基于LAMBDA算法搜索空間的研究

鄒龍寬，李英祥

(1.成都信息工程大學(xué) 通信工程學(xué)院， 成都 610225)

LAMBDA算法（最小二乘模糊度去相關(guān)算法）被廣泛應(yīng)用于GPS載波相位差分的整周模糊度解算過(guò)程中。載波相位差分解算大致分為3個(gè)過(guò)程[1]：①使用普通最小二乘估計(jì)法求出整周模糊度的浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣；②使用整數(shù)最小二乘估計(jì)法求整周模糊度固定解；③求解基線固定解。由于在原始浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣的基礎(chǔ)上，用整數(shù)最小二乘估計(jì)法得出整數(shù)解時(shí)，整數(shù)解相關(guān)性大，其搜索空間狹長(zhǎng)，搜索效率比較化[2]，因此在第二步的過(guò)程中，在求出固定解之前，使用Z變換對(duì)其進(jìn)行去相關(guān)，去相關(guān)后的模糊度搜索空間形狀更規(guī)范[3]，在超維情況下，搜索效率也將大大提高[4]。

本文簡(jiǎn)要介紹了LAMBDA算法的基本原理，包括搜索過(guò)程及常數(shù)X2的選擇；在文章最后，對(duì)搜索空間進(jìn)行了可視化仿真實(shí)驗(yàn)。在此實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)二維情況下Z變換前后搜索空間及相關(guān)整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)表明，Z變換后的整周搜索空間更規(guī)范，相關(guān)整數(shù)點(diǎn)更少。綜上所述，本文針對(duì)搜索空間的可視化仿真實(shí)驗(yàn)，使得Z變換的效果更直觀。

1 LAMBDA算法簡(jiǎn)介

在GPS載波相位測(cè)量中，雙差觀測(cè)方程的線性化形式可表示為[4]：

式中，若觀測(cè)的衛(wèi)星數(shù)為N，則y表示載波相位的雙差觀測(cè)值矢量；a為N-1維列向量，表示兩衛(wèi)星間的雙差整周模糊度，為N-1維列向量；b表示與基站構(gòu)成的基線矢量矩陣，其維度為(N-1)×3；A是雙差整周模糊度矩陣的系數(shù)，其值為-1；B為原觀測(cè)方程在線性化的過(guò)程中衍生的微分項(xiàng)矩陣，其維度為(N-1)×3；e表示觀測(cè)過(guò)程中的噪聲。運(yùn)用普通最小二乘法對(duì)(1)式求解可得出a、b的浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣如式（2）所示：

得出浮點(diǎn)解及協(xié)方差矩陣后，進(jìn)行如式(3)的整周模糊度求解：

式中，屬于N-1維整數(shù)空間，其搜索空間是一個(gè)以a為中心的N-1維超橢球體，而搜索效率與橢球體的形狀和尺寸（X）有很大的聯(lián)系。而由浮點(diǎn)解及其構(gòu)成的協(xié)方差矩陣相關(guān)性大，其構(gòu)成的搜索空間形狀狹長(zhǎng)，搜索效率低，基于此，在對(duì)它進(jìn)行整周模糊度解算前，對(duì)浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣進(jìn)行Z變化，以使搜索空間較為規(guī)范，Z變換的轉(zhuǎn)換公式如式（4）所示[1]：

式中，變換矩陣Z滿足以下4個(gè)條件[4]：

1）模糊度變換矩陣中的元素為整數(shù)；

2）變換前后的模糊度體積保持不變（網(wǎng)格點(diǎn)）；

3）變換后的模糊度方程之間的乘積減少；

4）變化后的協(xié)方差矩陣相關(guān)性減少。

基于以上4個(gè)條件，通過(guò)一系列的高斯變換和置換過(guò)程構(gòu)建Z變換矩陣后，式(3)的整數(shù)搜索變換經(jīng)過(guò)式（4）變換得到式（5）所示的搜索：

