循“理”入“法” 以“理”馭“法”
——對“一個數除以小數”新授環節的實踐與思考

浙江諸暨市海亮小學（311800）

教學“一個數除以小數”時，教師經常會有這樣的困惑：如此簡單的教學內容，學生作業的完成效果卻常常不盡如人意，雖然后續可以通過加大練習題量的方式逐步提高學生作業的準確率，但是這樣又落入了計算教學的一大“誤區”。日前，筆者參與了教研組就這一內容進行的“同課異構”教學活動，針對其中的“新知探索”環節進行對比式課堂實踐。

【第一次教學實踐】

出示例題：奶奶編一個中國結需要0.85米絲繩，有7.65米長的絲繩，可以編幾個？

讀題后列出算式：7.65÷0.85=

師：這個題目與我們之前學過的知識有什么不同？（這題的除數是小數）你能用自己的方法試著算一算嗎？

師：生1，你是依據什么轉化的呢？

生1：商不變的性質。

師：生2和生3都是用豎式來解決，哪位同學的結果是正確的？

師：雖然生2的結果正確，但是列的豎式有問題。一起來看看老師是怎么做的。（一邊板書過程，一邊講解示范）

師：你能用這種方法再計算一遍嗎？（學生練習）請生4說說你的想法。

生4：我把米轉化成厘米，這樣就可以轉化成整數除法來解決。

師：這其實與生1的方法相同。計算除數是小數的除法，先利用商不變的性質將它轉化成除數是整數的除法，所以要先看除數的小數位數，然后將被除數同時擴大相同的倍數。

教師列式后放手讓學生去計算，必然會出現各式各樣的解題方案，一旦涉及豎式計算過程，更會產生大量的可以利用的“錯誤資源”。此時，教師的主導作用已經演化為在處理各種算法中逐步落實本課的知識目標。然而，正是這種看似通過自主探索，使學生經歷了算法多樣化和過程優化的教學方法，卻為后續實際教學效果不佳的狀況埋下了“地雷”。

深入探索其中的原因，在以上環節中，學生需要在教師的引導下同時解決“該怎樣算”“為什么這樣算”“還可以怎樣算”“怎樣算更好”四個問題，其中前兩個問題指向“計算依據”，后兩個問題則體現了“計算方法”。正因為承載的內容和目標過多，難免會產生學生對“計算依據”理解不透徹，對“計算方法”掌握不扎實等現實問題，從而陷入“兒童急走追黃蝶，飛入菜花無處尋”的困境。

基于這些思考，筆者對這一個環節進行了再次設計。

【改進后的教學過程】

1.創設情境，比較設疑

逐題出示以下三個問題，分別列式并板書：（1）編一個小號的中國結需要35厘米絲繩，有735厘米絲繩，可以編幾個？（2）編一個中號的中國結需要61厘米絲繩，有561.2厘米絲繩，可以編幾個？（3）編一個大號的中國結需要0.85米絲繩，有7.65米絲繩，可以編幾個？

師：這三個題目有什么共同點？（都是求“可以編幾個”的問題，用除法計算）在得出的三個算式中，如果讓你選擇一題計算，你會選擇哪一題？為什么？

生1：735÷35。這題的被除數和除數都是整數。

師：也就是整數除法。剩下來的題目中，你會選哪題呢？

生2：選561.2÷61。這題的除數是整數，我們已經學過除數是整數的除法。

師：這兩個算式有什么共同點？

生3：都是除數是整數的除法。

師：只要除數是整數就可以了？被除數是小數對于你們來說有沒有問題？（沒有）

師（指7.65÷0.85）：為什么不選這個算式呢？

生4：這題的被除數和除數都是小數。

師：主要是因為誰是小數？（除數）跟另外兩題相比，它屬于除數是小數的除法。

2.巧用轉化，理解算理

師：有兩題的解法是我們已經學過的，有一題的解法是沒有學過的，對于沒有學過的，你有什么想法？

生5：可以把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法。也就是把沒有學過的知識轉化成已經學過的知識來解決。

