基于Matlab的鋼板彈簧式后懸架骨架模型的建立及應用

崔文賓， 陳麗秋

（中國第一汽車股份有限公司技術中心，長春 130011）

基于Matlab的鋼板彈簧式后懸架骨架模型的建立及應用

崔文賓， 陳麗秋

（中國第一汽車股份有限公司技術中心，長春 130011）

對鋼板彈簧式后懸架的運動原理進行了研究，應用向量的方法建立了鋼板彈簧的數學分析模型。并且應用Matlab數學計算軟件編寫了通用的計算程序，方便地求解出板簧上各個硬點的坐標，從而進行了傳動軸長度和角度的校核計算。經過對比分析發現，其計算結果與傳統的傳動軸跳動圖的結果完全一致，證明了該分析模型正確、可靠。

鋼板彈簧；傳動軸校核；矢量分析模型

0 引言

由于鋼板彈簧式懸架結構簡單，制造容易，維修方便且縱置鋼板彈簧可以兼作導向裝置，廣泛應用于微型車和輕型車的后懸架系統中。在路面激勵和懸架系統的共同作用下，鋼板彈簧的前、后卷耳中心距和弧高在不斷地變化，引起包括車輪與車身之間的間隙、傳動軸的長度和輸出角在內的多個參數也隨之變化。因此在整車總布置階段建立鋼板彈簧的運動模型，繪制出板簧中心運動軌跡、輪心運動軌跡以及傳動軸后萬向節十字軸中心點的運動軌跡顯得十分重要。利用傳統的板簧弧高變化圖可以作出在不同工況下的上述各條軌跡線，也可以校核傳動軸的長度、角度以及減震器的極限長度等。但其制作過程往往非常復雜，費時費力，且可移植性不強。目前，它仍然是校核傳動軸長度、角度以及減震器極限長度等參數的重要手段。

本文利用向量和數值分析相結合的方法，建立了鋼板彈簧式后懸架的數學模型，并借助Matlab軟件編寫了鋼板彈簧式后懸架的通用計算程序，方便地繪制出來傳動軸長度、輸出角度隨后橋跳動的曲線。同時只需改變輸入參數值，即可方便地繪制出輪心運動軌跡、板簧中心運動軌跡、減震器下固定點運動軌跡等，可移植性非常強。經過與幾何法求得的結果相比較，發現二者結果完全一致。下文著重介紹了該模型應用于傳動軸長度和輸出角度的校核方法。目前，此方法以實際應用到整車總布置設計中，大大提高了工作效率。

1 數學分析模型的建立

圖1為鋼板彈簧式后懸架帶傳動軸總成的骨架模型示意圖。圖中，點A是板簧主片的前卷耳中心，點B是板簧主片的后吊耳中心，點A和點B均為總布置輸入硬點；點C是前、后卷耳中心連線的中點；點D是板簧主片中心點；點K是板簧夾緊段（平直段）后點；G點為傳動軸后萬向節十字軸中心點；H點為傳動軸前萬向節十字軸中心點；直線GI為驅動橋輸入軸軸線。

為了分析車輪跳動時對傳動軸長度和角度的影響規律，建立了以下坐標系：該坐標系以整車坐標原點為原點，規定向車輛正后方為X軸，垂直X軸向上為Y軸。這樣，只要將整車總布置硬點輸入即可，省去了坐標轉換的步驟。

圖1 鋼板彈簧式后懸架分析模型

圖1為某車型處于空載狀態時后懸架及傳動軸的狀態。根據分析可知當懸架發生變形時，板簧弧高相應發生變化。在分析過程中，假設驅動橋和鋼板彈簧通過U型螺栓剛性地連接為一體，不存在變形和間隙。在實際裝車時，鋼板彈簧通過U形螺栓夾緊在車橋上，彈簧的上或下表面與支架貼合，因此可以假設夾緊段為平直段，如圖2所示。此時U形螺栓在夾緊狀態下板簧前、后卷耳中心距、主片作用長度、卷耳半徑及弧高存在如下幾何關系：

