基于驅動約束的刀軸優化方法

張大遠， 劉勇， 王昊， 孫玉文

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

基于驅動約束的刀軸優化方法

張大遠， 劉勇， 王昊， 孫玉文

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

文中提出了一種基于驅動約束的刀軸優化方法。對于存在突變的初始刀具軌跡，首先選擇出其中的代表性刀軸矢量，對其調整使不發生干涉碰撞，并確定其可行域；之后利用角速度最小化方法，對初始刀軸矢量進行光順；最后根據仿真實驗，證明該優化方法確實可以減小驅動軸的角速度、角加速度的突變，獲得光順的刀具軌跡。

驅動約束；刀軸優化

0 引言

五軸數控加工被廣泛應用于復雜曲面類零件的加工，如航空發動機壓氣機葉輪、汽輪機轉子、螺旋槳、模具等[1]。五軸加工和三軸加工的本質區別在于：三軸加工時，刀具軸線在工件坐標系中是固定不變的，也即始終平行于Z坐標軸。而在五軸加工情況下，刀具軸線可以根據加工表面的情況發生旋轉或偏轉，控制刀具軸線發生改變的原則是兼顧加工質量和加工效率[2]。

對復雜曲面類零件進行刀具路徑規劃的過程中，有兩個原因可能導致規劃出的刀軸存在突變：1）零件表面幾何形狀發生劇烈變化；2）刀具路徑上存在障礙物，為了避開障礙使刀軸發生突變[3]。但是在實際加工過程中，受到機床驅動軸運動學參數，比如旋轉軸的角速度、角加速度的制約，刀軸不可能發生這樣的突變[3]。因此這就需要對初步生成的、存在突變的刀具路徑進行刀軸優化。

傳統的刀軸優化方法僅從幾何學方面考慮，目的只是為了避免干涉碰撞，而無法保證運動的光順性[4-9]；后續的一些針對刀具路徑光順的研究基本是在工件坐標系下進行[10-12]，而刀具路徑從工件坐標系轉換到機床坐標系后，由于其變換過程為非線性變換，因此機床驅動軸的運動仍可能是不光順的[13-15]?；谏鲜鲆蛩乜紤]，文中綜合考慮了幾何特性和機床驅動軸的運動特性，提出了一種較為全面的刀軸優化方法。首先，考慮幾何特性，在初始刀位中選取一些代表性刀軸，對其進行調整使其無干涉碰撞，并確定這些刀軸的可行域；之后根據機床旋轉軸的驅動特性，提出了一種新的刀軸優化方法：角速度最小化方法；最后經過仿真實驗驗證，證明該方法可以獲得無碰撞且光順的刀具路徑。

1 運動學變換和特殊刀位確定

五軸數控加工過程中，刀具和工件相切觸的那一點稱為刀觸點C，該點是局部坐標系的坐標原點。刀具位向在局部坐標系下，由刀觸點、前傾角α和側傾角β共同定義。

在工件坐標系下，刀軸矢量由刀位點P和刀軸上不同于刀位點的另外一點Q表示。其中，刀位點指的是刀具中心點，在某一刀觸點處，刀軸矢量表示為：

在機床坐標系下，刀具路徑由3個平動位移量和2個旋轉角度值來共同表示。機床的回轉運動可以繞著X、Y、Z分別進行，相應的旋轉角度稱為A、B、C。機床的旋轉形式不同，刀具路徑的表示方法也不同，以C-A型五軸機床為例，其機床坐標系下的刀具路徑可以表示為

圖1 機床坐標系

圖2 工件坐標系和局部坐標系

3種坐標系與刀具軌跡、工件和機床的關系如圖1和圖2所示。

根據機床兩種回轉運動的不同，五軸聯動數控機床可以分為以下3種機床類型：刀具雙擺動型五軸機床、工作臺雙轉動型五軸機床、刀具擺動與工作臺轉動型五軸機床。本文針對工作臺雙轉動型五軸機床中的B-C型五軸機床進行運動學分析。

初始狀態下，刀具軸線與Z軸方向平行，動軸B的方向與Y軸方向平行。局部坐標系和工件坐標系的原點重合。那么，在局部坐標系下，初始刀位點為［0，0，0，1］，初始刀軸矢量為［0，0，1，0］。機床坐標系下的刀軸矢量，經過兩次旋轉變換后變為工件坐標系下的刀軸矢量，也即:

式中：T為刀軸矢量;M為變換矩陣。

將式（2）和式（4）聯立，可以求得兩旋轉軸的轉角為：

根據初始刀具軌跡，求出機床坐標系下的旋轉軸轉角后，便可以進行后續的刀軸優化。在進行刀軸優化之前，先需要確定出一些代表性刀軸以及其對應的可行域。因為后面的刀軸優化算法，需要在給定一些代表性刀軸的前提下，才能夠進行。而在刀軸調整過程中，需要給出待調整刀軸的可行域。

