基于新型創(chuàng)意平板折疊桌的研究

陳毓瑾， 蒯立寶， 占子龍， 鐘培華

（1.上海交通大學(xué) 農(nóng)業(yè)與生物學(xué)院,上海 200240；2.江西農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，南昌 330045）

基于新型創(chuàng)意平板折疊桌的研究

陳毓瑾1， 蒯立寶2， 占子龍2， 鐘培華2

（1.上海交通大學(xué) 農(nóng)業(yè)與生物學(xué)院,上海 200240；2.江西農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，南昌 330045）

研究一種可折疊桌子的加工制作，依據(jù)每組桌腿與一根鋼筋相連接，在桌子由長方形平板逐漸折疊成桌子的動(dòng)態(tài)過程中，根據(jù)客戶設(shè)定的不同參數(shù)要求建立數(shù)學(xué)模型，利用解析幾何知識(shí)和多目標(biāo)進(jìn)化算法得到多目標(biāo)優(yōu)化模型的非劣解關(guān)系式等方法，得到相對(duì)較優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的集合，確定其最優(yōu)加工參數(shù)，如桌腿木條開槽的位置、槽長度等，完成平板桌的個(gè)性化設(shè)計(jì)目標(biāo)。

解析幾何；非線性多目標(biāo)優(yōu)化；多目標(biāo)進(jìn)化算法；MATLAB7.0

0 引 言

桌子是現(xiàn)代生活中的常用家具，在帶給人們居家生活便利的同時(shí)也存在著移動(dòng)不靈活、占地空間大等弊端。現(xiàn)有一種新型可折疊的平板桌（如圖1），桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。折疊桌外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀、使用方便、穩(wěn)定性較好且空間利用率高。

1 問題提出

研究特定條件下，即在給出長方形平板尺寸為1200 mm×500 mm×30 mm，每根木條寬25 mm，鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為530 mm時(shí)，建模分析得出折疊桌此時(shí)的優(yōu)化加工參數(shù)(如槽長等)。

1.1 建模準(zhǔn)備

圖1 平板折疊桌

運(yùn)用解析幾何知識(shí)，以桌面圓心投影到地面上的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。結(jié)合平面幾何圓的知識(shí)利用題目中提供的平板尺寸、每根木條寬度等求出圓形桌面的直徑、木條條數(shù)以及最外面桌腿木條的長度等數(shù)據(jù)，并依據(jù)求出的數(shù)據(jù)計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，利用幾何關(guān)系和MATLAB編程建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，并求解出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)即桌腿木條開槽長度和桌腳邊緣性的數(shù)學(xué)描述。

1.2 模型的建立和求解

1.2.1 建立解析幾何模型

以桌面圓心投影到水平地面的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在水平面上以垂直于平板長邊所在直線為x軸，以垂直于平板寬邊所在直線為y軸，具體空間坐標(biāo)系如圖2所示。

圖2 空間坐標(biāo)系

圖3 圓形桌面俯視圖

由平板的尺寸1200 mm×500 mm×30 mm及要求的每根木條的寬度為25 mm，可知展開后每側(cè)有20根木條。連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置且同一側(cè)的木條是對(duì)稱的，因此我們選擇其中的同一側(cè)的10條木條作為研究對(duì)象。折疊后桌子的高度為530 mm，而桌面厚度為30 mm，所以地面到桌面下面的距離為500 mm。由于桌面是圓形對(duì)稱，每側(cè)中間兩根木條之間的中點(diǎn)與圓心的連線與木條垂直，而由于桌面為圓形且平板寬度為500 mm，即圓形桌面的直徑為500 mm，其半徑為250 mm。圖3為圓形桌面的俯視圖。

根據(jù)圓形桌面的內(nèi)切圓和外接圓的幾何關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)，由勾股定理得桌面長邊邊緣矩形木條的長度的一半等于每條木條的寬度（即25 mm）。而木板長邊的一半為600 mm，所以最邊緣的木條長度為（600-25）mm，即575 mm。

1.2.2 模型的求解

圖4

如圖4，對(duì)于第1根木條而言，a1b1=575/2=287.5 mm，連接ai、bi、ci三點(diǎn)得到三角形aibici，ai（i=1,2,3…n）為簡化第i根木條為線段后的上端點(diǎn)；bi（i=1,2,3…n）為第i根木條簡化成線段后與鋼筋虛線的交點(diǎn)；ci（i=1,2,3…n）經(jīng)ai端點(diǎn)做面y=-2.5垂線與之的交點(diǎn)。設(shè)第一根木條于地面夾角為θ，由空間直線位置關(guān)系bici平行且等于第一根桌腿木條得角∠aicibi=θ，aibi=575/2 mm。所以在三角形aibici中根據(jù)余弦定理得到：

