規(guī)律：在探究思辨中建構
——“最簡分數(shù)化成有限小數(shù)”錯例改進策略探尋

浙江紹興市嵊州剡溪小學（312400）

“最簡分數(shù)能否化成有限小數(shù)”是人教版教材五年級下冊的內容，2012年的修訂版教材中已不把這個知識列為正式的教學內容，而是安排閱讀材料“你知道嗎？”，讓學生了解后在練習中適當加以鞏固。在期末總復習的測試中有這樣一題：“這七個分數(shù)中，能化成有限小數(shù)的有（ ）個。”學生的錯誤率較高，最高的班級達到44.7%，最低的班級也有23%，學生認為有限小數(shù)有2個或3個的較多。為此，筆者進行了錯例研究。

一、訪談記錄

【錯例1】能化成有限小數(shù)的有（2個）。

師：你是怎么想的？

生1：我一個個看，一個個判斷。

師：你是怎么判斷的？

生1：看分母是不是只有因數(shù)2或5。8只有因數(shù)2，25只有因數(shù)5。因此填了2個。

師：還有什么要注意的嗎？

（學生沉默）

師：要不要考慮分數(shù)是不是最簡分數(shù)？

生1：要，我忘記這點了。

【錯例2】能化成有限小數(shù)的有（3個）。

師：你是怎么思考的？

生2：我是用分子除以分母的方法。

師：除時碰到什么問題了嗎？

生2：要除好幾次，太麻煩了。

師：是有點麻煩，那你每個分數(shù)都除了嗎？

生2：因為太麻煩，后面兩個就沒有再除了，都當成不能的了。

師：老師講過其他判斷的方法嗎？

生2：沒有。

二、錯因追溯

1.教材層面——改為附加閱讀

根據(jù)課程標準對因數(shù)和倍數(shù)內容的調整，人教版教材五年級下冊第四單元“分數(shù)的意義和性質”中“質因數(shù)”“分解質因數(shù)”“最簡分數(shù)化成有限小數(shù)”等內容，已作為閱讀性材料“你知道嗎？”

你知道嗎?

你知道什么樣的最簡分數(shù)能化成有限小數(shù)嗎?你想了解這個規(guī)律嗎?

其實，只要把分數(shù)的分母分解質因數(shù)，就能知道一個分數(shù)能否化成有限小數(shù)。

如果分母中除了2和5以外，不含有其他質因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)。

如果分母中含有2和5以外的質因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。

“你知道嗎？”旨在于拓寬知識的延展性，讓學生了解后跳一跳摘到更好的“桃子”。表1就是五年級下冊中與“分數(shù)的意義和性質”相關的“你知道嗎？”。從課本第56頁到第79頁，短短24頁中就出現(xiàn)了6次“你知道嗎？”，所涉及的內容都是與這單元內容相匹配的輔助知識。此部分內容對于大部分學生來說自學難度較高，為取得更好的學習效果，教師應在課中進行教學，讓學生理解并掌握方法。

表1 五年級下冊“分數(shù)的意義和性質”單元中“你知道嗎？”內容統(tǒng)計表

2.教師層面——閱讀材料起困擾

教材編排上的這些改變給教師帶來了一定的困擾：這些“閱讀材料”是教還是不教？不教，學生不知道；作為閱讀內容在課堂上簡略帶過，學生模模糊糊，沒有印象；作為知識內容教，那得增加課時和工作量。教師指導用書對這部分內容給出的建議是“學生自學與老師指導相結合”。這樣的界定是含糊的，教師應該教到哪種程度是不明晰的。這樣就導致教師不能準確及適度地把握“閱讀材料”的教學要求，在實際教學中沒能采用適當?shù)慕虒W措施而導致了學生知識上的缺失。

3.學生層面——自學難

這些閱讀材料知識性強，學生難以自主理解，加上閱讀材料內容簡練，對于具體的方法沒有詳細的介紹，而只是簡單舉例，學生要在單個或幾個簡單的例子中掌握解決問題的方法是非常困難的，因為學生的感知和思維是碎片化的，很難串聯(lián)起來。如果教師在教學時避而不教或簡單帶過，學生遇到問題時就只會用常規(guī)方法（分子除以分母）嘗試解決，過程比較麻煩，容易出錯；如果教師扎扎實實地教了，學生在總復習階段也會忘了“最簡分數(shù)”這個前提條件，直接根據(jù)分母中的質因數(shù)來判斷，導致錯誤。

三、策略改進

1.多樣探究知規(guī)律

（1）種子課上來追問

“分數(shù)和小數(shù)的互化”的種子課上，在教學分數(shù)轉化成小數(shù)的常規(guī)方法即分子除以分母之后，可以增加一個追問環(huán)節(jié)：“為什么這些分數(shù)能轉化成有限小數(shù)呢？和分子有關？還是和分母有關？這些分母又有什么特點呢？”將“你知道嗎？”的內容在這里滲透、拓展，將學生的思維推向更深層次，為種子課增添色彩。