確定代表性刀軸是整個刀軸優化過程中的關鍵一步：代表性刀軸選取的位置，以及代表性刀軸的刀具姿態，直接影響了后續計算出的整個刀具軌跡的形狀。優化的刀軸是否仍存在碰撞，是否光順程度達不到要求，這些都和代表性刀軸選取的正確與否有關。確定代表性刀軸分為以下3個步驟：1）確定危險區域；2）確定代表性刀位；3）計算代表性刀位處刀軸的可行域，并給定初始代表性刀軸。

危險區域一般是指刀具路徑中，刀軸由于曲面曲率變化較大，因而發生突變的區域；以及刀具路徑在接近障礙物時，刀軸為了避開障礙物而發生突變的區域。下面結合兩種方法：1）借助CAM軟件進行刀具路徑的加工仿真方法；2）檢驗驅動軸運動參數是否超差這兩種方法，來確定出危險區域。

首先，對于初始刀具路徑，需要檢驗是否存在碰撞，本文利用UG NX軟件進行碰撞檢驗。確定出初始刀具路徑和工件發生碰撞的區域，表示為

刀具路徑和工件曲面不存在碰撞的情況下，由于曲面曲率發生改變，仍可能導致刀軸發生突變。這里采用計算機床旋轉軸的角速度，然后判定其超差區域，作為危險區域的方法。危險區域表示為

危險區域確定后，即可確定代表性刀位的位置。一般情況下，把刀具進入危險區域的刀位點P1，以及離開危險區域的刀位點P2，選取為代表性刀軸的刀位點。另外，為了確保在危險區域中，刀軸可以避開障礙，在危險區域中也會選取一個代表性刀軸，稱為P3。因為這些刀軸都是調整后的刀軸，與工件之間不存在碰撞，因此初始的刀具姿態仍保持為原來的刀具姿態。這里需要指出的是，此處選取的這些代表性刀軸，僅僅是初步選取，在后續的優化和檢驗過程中，如果發現計算出的刀具軌跡不符合要求，比如仍存在碰撞，或者存在運動學參數超差，那么將重新選擇代表性刀軸，其姿態也會重新調整。

為了之后對初始代表性刀軸進行調整，需要先計算出這些代表性刀軸的可行域。針對刀軸可行域的計算，前人在這方面已經研究了很多，提出了許多具有代表性的方法。比如參數空間方法等[10]。但是由于自由曲面類零件自身結構比較復雜，如果再存在障礙區，將會導致刀具可行域邊界非常不規則，因此導致后續的約束優化計算時間特別長，或者出現優化過程不收斂的情況。針對參數空間方法的這一缺點，有些學者提出了簡化的參數空間方法，比如把不規則的參數空間，簡化為一個規則的四棱錐[16]，或者將三維空間簡化為二維平面，提出了參考平面法[17]等。對于上述兩種簡化方法，將刀具可行域約束在以刀位點為頂點的空間四棱錐內，更具有普遍性，是一種較好的刀具可行域確定方法。

文中在該方法的基礎上進行了改進，將刀具可行域約束在以刀位點為頂點，底面為環形的椎體內。具體來說，就是確定出刀具在局部坐標系下的前傾角范圍和側傾角范圍。之后，從工件坐標系向機床坐標系轉換時，扇形的（i，j）可行域，將導致計算出B、C邊界更加不規則，難以計算。因此在扇形（i，j）可行域內部，選取一個面積最大的矩形，作為工件坐標系下的刀軸可行域。

具體確定過程仍利用UG NX軟件，將刀具軌跡導入后，在代表性刀位處調整刀具姿態，確定出代表性刀軸的可行域，可行域FR表示為

在得到局部坐標系下的可行域后，通過運動學變換，可以得到機床坐標系下B軸轉角和C軸轉角的可行域。由于三角函數變換的特殊性，變換出的可行域邊界是不規則的，為了便于計算，在不規則區域中，選取一個與B、C軸平行，且面積最大的矩形，作為最終的可行域。表示為

2 刀軸優化方法

衡量旋轉軸運動的光順性，首先考慮的是旋轉軸角速度不能超差。針對B′-C′型機床，對于任一旋轉軸，其角速度ω表示為

為了便于研究，假定刀具沿著刀具軌跡運動時，在相鄰兩個刀觸點之間，其進給率f是恒定不變的。事實上，由于機床各驅動軸的約束，以及刀具軌跡的變化，實際進給率是在一個區間內不斷變化的。但是根據極限理論，當相鄰兩個刀觸點之間距離很短時，可以假定進給率恒定不變。則可以用相鄰兩刀觸點之間距離L來代表時間t。從而，上述角速度公式可以表示為

