圓孔夫瑯禾費衍射圖樣的三維特性分析

于建強 謝 亮 鐵小勻 安艷偉 張進治

(北方工業大學理學院，北京 100144)

光的衍射是基本物理現象之一，深入研究衍射圖樣的光強分布對光學成像和光學設計等有著重要的意義。光學儀器的光瞳大都是圓孔形狀的，光學成像系統大都是平行光入射的，因此研究圓孔夫瑯禾費衍射對光學儀器的分析有重要的作用[1]。衍射圖樣一般使用菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式推導獲得，大學物理教材中一般僅使用貝塞爾函數描述幾何焦平面上的二維衍射圖樣，而對于離焦點的光強分布由于需要更復雜的特殊函數，一般不予介紹，限制了對衍射圖樣的深入理解[2]。

本文基于菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式，推導了圓孔夫瑯禾費衍射圖樣的一般表達式，并使用Matlab軟件的integral2二重積分函數進行了數值積分，獲得了衍射圖樣的三維光強分布，給出并分析了衍射焦斑的橫向和軸向光強分布圖，加深了對圓孔夫瑯禾費衍射的理解。

1 理論推導

一束單色平面光經圓孔衍射，通過理想透鏡后形成一個會聚的球面波，根據幾何光學理論此球面波應匯聚在幾何焦點O，但因光的衍射，焦點附近的P點亦有光波到達。以O點為坐標原點，光軸方向為z軸，x軸、y軸在與z軸垂直的平面內，建立如圖1所示的右手直角坐標系。

圖1 圓孔夫瑯禾費衍射示意圖

真空中波長為λ的入射光，在波陣面上的復振幅為E0(Q)，P點與波陣面上某點Q的距離為r，根據菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式和基爾霍夫邊界條件，P點的總振動可由Q點dΣ面元的振動遍歷整個開孔區域Σ0積分獲得[3,4]：

(1)

其中,k=2π/λ為波數;θ0和θ為波振面的法線與入射光方向和場點P方向的夾角，在遠場傍軸條件下θ0≈0,θ≈0，透鏡半徑a?λ，透鏡焦距f?a，r≈f，且E0(Q)與位置基本無關，即E0(Q)=E0，將上述近似代入式(1)可得：

(2)

(3)

積分面元為dΣ=ρ′dρ′dφ′，將式(3)代入式(2)，并將與積分變量無關項移至積分號前，則焦點附近的三維振幅分布為

(4)

數值計算式(4)即可得到焦點附近的振幅分布，根據光強定義式可得光強的三維空間分布為

(5)

其中,c為真空中光速;n為折射率;ε0為真空中介電常數

2 衍射圖樣的三維光強分布

使用Matlab軟件的二重積分函數integral2數值計算了式(4)、式(5)，數值計算參數如下，衍射圓孔半徑a=2.8mm，透鏡焦距f=8.4mm，光速c=299792458m/s，真空介電常數ε0=8.85×10-12F/m，入射光真空波長λ=500nm，入射光功率P0=1mW。

2.1 幾何焦平面上的光強分布

幾何焦平面上，z=0，式(4)化簡為

(6)

與教材中給出的結果一致[1]，圓孔夫瑯禾費衍射圖樣在焦平面上的分布具有圓對稱性，如圖2所示，其中圖2(a)為橫向分布偽彩圖；圖2(b)徑向強度分布圖，可以看出衍射圖樣在幾何焦點處為一亮斑，稱為艾里斑，周圍是以幾何焦點為對稱中心，明暗相間的同心圓環，亮環的強度隨著半徑的增大而急劇下降。為了更加直觀地觀察衍射圖樣的分布特征，對圖2(a)和圖2(b)中的光強取以10為底的對數作圖，分別如圖2(c)和圖2(d)所示，可以看出隨著徑向距離的增大，相鄰暗環的間隔趨于相等。

圖2 幾何焦平面上的光強分布圖

2.2 軸向光強分布

軸向光強分布如圖3所示，其中圖3(a)、(b)為光強軸向偽彩圖和軸向強度分布圖，可以看出艾里斑呈現管狀結構，且軸向尺寸大于橫向尺寸。為了更加直觀地觀察衍射圖樣的周期性，對圖3(a)、(b)中的光強取以10為底的對數，如圖3(c)、(d)所示，其中圖3(c)中的虛線為幾何光束邊界。從圖中可以看出衍射圖樣在焦平面前后是對稱的。

表2給出了光軸上光強分布的前7個極值，可以看出光軸上的光強分布也具有周期性，并且暗點的間隔相等。

表1 焦平面上徑向光強分布的前7個極值

圖3 軸向光強分布圖

表2 光軸上光強分布的前7個極值

2.3 離焦圖樣

圖4展示了衍射圖樣的離焦性質，其中圖4(a)～(h)依次為z=0, 18λ, 25.75λ, 36λ, 44.26λ, 54λ, 62.48λ, 72λ處的光強橫向分布圖，圖中的光強皆做了以10為底的對數處理。可以看出隨著z的增加，光的能量徑向向外彌散。

圖4 離焦的橫向光強分布

3 結語

本文基于菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式，推導了圓孔夫瑯禾費衍射的積分表達式，使用Matlab軟件數值計算了艾里斑的三維光強分布，分析了圓孔夫瑯禾費衍射圖像的三維光強衍射圖樣，加深了對圓孔夫瑯禾費衍射的理解。