淺談導數在實際生活中的應用

徐 凱(南京市第九中學 江蘇 南京 210000)

1 導數的概念及幾何意義

1．1導數的概念。導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上出現一個增量Δx的時候，函數輸出值的增量Δy和自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在的話，那么a表示的就是在x0處的導數，可以將其記作f＇(x0)或者是df(x0)/dx［1］。

1．2導數的幾何意義。導數屬于函數中的一種局部性質。一個函數在某一個點上的導數描述的含義是該函數在這個點附近的變化率。假如函數的自變量與函數的取值均是實數，那么函數在某一點的導數所代表的含義就是該函數所代表的曲線在該點位置上的切線斜率［2］。

2 運用導數求解優化問題的可行性

導數在實際生活中能夠得到很大的應用，導數應用到實際生活中主要是為了解決下面的四個問題，分別是:第一，和幾何問題相關的一些最值問題;第二，和物理學相關的一些最值問題;第三，和利潤與成本相關的一些最值問題;第四，和效率相關的最值問題。

運用導數求解優化問題的方法:首先需要仔細地分析各個變量之間存在的相關關系，然后在變量間建立起相關關系，并且進一步確定函數的定義域，然后再創造在閉區間求函數數值的情境，也就是說在求解優化問題的過程中，需要解決的重點問題就是需要建立起與之相對應的函數關系，在此基礎上再去研究函數的性質，從而提出最為合理的解決方案，這樣一來問題也就迎刃而解了。從這里也可以看出，導數在解決實際問題的過程中發揮了極大的作用。

導數是在生產生活過程中伴隨著人們的生活需求而被研究出來的，導數的出現是為了滿足人們生產生活的需要。而導數的出現也在很大程度上推動了社會生活以及生產的進步。運用導數來求解優化問題，能夠幫助人們解決在生活中遇到的一些實際問題，為人們的生產生活也帶來了極大的便利。

3 導數在實際生活當中的應用舉例

導數知識是進一步學習高等數學的重要基礎，導數在自然科學領域、工程技術領域和日常生活等多個領域內都得到了十分廣泛的應用。導數實際上是從生產技術領域和自然科學領域的需要中逐漸被研究出來的，與此同時，導數的出現又在很大程度上推動了生產技術領域與自然科學領域的快速發展，導數不單單在天文領域、物理領域以及工程領域等多個領域內有著非常廣泛的應用，并且在實際生活和經濟領域內也發揮了十分關鍵的作用。下面舉一個實際的應用案例。

例如:煙囪向附近的地區散落的煙塵會嚴重地導致出現環境污染，目前已知落在地面某處的煙塵濃度和該處到煙囪的距離的平方之間呈現出反比關系，而且和該煙囪噴出的煙塵量之間呈現出正比關系。目前已經有A、B兩座煙囪，兩座煙囪之間的距離是20km，其中B座煙囪噴出的煙塵量是A煙囪噴出煙塵數量的8倍，試求出兩座煙囪連線上的點C，使這個點的煙塵濃度最低。

使用導數來求解C點位置的具體分析步驟:根據題意可以得知需要確定某點的煙塵濃度最低，煙塵濃度主要的來源就是A、B這兩座煙囪，而且和煙囪之間的距離存在著十分密切的關系，所以說可以首先考慮設出與某個煙囪之間的距離，通過這種方式來表示出相應的煙塵濃度，然后在此基礎上確定其最小值就可以了。

具體的解題步驟:我們可以設A煙囪噴出的煙塵量是1，B煙囪噴出的煙塵量是8，那么我們可以得知AC=x(其中0＜x＜20)，因此BC=20－x，根據題意能夠得知在點C位置的煙塵濃度是y=k×2+k*8/(20－x)2(其中k代表的是比例系數，并且k＞0)，

y"=2k(3x－20)(3x2+400)x2(20－x)2

令y"=0可以得到(3x－20)(3x2+400)=0

又因為0＜x＜20，所以x=20/3

因為當 x∈(0，20/3)的時候，y"＜0;當 x∈(20/3，20)的時候，y"＞0，所以當x=20/3的時候，y取得最小值，所以當C位于距點A為20/3km的時候，該點的煙塵濃度達到了最低數值。

由此可見，導數在解決生活實際問題的過程中發揮著十分重要的作用，導數的出現為我們解決一些最優問題提供了極大的方便，為生產實踐提供了很多的便利，與日常生產與生活之間存在著十分密切的關系。

4 總結

導數是微積分中非常重要同時也是十分基礎的一個概念。物理學領域、幾何學領域以及工程科學等領域的一些重要概念也可以通過導數來進行表示，可以說，導數在推動學術研究以及實際應用中都作出了很大的貢獻［3］。導數既可以表示運動的物體在某一點上的瞬時速度，也可以表示某一條曲線的斜率。通過研究可以發現，導數在解決具體的、實際的問題方面具有很大的幫助。導數的世界依然存在著許多未解之謎，需要我們不斷地去探索、去實踐、去挖掘。