由MATLAB計(jì)算得出各木條對(duì)應(yīng)的槽長，見表1。此時(shí)桌面高度為50.00 cm及最外緣木條與水平面的夾角θ=1.0544（弧度制），因此得到了桌子的各參數(shù)，見圖5，并繪制第i根木條槽長變化曲線圖(如圖6)，X軸表示角θ，Y軸表示槽長。

表1 第n根木條對(duì)應(yīng)的槽長

圖5 桌子的設(shè)計(jì)參數(shù)圖

圖6 槽長變化曲線圖

因此得坐標(biāo)，

再通過對(duì)求出的數(shù)據(jù)處理以及運(yùn)用MATLAB模擬得到不同角度桌腳邊緣線構(gòu)成的曲面，如圖7和圖8（選取了兩個(gè)不同角度得到的圖）。

2 問題的深入研究

圖7 桌腳邊緣線構(gòu)成曲面

圖8 桌腳邊緣線構(gòu)成曲面

在前文問題解決的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，由于折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意客戶給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)如平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。經(jīng)過實(shí)際檢驗(yàn)，得出桌高700 mm、桌面直徑800 mm的折疊桌適用范圍較廣，市場(chǎng)需求量大，故根據(jù)要求確定目標(biāo)函數(shù)，通過多目標(biāo)進(jìn)化算法得到多目標(biāo)優(yōu)化模型的非劣解關(guān)系式，確定其最優(yōu)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

2.1 模型準(zhǔn)備

對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。先對(duì)桌子受力分析確定約束變量θ（桌腿最外側(cè)木條與地面的夾角）的范圍，從而保證桌子的穩(wěn)固性。而后建立非線性多目標(biāo)優(yōu)化模型，設(shè)定自變量θ，S（第一條鋼筋位置沿木條到桌面的距離），n（組成桌面的木條數(shù)），得到因變量與自變量的關(guān)系，設(shè)立目標(biāo)函數(shù)D（總槽長），α（最中間木條與桌面夾角），n，運(yùn)用多目標(biāo)進(jìn)化算法得到多目標(biāo)優(yōu)化模型的非劣解關(guān)系式。當(dāng)桌高為700 mm、桌面直徑為800 mm的情形下，運(yùn)用MATLAB編制程序模擬1000次數(shù)據(jù)得到相對(duì)較優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的集合[1-2]，具體數(shù)據(jù)見表2。

2.2 模型建立和求解

2.2.1 建立非線性多目標(biāo)優(yōu)化模型

圖9 受力分析示意圖

首先對(duì)桌子進(jìn)行受力分析：對(duì)于中間木條存在作用力F1與外側(cè)木條的作用力F2，如圖9，使得對(duì)鋼筋作用合力在水平面方向上平衡，即桌子側(cè)截面最外兩側(cè)木條不張開，這樣保持了桌子的穩(wěn)固性。當(dāng)木條最外側(cè)AB與地面的夾角越來越小時(shí)，中間木條CD與水平地面的夾角越來越大，當(dāng)中間木條CD與水平地面成直角時(shí)，桌子受力不平衡影響其穩(wěn)固性。此時(shí)為桌子平衡的臨界點(diǎn)，當(dāng)木條最外側(cè)AB與地面的夾角繼續(xù)減小時(shí)，桌子不能夠在地面上撐起。只有滿足圖9的情況下木條AB和CD的角度，桌子才能夠保持穩(wěn)固性。因此運(yùn)用非線性多目標(biāo)優(yōu)化模型解決問題時(shí)，自變量θ在一定約束范圍內(nèi)且一定能夠保持桌子的穩(wěn)定性。

問題二運(yùn)用非線性多目標(biāo)優(yōu)化模型[3-5]，選擇3個(gè)自變量θ、S、n，可以得出自變量與因變量的關(guān)系，并運(yùn)用多目標(biāo)進(jìn)化算法求出目標(biāo)函數(shù)D、α、n。