將模糊度協(xié)方差陣分解：

式中，L為對(duì)角線元素為1的下三角矩陣；D為對(duì)角矩陣，它們可從的Cholesky分解因子得出。若Z等于L-1，則下式成立：

在形式上，雖然式(5)與式(3)相似，但從（7）式可以看出，經(jīng)過(guò)Z變換后的協(xié)方差矩陣Qz^近似等同于對(duì)角矩陣，其在空間上的形狀更規(guī)范。

2 搜索空間及其過(guò)程的研究

2.1 LAMBDA算法搜索空間及搜索過(guò)程

由式(7)可將(5)展開得到以下式子：

可看出，式(8)構(gòu)成的搜索空間是一個(gè)n維的超橢球空間，它以N-1維向量z為中心，常數(shù)X2決定橢球的大小。LAMBDA算法將在該橢球體內(nèi)搜索所有可能構(gòu)成的整數(shù)解。

顯然，符合式(8)條件的zi也符合式(9)：

由式(9)可以看出，zi的左右兩邊構(gòu)成第i維的搜索空間，在此搜索空間內(nèi)按整數(shù)從大到小開始搜索，每次只驗(yàn)證一個(gè)整數(shù)。如果當(dāng)次搜索，第i維空間的整數(shù)值確定，則可按照同樣方法搜索第i-1維中的整數(shù)；否則搜索第i+1維中的整數(shù)，而后再在第i維空間換一個(gè)整數(shù)繼續(xù)搜索[5]。經(jīng)歷上述的搜索過(guò)程后，如果在第1維空間中搜索到了相關(guān)整數(shù)，則可確定一個(gè)整周模糊度的矢量解。如果為了提高搜索精度，需要p個(gè)整周模糊度的矢量解，按照上述過(guò)程迭代搜索p次即可。

2.2 常數(shù)X2的選擇

χ2決定了超橢球空間的大小，它是一個(gè)常數(shù)，決定了搜索效率的大小。合理選擇χ2的值可以避免搜索空間過(guò)大導(dǎo)致的搜索效率低以及搜索空間過(guò)小而造成的搜索失真等情況的發(fā)生[6]。在LAMBDA算法的搜索過(guò)程中，χ2的選取與整周模糊度度解的候選個(gè)數(shù)有關(guān)，通常可以通過(guò)計(jì)算超橢球空間的容積的方法來(lái)選取χ2， 在一個(gè)超橢球空間中，其容積[6]如下所示：

在式(10)中，Vn表示單位超球體的容積，可以通過(guò)迭代的方式求得。而表示方差陣的行列式。在搜索過(guò)程中，候選整周模糊度與容積之間的關(guān)系如下式[5]：

式(11)中，[*]表示不超過(guò)*的最大整數(shù)。根據(jù)(9)、(10)兩式即可確定X2。此外，根據(jù)候選數(shù)與容積之間的關(guān)系，可確定橢球搜索環(huán)的大小，從而提高整周模糊度的解算效率。

3 LAMBDA搜索空間的可視化仿真實(shí)驗(yàn)

在本文前面幾節(jié)的內(nèi)容中提到，Z變換前的搜索空間狹長(zhǎng)，而Z變換后的搜索空間比較規(guī)范。由于三維（及以上）情況下，數(shù)據(jù)量大，且仿真效果不明顯，因此下面就在二維情況下，通過(guò)Matlab構(gòu)建二維圖像說(shuō)明Z變換的實(shí)際意義。

3.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

由于Matlab提供了很多的繪圖工具包，其仿真效果比較好，因此整個(gè)可視化仿真實(shí)驗(yàn)在Matlab平臺(tái)下完成。

RTKLIB是東京海洋大學(xué)的高須知二教授開發(fā)的一款精密定位開源軟件包[7,8]。由于其定位精度較高、實(shí)用性好等特點(diǎn)，在本次實(shí)驗(yàn)中，采用該該軟件包提供的Z變換算法程序。但軟件包并沒(méi)有獨(dú)立的Z變換程序文件，因此在本次仿真實(shí)驗(yàn)中筆者從RTKLIB的源文件提取Z變換程序，重新定義頭文件，并在Visual studio 2013下將其編譯成.dll 的動(dòng)態(tài)庫(kù)文件。將上述的頭文件及.dll文件導(dǎo)入項(xiàng)目文件目錄，并在相關(guān)的.m文件中加載。

