覺得這只是一個輔助方法而已。從中可以發現，學生的思考點在以前曾經用什么方法解決過類似的問題，至于是否適用該題，是否符合生活實際，都不予考慮。

可見，學生只是在調用原有的解題經驗，而沒能具體問題具體分析。這個錯例至少給了教師兩點啟示：一是數學只有在應用中才能體現價值，數學教學需要跟生活情境緊密結合；二是要有意識地滲透問題解決的策略，畫示意圖是一種最常用、最便捷的解題策略。由此可知，只有走進學生的心靈，了解他們的所思所想，摸清學情，教學方可做到對癥下藥。

3.有助于反思自我，推動教師的教和學生的學

錯誤產生的原因是多方面的，但最主要的還是集中在教師和學生兩個方面。面對學生的差錯，就教師而言，要反思自己的教學行為；對學生來說，要學會自我診治，在與錯誤的對抗中獲得發展。

錯例研究，能讓教師養成一種遇到問題就去分析和思考的習慣，在日常教學中也必然會有意或無意地審視自己的教學行為，而后帶著“是否合理”的疑問去展開教學。教師教之前就會多一些深究，在深究中教材被再次研讀，教法被再次推敲，活動被再次設計，學生被更多地推到教學“中央”。改進后的教學在“再次”和“更多”中變得更加真實和有效。

錯誤被認為是可貴的教學資源，其可貴不僅在于教師可以“因錯施教”，更在于學生可以在差錯中學習。面對學生的差錯，教師要適時引導，并提供給學生自我診治和修正的機會，讓學生在辨析和糾正錯誤中改進學習方法。因此，教師的錯例研究，對學生而言，是給了他們思維發展的空間，讓其經歷一個自悟自得的創新過程。學生自己從錯誤的認知中走出，比教師直接告訴他們正確答案更能讓他們記憶深刻。這也印證了作家莫言所說的：“人不怕犯錯誤，犯了錯誤，如果能帶著教育和反思爬起來，錯誤就會成為課堂。”

三、錯例研究對教學改進的建議性策略

錯例是有效診斷教與學的載體，錯例研究最終是為了改進教學。對于如何利用錯例有效改進數學教學，提高課前預設、課堂預防、監控、矯正及課后補救的效率，許多教師都在默默探索，積極實踐。紹興小學數學教師在長達六年的錯例研究中，依據易錯題的知識屬性，提出了相應的教學策略。本文則從另外一個角度，提出利用錯例改進教學的策略。

1.“提前干預式”策略

“提前干預式”策略,即教師在課前已經知道了本節課對應的錯例，根據錯例預設相應環節，提前刺激學生的“犯錯”主動性，讓學生在“錯誤被干預”的情境中充分體驗，構建正確的知識系統。這里的“干預”，根據需要可以是“對教學現場的主動干預”，也可以是“對教學設計的事前干預”。下面給出一個教學現場中主動干預的案例。

學習“用比例解決問題”時，學生經常會犯所設的未知數與列的方程不一致的錯誤。如，甲、乙兩地相距420千米，一輛汽車從甲地開往乙地，2小時行駛了140千米。照這樣計算，到達乙地還要多少小時？

解：設到達乙地還要x小時。（小時）。

對于這樣的錯例，教師可以在課上進行“未教先知”的“干預”：出示上題，要求學生獨立解答；隨即巡視，發現大部分學生出現與上題雷同的錯誤；接著，找兩位分別做對與做錯的學生把解題方法寫在黑板上，對比分析，弄清出錯原因，并提出修改方案。

如果仍然“設到達乙地還要x小時”，怎么修改方程使之正確？如果計算過程仍然是“，x=6，6-2=4（小時）”，怎么改也能使之正確？通過對“設法”與“方程”兩條途徑的修改，使學生深刻領悟到只有所設的未知數與方程必須一致，才能避免自相矛盾。這樣的教學自然能收到事半功倍的效果。

2.“內容調整式”策略

“內容調整式”策略，即改變教材原定的順序，將錯例所生發的教學內容提前，以此來了解學生的出錯情況。

在運用運算定律進行簡算時，學生會出現各種各樣的錯誤，尤其是運用乘法結合律和分配律進行簡算，就有（80+4）×25=80+4×25、25×（4×8）=25×4+25×8等錯例。這時，教師可以在運用“提前干預式”策略的基礎上，對“乘法分配律”和“乘法交換律和結合律”兩個內容的教學順序做調整。下表呈現的是四年級A、B兩個班的不同教學情況。

