以學材設計為抓手，引導學生走出認知誤區
——以“三角形的面積”教學為例

江蘇海門市貨隆小學（226144）

學生在日常生活中逐步形成的前概念與科學的概念往往大相逕庭，由此就產生了認知誤區。作為教師，要在學生的認知基礎上，選擇有效的學習材料，對學生進行糾正和引導。筆者通過研究發現，學習材料的選擇和設計是一個非常重要的環節。因此，教師應找到學生出現認知誤區的原因，并以學材設計為抓手引導學生走出認知誤區。下面以“三角形的面積”的教學為例進行探討。

一、典型學材的設計誤區及缺陷分析

典型的學材設計1：給學生提供3個三角形。

教師給學生提供3個三角形，讓學生結合原有的經驗進行操作，通過這個學材的使用，把學生的思維從“把一個三角形沿高剪開來拼”調正到“用兩個完全相同的三角形來拼”，學生的思維也能從只會轉化等腰三角形調正為能夠轉化任意三角形。但此學材設計存在的誤區也是很明顯的，當學生面對三角形無法轉化成功的情況時，教師讓學生從“三角形可以分為兩個完全一樣的三角形”這個原有認知調正到“兩個完全一樣的三角形，才能拼成平行四邊形”，過程太過生硬，學生無法調動原有的拼接經驗，不能獨立尋找到“倍拼法”。在這個過程中，教師的探究方式又比較單一，學生的探究主動性沒有被充分調動起來。

典型的學材設計2：給學生提供以方格圖為背景的直角、銳角、鈍角三角形圖形各一個（如圖1）。

圖1

大部分教師都是先讓學生嘗試求直角三角形的面積，然后得出直角三角形的面積等于兩條直角邊的積除以2。而在研究銳角三角形的面積時，則將銳角三角形看成是兩個直角三角形“”，再將較大的直角三角形分割、旋轉“”，形成平行四邊形。最后再引導學生完成鈍角三角形面積公式的推導。

這個學材的設計，使學生能夠在方格圖中用“中位線割補法”完成“倍拼”的構想，將三角形轉化成已學過的圖形，因此推理出三角形的面積計算公式。然而，這一學材設計由于是從直角三角形出發到銳角三角形再到鈍角三角形的嘗試探究，整個過程比較繁雜冗長，探究的背景也始終都是在方格圖中，導致學生在面對沒有任何數據背景的任意三角形，需要測量數據時，就束手無策。

典型的學材設計3：給學生提供以平行四邊形為背景的一個直角三角形ABE（如圖2）。

圖2

這個學材設計是借助平行四邊形和直角三角形之間的特殊關系，讓學生完成“加倍”的認知，從計算平行四邊形中直角三角形的面積出發去推導三角形的面積計算公式，從而逐步完成任意三角形的面積計算公式的推導。這樣使用學材設計的推導方式比較單一。

二、學材設計的調正策略及設計意圖分析

學材設計片段一：

先給學生出示直角三角形和方格圖。直接追問學生怎么算三角形的面積，需要什么數據條件。根據學生的反饋，再給學生提供一整張以方格圖為背景的A4紙，紙上印有3個三角形，讓學生有創作的空間。

[設計意圖]這樣設計學材，是基于兩個方面的考慮：其一，直接向學生提出研究的內容，大部分學生在看教材、做作業的過程中，發現了公式，并能夠運用公式來進行面積計算，學生由此發現這節課并不只是研究怎么算，而是重點研究為什么這樣算，這給本堂課注入了核心的思考力。其二，給學生提供方格圖，能夠讓學生對照具體數據，研究其中的數理，這讓學生面對底和高這些抽象的名稱時更容易說理和分析。

學材設計片段二：

提問：“三角形的面積公式中為什么要除以2？”學生展開討論，有的認為從三角形的中位線割開，通過旋轉拼成一個長方形，這個長方形的長與原來的三角形的底一樣，但它的寬是原來三角形的一半，因此高需要除以2。也有學生認為將三角形轉化成長方形之后，底邊只有原來的一半，所以底邊要除以2。在這個環節中，筆者向學生直觀呈現中位線割補的動態過程，讓學生直觀看到怎么樣切割才能夠拼成平行四邊形或是長方形。（如圖3）

圖3

學生由此認識到，將三角形轉化成平行四邊形或者長方形，需要沿著三角形高的中點到斜邊的中點或從底的中點到斜邊的中點進行分割，將高割掉一半或者是將底邊割掉一半來拼成學過的平行四邊形或者長方形。

[設計意圖]這一學材是根據學生的經驗來進行設計的，此設計以方格圖為背景，使學生能夠利用割補轉化的方法將單個直角三角形直接分割轉化為已學過的平行四邊形或是長方形，促使學生輕松理解三角形面積公式的本質內涵。

學材設計片段三：

給學生直觀呈現一個平行四邊形，已知平行四邊形的面積是6平方厘米，要求學生觀察思考：能否從平行四邊形中看到三角形？學生認為，平行四邊形的對角線能將其等分成兩個三角形，三角形的面積是平行四邊形面積的一半。緊接著，又給學生一個“單身”的三角形，要求學生找到“單身”三角形的“伙伴”——平行四邊形（如圖4）。

圖4

[設計意圖]設計這樣的學材，有兩個方面的目的，一是強化學生的直觀感知。先讓學生將一個平行四邊形分割成兩個三角形，然后再從單個的三角形去想象拼成的平行四邊形，這樣配合動態直觀的感知過程，能夠讓學生進一步內化數學知識。二是通過故事化的語言，讓學生牢牢記住三角形的“好伙伴”是平行四邊形。在后續的練習中，學生加深了對“÷2”的印象，感受到“底乘高”算的是平行四邊形的面積，要“÷2”才是三角形的面積。

綜上可知，教師要以學材設計為抓手，調正原有認知和最終認知之間的差異。只有這樣，才能夠讓學生經歷從不完整的原有認知到構建完整認知的過程。這樣的過程正是學生數學能力發展的過程，也是提升學生數學思維能力和自主探究能力的根本所在。