自變量θ為第一根木條與地面所成的角；自變量S為第一條鋼筋位置沿木條到桌面的距離；自變量n為組成桌面的木條數(shù)；常數(shù)C為木板厚度，C=30 mm(常數(shù))；常數(shù)b為總木板寬度，b=800 mm(常數(shù))；因變量a為木板長度（變量）；因變量d為每一木條寬，d=b/n（與n有關(guān)）；常數(shù)h為桌子高度，h=700 mm（含木板厚度）；因變量r為桌面外接圓半徑，r2=(b/2)2+d2。因變量xi為第i個(gè)木條端點(diǎn)到與木條i垂直的直徑距離：

因變量li為每根木條上端點(diǎn)所在位置的距離：

目標(biāo)1 D為總槽長，即所有木條開槽長度：

因變量α為最中間木條與桌面夾角：

運(yùn)用多目標(biāo)進(jìn)化算法得到目標(biāo)函數(shù)：

表2

2.2.2 模型的求解

根據(jù)所求非線性多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)方程計(jì)算在桌高為700 mm，桌面直徑800 mm的情形下的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。運(yùn)用MATLAB編制程序模擬1000次數(shù)據(jù)得到相對(duì)較優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的集合（具體編程代碼略），具體數(shù)據(jù)見表2。

由表中數(shù)據(jù)可以得到以下結(jié)論：1)木條條數(shù)相等情況下，開槽總長越長，所需木條長度越短。2)木條條數(shù)不相等時(shí)，木條條數(shù)越多，開槽總長越長，所需木條長度越短。

3 結(jié)語

結(jié)合解析幾何與空間三維坐標(biāo)知識(shí)解決給定尺寸規(guī)格下折疊桌的加工參數(shù)，模型更加具體化、形象化。進(jìn)一步個(gè)性化設(shè)計(jì)研究時(shí)采用非線性多目標(biāo)優(yōu)化方法增強(qiáng)優(yōu)化功能，同時(shí)非線性多目標(biāo)優(yōu)化模型克服了單一模型產(chǎn)生的局部優(yōu)化現(xiàn)象，避免了傳統(tǒng)優(yōu)化模型的主觀性，達(dá)到了在保證創(chuàng)意折疊桌穩(wěn)定前提下依據(jù)不同客戶需求的設(shè)計(jì)最優(yōu)加工參數(shù)的目的，滿足了客戶一定范圍內(nèi)的個(gè)性化要求。

[1] 朱仁峰.精用MATLAB7[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.

[2] 董霖.MATLAB使用詳解[M].北京:電子工業(yè)出版社,2009.

[3] 馬清亮,胡昌華.多目標(biāo)進(jìn)化算法及其在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用綜述[J].控制與決策,2006,21(5):481-486.

[4] 尚明忠,蓋英杰,李樹榮,等.油田開發(fā)規(guī)劃非線性多目標(biāo)優(yōu)化模型研究[J].石油鉆探技術(shù),2003,31(4):59-61.

[5] 姚澤清,鄭旭東,趙穎.全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽題與優(yōu)秀論文評(píng)析[M].北京:國防工業(yè)出版社,2012.

Study on the Novel Originality of Plate Folding Table

CHEN Yujin1,KUAI Libao2,ZHAN Zilong2,ZHONG Peihua2
(1.School ofAgriculture and Biology,Shanghai JiaotongUniversity,Shanghai 200240,China;2.School ofNeoconfucianism,Jiangxi Agricultural University,Nanchang330045,China)

The processing of a folding table is analyzed.According to the connection of each group of table legs with a steel bar,the mathematical model is established according to the different parameters set by the customer in the process of gradually folding the table from the rectangular plate into the table.The analytic geometry knowledge and the multiobjective evolutionary algorithm are used to obtain the non-inferior solution relation of the multi-objective optimization model.This paper obtains optimal design parameters such as the position of the groove,slot length.The personalized table design goals is completed.

analytic geometry;nonlinear multi-objective optimization;multi-objective evolutionary algorithm;MATLAB7.0

O 224,TH 123

A

1002－2333（2018）01－0029－04

（編輯黃 荻）

陳毓瑾（1993—），男，碩士，研究方向?yàn)楣麡浒l(fā)育生物學(xué)、設(shè)施農(nóng)業(yè)數(shù)字化技術(shù)與應(yīng)用；

鐘培華（1974—），男，碩士，江西農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室主任，副教授，研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與數(shù)學(xué)建模。

2017-03-08