平面化的引力波及其振幅的估算

寧 專 宋振寧 邢志忠

(中國科學院大學物理科學學院，北京 100049)

愛因斯坦創(chuàng)建于1916年的廣義相對論預言了引力波的存在[1]，其本質(zhì)在于時空曲率由于大質(zhì)量物體的波動而產(chǎn)生周期性的變化，同時造成能量輻射。直到2016年2月11日，美國的LIGO合作組才第一次宣布直接探測到了令人信服的引力波信號，后者是由雙黑洞系統(tǒng)從漸進旋近到融為一體的過程中產(chǎn)生的[2]。這一具有里程碑意義的發(fā)現(xiàn)正式開啟了引力波天文學的大門，隨后引力波也成為科學普及工作的重點之一。但時至今日，科普文獻中鮮有針對引力波振幅的淺顯描述。本文旨在避開利用廣義相對論計算引力波源處的振幅的復雜性，直接考慮引力波在空間傳播過程中造成的兩物體之間距離的周期性增減，從而定義相應的振幅，并利用大學本科一年級的知識估算引力波振幅的大小。

圖1 在二維平面上形象化的引力波

引力波在三維空間中自由傳播時，自身強度不會發(fā)生變化，而波形可以形象化地在二維平面上展示出來，如圖1所示。從科普的角度出發(fā)，我們提出一個簡單的玩具模型：假設(shè)引力波在二維空間中傳播，其波形可以用諸如正弦曲線等平面曲線來描述。在這種情況下，給定“空間”中兩個物體A和B，設(shè)它們之間的距離在不受引力波影響時為L，而在引力波經(jīng)過時距離的最大改變?yōu)棣(取正號)，則引力波的振幅即可定義為h=ΔL/L。

以LIGO實驗為例，其觀測引力波的基本思路是直接測量引力波經(jīng)過探測器時所造成的臂長的微小變化。取LIGO探測器的原始臂長為L，實驗過程中測得的最大臂長記為L+ΔL，則引力波的振幅即為前面所定義的h=ΔL/L。由于LIGO探測器的距離分辨率精度達到了質(zhì)子直徑的千分之一，即10-18m的量級，而其臂長為4km，因此可以探測振幅處于10-22～10-21水平的引力波信號。

當基于上述玩具模型在二維空間中考察A和B兩個物體之間因引力波經(jīng)過所造成的距離變化時，至少存在兩種形象化的理解方式：一種理解是把引力波的效應想象成波浪，A和B兩者之間的水平距離為L，但從A到B沿著測地線所走的路程增大，其長度為L+ΔL；另一種理解是將引力波效應想象成繩子，A和B兩者之間的繩長L不變，但當它變得彎曲之后，兩端的水平距離變小，其長度為L-ΔL。本文擬以第一種方式說明引力波振幅的計算。

首先以正弦曲線函數(shù)y=sinx為例做初步的振幅計算演示。取一周期的正弦曲線波形如圖2(上)所示，當引力波未經(jīng)過二維空間時，物體A與B之間的距離為L=2π。引力波造成的兩者之間的測地線長度即為正弦曲線的長度為

圖2 玩具模型中的正弦曲線(a)與拋物線(b)波形

其中積分可表達成如下形式：

從而該平面正弦引力波的振幅為

其實引力波的振幅極其微小，其數(shù)量級大致在10-36～10-20之間。因此當取正弦曲線作為二維引力波的波形時，前者的振幅必須比1小很多。

考慮一般的正弦曲線函數(shù)y=asinbx，用同樣的方法得到L=2π/b，以及

從而得到振幅

由此可以看出引力波的振幅只與正弦曲線的振幅及其角頻率的乘積有關(guān),這意味著由曲線y=a1sinb1x和y=a2sinb2x描述的引力波在a1b1=a2b2時其實具有相同的振幅。在ab?1的情況下，可以把第二類完全橢圓積分作級數(shù)展開到次領(lǐng)頭階，于是上面的振幅表達式簡化為

因而當h≈10-36～10-20時，即得到ab≈10-18～10-10的限制。可見引力波造成的時空漣漪，是極其微弱的。

上面的例子由于涉及第二類橢圓積分而無法用常見的基本函數(shù)來表達它的精確解析解。下面再舉一個解析上嚴格可解的例子，來說明二維引力波的振幅計算。不妨采用二次函數(shù)y=-4ax(x-π)/π2的圖像在[0,π]區(qū)間的x軸上方部分作為波形的1/2周期代替正弦曲線的1/2周期，如圖2(b)所示，則該拋物線在[0,π]區(qū)間內(nèi)的長度就是拋物線y=-4ax2/π2在[-π/2,+π/2]區(qū)間內(nèi)的長度，即

其中b≡4a/π。于是該引力波振幅的嚴格表達式如下：

當a取值非常小時，上式的解析近似結(jié)果為h≈b2/4。因此h≈10-36～10-20意味著b≈10-18～10-10，與前面正弦曲線的例子類似。

最后需要說明的是，雖然引力波在空間的傳播依賴于時間，但上述估算引力波振幅的方法只考慮了一周期內(nèi)波形的變化，因此與時間無關(guān)。真實的引力波具有極其復雜的波形，自然不是簡單的基本函數(shù)所能描述的。盡管如此，我們相信簡化了的玩具模型仍然具有一定的科普意義。