班級教學順序A班先教學乘法分配律，再教學乘法交換律和結合律。B班先教學乘法交換律和結合律，再教學乘法分配律。教學完兩個內容之后，給出4道計算題進行后測：A.（80+4）×25B.12×97+3C.25×（4×8）D.32×25×125后測情況A題：學生都能正確運用乘法分配律進行簡算，錯誤率為0；B題：學生運算順序錯誤，先算97+3的錯誤率為2.17%，其中有32.61%的學生算12×97時用了乘法分配律進行簡算；C題：錯用乘法分配律得出25×（4×8）=25×4+25×8的學生有6.52%；D題：錯用乘法分配律得出32×25×125=（4×25）+（8×125）的學生有8.70%。A題：有13.04%的學生沒有完整使用乘法分配律，寫成了80×25+4或80+4×25；B題：學生運算順序錯誤，先算97+3的錯誤率為21.74%，其中只有10.87%的學生算12×97時用了乘法分配律進行簡算；C題：錯用乘法分配律得出25×（4×8）=25×4+25×8的學生有28.26%；D題：錯用乘法分配律得出32×25×125=（4×25）+（8×125）的學生有32.61%。

對A、B兩班的部分學生進行訪談，訪談的話題是“你怎樣看待乘法結合律和分配律”。從訪談中發現，從乘法意義的角度去理解和建構乘法分配律，學生就能掌握乘法簡算中最核心的部分，以及A班學生對乘法分配律使計算簡便的價值認識相對B班學生更深刻。

當然，運用該策略時，要在透徹理解教學內容，不違背學生認知規律的基礎上進行。

3.“專項訓練式”策略

從本質上看，很多錯例是與學生的數學能力、數學觀念與意識、解決問題策略等有關。“專項訓練式”策略，就是從運算能力、空間觀念、解決問題能力等方面入手，設計專門的數學活動，從而減少出錯，幫助學生提升基本的數學素養。

在“解決問題”的錯例中，學生“題意不理解”“方法不靈活”“數學模型模糊”等原因造成的錯誤較多。因此，開展解決問題方面的“四常”專項指導就能收到良好的效果。

“常規”常訓練。解決問題最首要的一環就是審題：明白已知什么，要解決的問題是什么。要求學生做到三審：一審，弄清在講什么事；二審，提取有用信息；三審，清楚信息間的組合與搭配。

“提出問題”常嘗試。學生在讀取信息后，篩選有用信息，能將這些信息進行關聯并提出有價值的問題。

“常用策略”常滲透。教師結合相應的素材，將解決問題常用策略的專題指導有機地滲透在各年級的“解決問題”教學中，如畫圖策略（畫線段圖和示意圖）、列表策略、轉化策略、猜想與嘗試策略、從特例開始找規律策略等。教師在“解決問題”的教學過程中，要有意識地讓學生逐步積累這些策略，使得學生熟能生巧。

“方法多樣”常激發。解題方法的多樣意味著思路開闊，思維有質，數學思考有章法。

對于運算能力、空間觀念等，也可以設計一些載體開展有的放矢的訓練。在這樣的訓練中，學生的學習能力增強了，思維品質改善了，教與學的質量也就提升了。

4.“檢測反饋式”策略

“檢測反饋式”策略，即對課堂中或一個階段中所需要涉及的錯例設計不同形式的練習并做出及時反饋和教學調整。根據不同的反饋時機可以分為前后測反饋、課堂反饋和階段性反饋。

前測與后測反饋。前測與后測可以說是現代教學中應用較為廣泛的研究方式。前測能為教師進行有效而合理的教學設計提供現實依據，后測則可讓教師較為直接地判斷本節課的設計是否貼近學生實際，學生是否掌握了新知。如，教學“乘法分配律”之前，教師基于學生對乘法意義的理解、對乘法分配律的基本模型的了解程度和應用情況等的了解，擬定前測練習，包括根據乘法分配律進行填空、給出等式進行判斷、結合乘法分配律解決問題三種題型。前測之后分析測試結果，找到問題的癥結，從而進行教學改進。又如，在結束“除數是兩位數的除法（例2）”教學改進嘗試之后，擬定用5道筆算題“84÷28、121÷17、324÷81、272÷68、243÷42”進行后測，以判斷本次教學改進是否有效。

隨堂反饋。采用隨堂反饋的形式，可以讓學生直面錯誤，并當堂解決。如，“億以內數的認識”的練習鞏固環節，教師直接亮出與本節課內容相關的易錯題“10個一千萬是（ ），一百萬是10個（ ），十億是（ ）個一千萬。”，再根據學生的錯誤情況進行糾錯。

階段性反饋。階段性反饋也是應用錯例進行教學的一種較有效的方式，可以在單元內容教學完成之后或是在期末開展。如，四年級上冊第一單元“大數的認識”的教學完成后，教師可把這單元中相應的易錯題加以匯總，對學生進行測試，根據錯誤率的情況來判斷教學的成效，再進一步思考和調整改進的策略。

錯例，是可貴的教學資源，既能給教學提供最好的素材，也能為教師把握學科本質與研究學生提供原始的研究數據。錯例研究，根植實踐和學生，是貼近課堂和學情的一種數學教學研究，能給教學改進插上了最真實的翅膀，為實現更高效的教學提供一條有益的路徑。