式中：S為U形螺栓夾緊距，板簧兩卷耳中心距，mm；L為板簧主片作用長度，mm；Sj為U形螺栓夾緊距，mm；f為板簧弧高（含卷耳半徑），mm；r為卷耳半徑，mm。

圖2 U型螺栓夾緊時板簧參數

2 空載位置時模型中各點的求解

如圖1所示，點E0是板簧后卷耳中心點，其到點B的距離保持恒定，即點E0到前卷耳中心距離為卷耳中心距S0，即；由以上條件得到方程：

式中，l1為吊耳長度,mm。

2.2 求點

點C0為板簧前、后卷耳中心連線的中點，由圖1中的幾何關系可以得到如下方程：

2.3 求點

點D為鋼板彈簧中心點，是板簧最重要的硬點之一。在板簧變形過程中，始終滿足如下兩個關系：第一，點C和點D之間的距離即為板簧弧高，即第二，點C和點D的連線始終垂直于直線AE，即根據上述關系可以得到如下方程：

2.4 求點

2.5 求傳動軸長度l0

傳動軸長度即為前后兩個萬向節十字軸中心點H和G之間的距離，可以得到如下方程：

3 后橋跳動時主要參數的求解

3.1 傳動軸長度的變化量

傳動軸長度變化量即為任意時刻傳動軸的長度與空載狀態下傳動軸長度的差值，通過分析傳動軸長度的變化量，即可看出傳動軸在后橋跳動過程中是否滿足總布置設計要求，據上述條件，可以得到如下方程：

3.2 傳動軸輸出角

規定傳動軸輸出角為傳動軸與后橋輸入軸線之間的夾角β,初始角度為β0。在后橋跳動過程中傳動軸的輸出角同直線DK和GH之間的夾角α同步變化，即：

3.3 求解原理

上述各個方程建立了某車型空載位置時后懸架及傳動軸上各個硬點間的關系。由分析可知，在驅動橋跳動過程中，各個硬點之間的關系依然滿足上述條件。只是針對不同的板簧弧高f，對應著不同的卷耳中心距S。因此，只要使板簧弧高f在一定的區間內連續取值，求解出上述各個點的坐標值。并且將后卷耳中心點E、卷耳中心連線中點C、板簧中心D、傳動軸后萬向節十字軸中心G以及傳動軸前萬向節十字軸前中心點H對應的坐標值分別存在矩陣E、C、D、G和H中，就可以方便地求解出板簧中心運動軌跡、傳動軸后萬向節十字軸中心點運動軌跡、傳動軸長度和輸出角度的變化關系。

3.4 約束條件

在求解上述方程時，由于方程多為二次方程或超越方程。因此，求解出方程根的個數必定不唯一。找出適當的約束條件是能夠順利解決問題的關鍵。

3.4.1 點E的約束條件

由幾何分析可知，即為分別以A點和B點為圓心、S和l1為半徑的2個圓的交點，如圖3所示。

E1和E2即為求解出的2個解。根據受力分析可知，后懸架在整個運動過程中始終承受由車身傳遞的方向向下的力，因此不可能出現后卷耳中心為E1的情況。故約束條件可以寫為：

3.4.2 點C的約束條件

分析可知點C位于前后卷耳中心點A、E的中點，位置唯一，故不需要約束條件即可求解。

圖3 點E的2個根

3.4.3 點G的約束條件

由幾何分析可知，點G為距離點D固定長度且與直線GD與直線DK夾角余弦值的絕對值為定值的點。如圖4所示，可以看出求解點G的方程必定存在4個根。取G點的X坐標恒小于D點的X坐標，點G的Y坐標恒小于點D的Y坐標,即：

圖4 點G的4個根

4 分析模型在整車總布置中的實際應用

4.1 輸入條件

佳寶系列某車型空載狀態下的相關參數值為：xA=3172.5 mm，yA=1084 mm，xB=4286 mm，yB=1263 mm，L=1145 mm，r=22.5 mm，Sj=86 mm，l1=70 mm，α0=160°，β0=4°。空載狀態下板簧弧高f=67 mm，規定在極限位置時，后橋上跳125 mm（限位塊處于全壓縮狀態，即鐵碰鐵），下跳70 mm,因此板簧弧高的變化范圍為f?［－47,137］。假設上述過程在5 s內完成，如圖5所示。