（2）練習課上來拓展

再結合教材的習題：

把下面的分數(shù)化成有限小數(shù)（不能化成有限小數(shù)的保留兩位小數(shù)）。

引導學生按照能否化成有限小數(shù)來分類，并進一步探究：能化成有限小數(shù)的分數(shù)和不能化成有限小數(shù)的分數(shù)有什么特點？讓學生在思考討論的基礎上閱讀教材中的“你知道嗎？”，從而了解規(guī)律。這樣既合乎課程標準的要求——降低了教學難度，給予學生結合實例驗證規(guī)律的過程，又有效拓展了學生的思維和開闊了學生的視野。

【教學片段】

師：下面的分數(shù)哪些能化成有限小數(shù)？哪些不能化成有限小數(shù)？

生1：能化成有限小數(shù)，不能化成有限小數(shù)。

師：想一想，能化成有限小數(shù)的這些分數(shù)有什么特點？

生2：能化成有限小數(shù)的分數(shù)的分母都是10、100、1000，分母是25、125、20的也能化成有限小數(shù)。

生3（迫不及待地）：分母是25、125、20的分數(shù)能擴大成分母是100、1000的分數(shù)，也能化成有限小數(shù)。

師：那么不能化成有限小數(shù)的分數(shù)又有什么特點？

生4：分母不能擴大成10、100、1000的分數(shù)。

師：分母是30、9、6的分數(shù)為什么不能擴大成分母是10、100、1000的分數(shù)呢？

生5：因為找不到一個與它們相乘會得到10、100、1000的數(shù)。

生6：因為30、9、6不是100、1000的約數(shù)。

師：30確實不是100、1000的約數(shù)。這是因為30里面還有什么？10、100、1000里面不含有什么？

（學生都沉默了）

生7：因為30里面有一個3，10、100、1000里面沒有3。

（學生繼續(xù)沉默）

師：這個問題有點難為大家了。請大家看課本第79頁的“你知道嗎？”

（學生閱讀課本）

師：現(xiàn)在你知道是什么原因了嗎？

生8：因為30=2×3×5，除了2和5外，含有質因數(shù)3，所以30不能化成有限小數(shù)。

生9：9=3×3，6=2×3，9和6也含有質因數(shù)3，都不能化成有限小數(shù)。

師：分母是25、125、20的為什么能化成有限小數(shù)？

生10：因為25=5×5，125=5×5×5，20=2×2×5，它們的分母中只含有質因數(shù)2或5，所以能化成有限小數(shù)。

師：分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)。而含有2和5以外的質因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。想一想，這是為什么？

生11：因為有2和5以外的質因數(shù)，就不能擴大成分母是10、100、1000的分數(shù)了。

師：大家聽明白了嗎？誰再來說說。

……

教師提供充足的時間和空間，讓學生自主探究規(guī)律，在學生的思維受阻時，讓學生自主閱讀課本材料“你知道嗎？”，適度地降低了教學難度。通過對材料的理解和質疑，學生進一步感知了這個規(guī)律的內涵。

2.質疑驗證明規(guī)律

有了第一條順向思考的策略，再結合反向驗證的操作，學生就能知其然并知其所以然。結合種子課和練習課的相關訓練，初步讓學生了解規(guī)律后，教師就要引導學生質疑“這是為什么？”，從而引發(fā)學生的頭腦風暴。

第一環(huán)節(jié)：神奇變變變。讓學生通過分解10、100、1000等數(shù)，直觀地感受只含有質因數(shù)2和5的事實。

第二環(huán)節(jié)：破壞加加加。讓學生加入其他的質因數(shù)，“搞破壞”，導致那些數(shù)永遠成不了整十、整百、整千的數(shù)。

第三環(huán)節(jié):超級轉轉轉。讓學生感知只有分母是整十、整百、整千的數(shù)才能轉化成有限小數(shù)。

這三大環(huán)節(jié)就能使學生明確最簡分數(shù)的分母中只有含有質因數(shù)2和5的分數(shù)能轉化成分母是10、100、1000的分數(shù)，能轉化成有限小數(shù)；分母中含有2和5以外的質因數(shù)就不能轉化成分母是10、100、1000的分數(shù)，也就不能轉化成有限小數(shù)了。在學生知其所以然的基礎上，教師再讓學生嘗試著自己舉例來驗證這個規(guī)律，自然就能提升學生的思維能力。

3.鞏固拓展用規(guī)律

有了補充教學，就可以讓學生在練習中結合具體內容，自主綜合運用。教師只需要出示分數(shù)讓學生運用規(guī)律來判斷其能否化成有限小數(shù)，并說明理由即可。這樣，學生就能進一步明確“最簡分數(shù)”這個前提，并能熟練應用這個規(guī)律來解決問題，提升了自身的思維能力和解決問題的能力。

站在學生的角度去探尋錯誤的源頭，分析錯誤成因，思索消滅錯誤的策略，沿著這樣的路徑，我們有效地達成了“最簡分數(shù)轉化成有限小數(shù)”規(guī)律的建模目標，真正讓學生在自主探究和思辨感悟中破繭成蝶。