直觀呈現法下的乘法分配律教學

浙江東陽市白云中心小學（322100）

弗賴登塔爾認為：學習的最佳捷徑是實踐。通過二次創造獲取的知識、形成的技能要比被動灌輸接受，掌握得更牢固，提取運用時也更加及時順利。弗賴登塔爾曾經說：“如果有可能，將學生置身于具體生動的情境中，進行直觀地學習，學到什么是什么。不做任何強加解釋，也不進行任何引導歸納，更不形成公式法則。”弗氏的直觀教學法，令筆者茅塞頓開。

一、教材模式的不足

為了備好“乘法分配律”這一課，筆者參考了許多教案，發現一個普遍存在的做法，就是從猜想分配律公式到舉例驗證其合理性，通過完全歸納法概括出一般定律。蘇教版教材四年級下冊也是借助相關情境圖來闡述分配律規則的：

第一步，從買5件皮夾克和5條長褲的總價入手，運用兩種方法列出兩個算式，然后用等號連接建立等式；

第二步，通過觀察對比等式兩邊的算式形態，分析推導其中的邏輯關聯，初步提出公式；

第三步，按照原型仿寫算式，通過比較計算結果的大小，證實這種聯系的普遍性；

第四步，用代數式表達規律。

這一學習流程，要求學生理性思維能力具有一定水準，思考問題細致周全、邏輯嚴謹，注意力長時間集中。然而面對這一學習流程，學生往往心緒不寧，焦躁不安，缺乏耐心，較易松懈。更為重要的是，從猜想到求證的過程中，學生的思維習慣是將等號左右兩邊的算式隔離后再分析，只關注結果的一致引起的相等關系，從結果一致反推出算式的相同。這一過程中，學生對分配律的認識是呆板和狹隘的，學生無法動態推演分配變化的過程，未能深入領會其真正的內涵，思維活動“程序化”就像是走過場。如此一來，學生也就無法在腦海里將分配律的外在格式和內在精要貫通起來，造成的后果是麻木地套用公式，這進一步加大了學習乘法分配律的難度。

二、直觀式教學初探

1.復習引入

師（出示兩個長方形，長和寬分別為4、3厘米和5、2厘米）：請求出圖1中兩個長方形面積之和。

圖1

生1：可以把兩個長方形拼接起來，計算組合圖的總面積。

師：大家按面積公式列式4×3+5×2后，計算可分三步，前兩步先分別求出兩個長方形的面積，再相加求總面積。

從長方形面積公式入手，將代數題型轉化為直觀幾何題，在兩個長方形面積之和的具體直觀情境中，學生一步步經歷乘法分配律的生成過程。

2.探索規律

師：現在對圖形做一些變動，將第二個長方形的寬度變為3厘米。大家再列式求這兩個長方形的面積之和。

學生很快列出算式并算出結果：4×3+5×3=12+15=27(cm2)。

師：大家做得很對，太棒了！那么還有沒有不同的做法？現在數據變了，兩個長方形的寬度相同，組合圖的形狀也發生了變化，第二次組合圖與第一次組合圖有所區別。

（學生分小組合作探究）

師：如圖2，此時組合圖從整體上看就是一個大長方形，兩個長方形的寬度一樣，都為3厘米，所以沿寬拼貼，剛好讓長“共線”，于是新的長為4+5=9（cm），寬仍為3厘米，得出(5+4)× 3=27(cm2)。

圖2

師：回過頭來看圖1，能否使用新方法計算？

生2：不行！

師：仔細對比前后兩幅圖，知道其中的原因嗎？

生3：圖1中的兩個長方形沒有等長的邊，無法組合成新矩形，而圖2中兩個長方形的寬度相等，導致長可以在一條直線上，剛好組合成一個新長方形。

師：如果將圖1中的第二個長方形的長度稍作改變，使之解答可用新方法。該怎么改？

生4：將第二個長方形的長度由5厘米改為4厘米，這樣就能將兩個長方形的長合并起來，可以得到一個新的長方形（如圖3）。

圖3

列式：4 ×(3+2)=20(cm2)。

師：兩種方法所求的是同一個大長方形的面積，也就是兩個小長方形面積之和，于是得到4×3+5×3=(4+5)× 3，4 × 3+4 × 2=4 ×(3+2)。

師（指導學生認真觀察等號左右兩邊）：下述哪個算式可以用第二種方法計算？判斷后請作圖檢驗。

學生討論、畫圖檢驗后，整理算式為：

三、滲透數學本質

數學最本質的東西是抽象，抽象是創造的基礎。

乘法分配律比交換律和結合律更加復雜。按照教材的設計思路講授，學生就會將注意力分散于兩種代數式上，不會深入反思為什么二者相等，是不是所有的面積組合都可以運用新方法計算。學生學習伊始就依賴于新算法，甚至執迷于新算法，喪失了繼續深究與鑒別的動力。本課的設計改變了教材提出的由情境到猜想的模式，逐步出示兩種方法，簡單復習之后，馬上提出形式相近的變式，學生立刻警覺：運用第二種算法是有前提條件的，那就是兩個矩形必須有一條等長的公共邊。對這一前提條件的清醒認識，有利于凸顯分配律中左右兩個算式的本質聯系。

分配律的表述比較多，沒有統一范式，因此學生總結分配律時就有很大的發揮空間。但無論哪種表達式，都少不了對其進行語言描述。教材將乘法分配律歸納為字母表示形式“(a+b)×c=a×c+b×c”，從舉例驗證到字母歸納，自始至終都是在數字演算上做文章，學生很容易沉淪在抽象思維的泥潭里。本課設計，從改變長方形的長和寬的長度引出兩種面積算法，趁勢引發學生思考哪種情形才適合用新方法，并借助畫圖操作與合理聯想，賦抽象的“分配”予具體的幾何線條，使枯燥的學習變得生動有趣起來。

現在的數學課堂因為過度追求理性思維，大幅縮減直觀教學，軟件演示代替了手工操作，理性推理代替了感性體驗，學生思維負擔增加，學習樂趣直線下降，這不得不引起教師的警惕和深思。