由于上述求導過程仍然較為復雜，我們采用差分方法進行求解如下:

從而在整個刀具軌跡上，每兩點之間的角速度就確定下來。為了得到光順的刀具軌跡，顯然需要使角速度的總變化量盡可能取得最小值。根據最小二乘法，得到目標函數為

為了使目標函數取得極小值，公式的一階導數值為零即可，即

圖3 初始刀具軌跡

圖4 優化后的刀具軌跡

為了使方程有解，需要至少指定2個θ的值。而正如在1節中講述的，為了確保刀具和工件之間不發生干涉碰撞，必須指定幾個代表性刀軸。因此這些代表性刀軸就作為本算法中的已知量，代入方程，求出其余刀位點處的旋轉軸角度，進而確定出整個刀具軌跡。在實際刀軸優化過程中，由于代表性刀軸是根據避免刀軸突變而設定的，因此實際代表性刀軸個數可能多于2個。為了確保刀軸不發生碰撞干涉，所有代表性刀軸必須給定。這樣可以順利求解出結果。

3 仿真實驗驗證

為了驗證上述刀軸優化方法的正確性，文中針對一個自由曲面上的刀具軌跡，進行了仿真實驗。如圖3所示，初始刀具軌跡的刀軸方向是給定的，前傾角為6°，側傾角為0°。在靠近障礙物區域，為了避障，前傾角變為40°，側傾角變為60°。

首先，為了確定刀具軌跡中危險區域的區間，需要計算出A、C軸的角速度，角速度曲線分別在進入碰撞區域處，和離開碰撞區域處存在兩個突變，且突變區域的角速度都超出旋轉軸角速度的限定值：在靠近障礙處，A軸角速度由0.23 rad/s突變至-5.84 rad/s，C軸角速度由0.16 rad/s突變至-4.63 rad/s。根據第1節中介紹的危險區域確定方法，在進入危險區域，危險區域中間以及離開危險區域處，各選擇一個特殊刀位。

在確定了特殊刀位后，需要計算這些特殊刀位處刀軸的可行域。利用UG NX軟件，根據避免碰撞的原則，可以確定出特殊刀軸的可行域。對于本例，側傾角的變化與刀具是否碰撞相關度不大，因此側傾角保持60°不變，確定出碰撞區域處，刀軸側傾角的可行域為［40°，80°］，之后進行運動學變換，可以獲得A、C軸的可行域，由于各個特殊刀軸對應的A、C軸可行域不同，需要分別確定。

在利用角速度最小化方法進行刀軸優化時，代入特殊刀軸的A、C軸轉角，可以方便地計算出其他位置處的A、C軸轉角。優化后的刀具軌跡如圖4所示?？梢妰灮蟮盾壝黠@光順了許多。而且角速度曲線的突變情況有了改善：在靠近障礙處，A軸角速度從-5.84 rad/s降低到了-0.46 rad/s，C軸角速度從-4.63 rad/s降低到了-0.34 rad/s。證明了該優化方法的正確性和有效性。

4 結 語

對于文中提出的基于驅動約束的刀軸優化方法。其突出特點在于綜合考慮了幾何特性和驅動特性，得到的刀具軌跡既保證了不發生干涉碰撞，而且也保證了機床驅動軸運動的光順性。最后經過仿真試驗驗證，證明了本優化方法確實可以減小五軸數控機床兩個旋轉軸的角速度、角加速度值，使其突變情況得到了明顯改善，證明了算法的有效性。

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Tool Orientation Smoothing Based on Drive Constraints

ZHANG Dayuan, LIU Yong,WANG Hao,SUN Yuwen
（School ofMechanical Engineering,Dalian UniversityofTechnology,Dalian 116024,China）

A novel method based on the drive constraints for tool orientation optimization is proposed in this paper.As to the original tool path where tool orientation suffer from drastic change,some representative tool orientation are picked out,the feasible regions are determined under the condition of collision avoidance.Then the tool path is optimized by the angular velocity minimization method.Experiment proves that a smooth tool path can be acquired by the proposed method

drive constraints;tool orientation smoothing

TG 519.1

A

1002－2333（2018）01－0062－04

（編輯立 明）

張大遠（1991—），男，碩士研究生，研究方向為刀具軌跡優化；

孫玉文（1971—），男，博士，教授，研究方向為快速制造技術，反求工程等。

2017-03-28