3.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及分析

在Matlab中，隨機(jī)構(gòu)造一個(gè)浮點(diǎn)解向量及其協(xié)方差矩陣，將得到的浮點(diǎn)解和協(xié)方差矩陣代入式(3)，并畫出如圖1所示的整周模糊度的搜索空間示意圖。

圖1 Z變換前搜索空間示意

橢圓區(qū)域是由x、y軸構(gòu)成的Z變換之前的整周解的二維搜索空間。從圖中可以看出，這個(gè)搜索空間形狀不規(guī)范，長(zhǎng)半軸狹長(zhǎng)、短半軸相對(duì)較短，橢圓端點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸不平行。而對(duì)于橢圓區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，如圖1所示的實(shí)心點(diǎn)，在二維空間的分布不均勻，即單位空間內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的分布不均勻。為了提高整周模糊度解的精度，避免周跳[9]等誤差現(xiàn)象的產(chǎn)生，需要把橢圓內(nèi)候選整數(shù)點(diǎn)附近的整數(shù)點(diǎn)考慮到搜索范圍內(nèi)，如圖中的‘×’點(diǎn)所示。由于受到搜索空間相關(guān)性較大、搜索區(qū)域形狀等因素影響，這些相關(guān)點(diǎn)較多，當(dāng)在超維情況下，這些點(diǎn)在很大程度上將影響整周模糊度的搜索解算效率[6]。

調(diào)用上述動(dòng)態(tài)庫(kù)中的相關(guān)函數(shù)解出對(duì)應(yīng)的Z變換矩陣及條件方差矩陣D，將Z代入(5)式得出z，將得到的z和D代入(7)式，并畫出如圖2所示的整周模糊度解的搜索空間。

圖2 Z變換后的搜索空間示意

如圖2所示，橢圓區(qū)域是由x和y軸構(gòu)成的Z變換之后的整周解的二維搜索空間。從圖2與圖1的對(duì)比結(jié)果來(lái)看，圖2的整周搜索區(qū)域更規(guī)范，即橢圓頂點(diǎn)上的切線與坐標(biāo)軸平行，單位空間內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)如圖2中橢圓內(nèi)實(shí)心點(diǎn)所示，在x、y軸二維空間內(nèi)分布更均勻。而為了避免周跳等現(xiàn)象額外納入搜索范圍的點(diǎn)，如圖2中的‘×’點(diǎn)，對(duì)比去相關(guān)前的橢圓外整數(shù)點(diǎn)減少了很多，在超維情況下，非相關(guān)整數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地減少就更多了。

綜上，在對(duì)浮點(diǎn)解進(jìn)行整周模糊度搜索之前，利用Z變化對(duì)浮點(diǎn)解的協(xié)方差矩陣進(jìn)行去相關(guān)操作，雖然程序上及步驟上多了一些操作，但是在解算搜索效率上，由于去相關(guān)操作規(guī)范了整周模糊度解的搜索空間，減少了相關(guān)整數(shù)點(diǎn)，從而減少了整體整數(shù)解算迭代次數(shù)，提高了解算效率，降低了搜索時(shí)間。

4 結(jié) 語(yǔ)

LAMBDA算法的提出對(duì)于GPS雙差整周模糊度的解算有很大的意義。而LAMBDA算法的核心過(guò)程是：利用Z變換對(duì)浮點(diǎn)解去相關(guān)，規(guī)范超橢球體形狀，減少與橢球體內(nèi)整數(shù)點(diǎn)相關(guān)的整數(shù)點(diǎn)以提高整周模糊的搜索效率。

從MATLAB算法的可視化仿真圖形可以看出，Z變換前后的搜索空間在搜索形狀上相差較大。當(dāng)上升到超維情況時(shí)，Z變換前的相關(guān)整數(shù)點(diǎn)將更多，此時(shí)對(duì)原始浮點(diǎn)解進(jìn)行Z變換將大大減少相關(guān)整數(shù)點(diǎn)，減少迭代次數(shù)，提高搜索效率。