師：這個想法非常好！那么，大家想到轉化的方法了嗎？

圖1

師（板書如圖1）：說說這是怎么想的。

生6：把被除數和除數同時擴大100倍，商不變。

師：為什么這里是乘以100而不是其他的數呢？

生7：要把除數的小數轉化成整數，除數是兩位小數，所以擴大100倍。

師：也就是說，這種轉化是由誰決定的？（除數）具體一點呢？（除數的小數位數）對被除數是怎么處理的？（除數擴大多少倍，被除數也擴大多少倍）

師：還有別的轉化方法嗎？（板書如圖2）說說你的想法。

生8：可以把m轉化為cm后再計算。

圖2

師：非常好，把m轉化為cm，其實就是把被除數和除數都轉化成整數，也可以看作是利用了商不變的性質。

3.建立聯系，豎式計算

師：這個過程如果用豎式，該如何表示呢？我們一起來試一試。（豎式表示中再次強調“算理”；過程略）

可見，第二個環節的教學中重點強調了計算這類題目之前進行轉化的發起點是“除數”，實施關鍵則是“除數的小數位數”。由于課堂練習中已經出現了“被除數的小數位數比除數多”的變式（0.544÷0.16），此時引入例5“被除數的小數位數比除數少”的教學就水到渠成了。

【新增例5的教學】

師（出示例題：12.6÷0.28）：仔細觀察，這題和前面的題目有什么不同？

生9：被除數的小數位數比除數少。

師：那怎么辦呢？誰來說說你的想法？

生10：將除數轉化為整數擴大了100倍，被除數也要擴大100倍。

師：被除數擴大100倍以后是多少？你是怎么想的？

生11：位數不夠，在末尾用0補足。

師：這樣就轉化成了怎樣的一個算式？（整數除以整數）大家能把剛才說的過程用豎式表示出來嗎？在草稿本上試一試。（學生練習、反饋，教師講評，再次強調“先看除數的小數位數，再進行轉化”的知識要點）

師（小結）：被除數和除數的小數位數相同，被除數小數位數少于除數，都可以轉化為整數除以整數；被除數小數位數比除數多的時候，可以轉化為小數除以整數。

相比于第一次實踐的思路，改進后的設計和實施有效避免了“計算依據”與“計算方法”混淆的現象，突出體現了以下兩個方面的教學意圖。

一、構筑起完整的教學體系，始終遵循從“計算依據”中導入“計算方法”

課始創設的一個簡單情境，就引出了三種不同類型的算式，通過“你會選擇哪一題計算”的問題，帶領學生回顧了“整數除以整數→小數除以整數→一個數除以小數”的知識學習過程。在教學兩個例題的過程中，堅持以對“算理”的深入理解為先，再順勢導入用豎式計算的方法。

在教學例5之后，引導學生依據板書自主探索“所學新知”與“已有舊知”之間的關聯，幫助學生構建較為完整的知識體系。這種以知識的內部聯系去促進學生理解的方式，對應了《浙江省中小學學科教學建議（小學數學）》中提到的“教師要善于運用‘聯系觀’去改變教學深度”的觀點。小學數學中計算教學內容“螺旋上升式”的編排方式，自始至終都隱含著“體系化”的屬性，在日常教學中，教師只要善于挖掘和利用，必將對學生理解算理和掌握算法起到非常重要的推動作用。

二、經歷知識形成過程，特別強調以“計算依據”駕馭“計算方法”

“怎樣算”“為什么這樣算”“還可以怎樣算”“怎樣算最好”這四個問題，清晰地闡述了計算教學中新知探索環節的主要步驟。只有切實地解決了前面兩個指向“計算依據”的問題，才能奠定習得“計算方法”的知識基礎。單就“除數是小數的除法”這一內容而言，似乎存在“算理”和“算法”之間的區別不是非常清晰的情況，畢竟用橫式解決的方法也可以看作是一種具體的算法。實際上，這正好順應了對“怎樣算最好”這個問題的解決，也就是進一步的算法優化——列豎式計算。

值得一提的是，在豎式計算的具體過程中，特別強調以除數的“小數位數”為轉化的“起點”，被除數的“小數位數”隨除數發生的變化而變化。這樣的教學設計，一方面合理地搭建了“計算依據”與“計算方法”之間的橋梁，另一方面，也充分體現了前者對后者的“駕馭”作用。