圖5 后橋高度變化

4.2 傳動軸長度和角度的變化

將以上參數代入應用Matlab編寫的通用計算程序中，并選擇f每變化1 mm，求解一次。求解傳動軸輸出角的變化如圖6所示，傳動軸長度隨后橋跳動高度的關系如圖7所示，傳動軸變化量隨后橋跳動高度變化關系如圖8所示。由圖8可知，在后橋由板簧弧高f=-47 mm變化到板簧弧f=137 mm過程中，傳動軸長度發生了變化，總變化范圍為6.5 mm，其中傳動軸伸長了2.7 mm，縮短了3.8 mm。由圖8可以看出，傳動軸處于拉伸和壓縮的極限位置均是后橋處于回跳的過程中。傳動軸的長度變化決定著傳動軸連接花鍵的長度，此種校核在傳動軸校核過程中必須考慮。由于總布置布置后橋時都存在著一定的后橋傾角，導致后橋不是對稱跳動，傳動軸的伸長量并不等于壓縮量。在后橋跳動幅度不大的情況下，傳動軸花鍵的移動長度可以近似等于傳動軸的長度變化量。

4.3 分析模型與傳統傳動軸跳動圖對比

應用傳統的傳動軸跳動圖的方法對上述車型的傳動軸長度進行校核。并對比兩種方法得到的傳動軸長度如表1所示。

圖6 傳動軸輸入角變化

圖7 傳動軸長度

圖8 傳動軸長度變化量

表1 傳動軸長度變化對比

經過對比分析發現，數學分析模型的計算結果與傳統的傳動軸跳動圖的計算結果完全一致。究其原因，是因為數學分析模型的建立原理與傳動的跳動圖的原理是完全一致的。這也證明，上述建立的分析模型是正確、可靠的。

4.4 后橋上其他硬點軌跡的求取方法討論

在整車總布置設計過程中，往往還需要校核減震器的極限長度、車輪包絡與車身的間隙以及板簧布置對軸轉向的影響等。因此，快速地繪制出減震器下固定點運動軌跡、輪心運動軌跡和板簧中心運動軌跡顯得尤為重要，應用上述分析模型同樣可以非常方便地求解出上述各條軌跡。這些點和傳動軸后萬向節十字軸中心點都有一個共同的特點：剛性地固定于后懸架上。因此，只要在上述模型中改變G點相對于D點的位置，即可方便地求解出減震器下固定點、輪心軌跡。

5 結論

建立了鋼板彈簧式后懸架的數學分析模型，應用向量的方法找到了各個硬點之間的關系。其計算過程簡單易懂。因建立方程的原理與傳統幾何法的原理相同，故求解的結果與傳統方法完全一致。利用Matlab數學計算軟件編寫了后懸架計算的通用計算程序，大大簡化了重復性的工作內容，使整車總布置的工作效率顯著提高。目前該模型已應用到相應車型的總布置設計中。

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Establishment and Application of Leaf Spring Suspension Model Based on Matlab

CUI Wenbin,CHEN Liqiu
(China FAQCorporation Limited R&DCenter,Changchun 130011,China)

This paper studies the motion of leaf spring rear suspension,and establishes the mathematical model of leaf spring by using vector method.And a general calculation program is programmed using Matlab software to calculate the coordinates of the key points on the leaf spring model easily.Thus,the length and angle of the drive shaft can be calculated.Through comparison and analysis,it is found that the calculated results are in good agreement with the results of the traditional graphic method,which proves that the model is correct and reliable.

leaf spring;drive shaft check;vector analysis model

TP 391.7

A

1002－2333（2018）01－0122－04

（編輯黃 荻）

崔文賓（1988—），男，助理工程師，從事整車總布置設計、整車性能集成研究工作。

2017-04-07