應(yīng)用均值不等式求最值的常用方法

張文雅

摘要：本文介紹了考試大綱對(duì)均值不等式的考查要求和應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)的條件，同時(shí)還結(jié)合例題介紹了應(yīng)用均值不等式求最值的三種常用方法：推廣結(jié)論公式法、換元法、最值取等。

關(guān)鍵詞：均值不等式;一“正”二“定”三“等”;推廣公式;換元化歸;最值取等

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2018）19-077-1

教育部考試中心發(fā)布的《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說明（理科）》，對(duì)于均值不等式的要求：掌握兩個(gè)和三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這兩個(gè)定理，并能運(yùn)用上述性質(zhì)、定理和方法解決一些問題。即指以下兩個(gè)不等式：x+y2≥xy，x+y+z3≥3xyzx、y、z∈R+①（當(dāng)且僅當(dāng)這些正數(shù)都相等時(shí)，取“=”號(hào)）。使用時(shí)，常需變形為一邊是純粹的“和式”或“積式”[1]。

一、運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件

運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”。即：（1）要考慮字母或字母的組合是否為正的;（2）考慮相應(yīng)的和（或積）是否為定值;（3）要考慮等號(hào)成立的條件。

二、應(yīng)用均值不等式求最值的常用方法

1.推廣結(jié)論公式法

兩個(gè)和三個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)，兩個(gè)和三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，兩個(gè)和三個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不小于它們的調(diào)和平均數(shù)。公式如下，其中②式稱為平方平均數(shù)，③式稱為調(diào)和平均數(shù)。

x2+y22≥x+y2≥xy≥21x+1y②

x2+y2+z23≥x+y+z3≥3xyz≥31x+1y+1z③

當(dāng)且僅當(dāng)這些正數(shù)都相等時(shí)，取“=”號(hào)。②式和③式，考綱雖不要求，但可作為中間結(jié)論，化繁為簡(jiǎn)。②式易證從略;③式的第一個(gè)不等號(hào)與第三個(gè)不等號(hào)證明如下：

（x-y）2+（y-x）2+（z-x）2≥0

x2+y2+z2≥xy+yz+zx

x2+y2+z23≥x+y+z3

1x+1y+1z≥3·31x·y·z3xyz≥31x+1y+1z

例1：已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均為銳角），那么cosα·cosβ·cosγ的最大值等于。

解析：由sin2α+sin2β+sin2γ=1可推出cos2α+cos2β+cos2γ=2，考慮用公式③解，由

3cosα·cosβ·cosγ≤cos2α+cos2β+cos2γ3=23

得cosα·cosβ·cosγ≤269（當(dāng)且僅當(dāng)cosα=cosβ=cosγ=23時(shí)，取最大值）

如果題設(shè)不變，要求cosα+cosβ+cosγ最大值和1cosα+1cosβ+1cosγ的最小值，雖然難度更大，但應(yīng)用公式③即可求解。

2.換元法

換元法是指把一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子的一部分看成是一個(gè)整體，用另一個(gè)字母代替這一部分（即換元）的方法。換元法滲透著化歸和整體的數(shù)學(xué)思想，可以使式子得到簡(jiǎn)化，各項(xiàng)的關(guān)系容易看清，便于解決問題。

例2：已知0<a<1，求1a+41-a的最小值。

解析：令1-a=b>0，問題等價(jià)于：已知a+b=1，a，b∈R+，求1a+4b的最小值

（1a+4b）·1=（1a+4b）·（a+b）=ba+4ab+5

≥21·4+5=9

當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab，即a=2-3時(shí)上式取等號(hào)。

故1a+41-a的最小值為9。

3.最值取等法

最值取等法指從不等式中發(fā)現(xiàn)等號(hào)成立的條件入手，使用時(shí)保證等號(hào)能取得到的方法解題。使用此方法解題時(shí)，常有意想不到的效果。

例3：已知a>0，b>0，a+b=1，求證（a+1a）2+（b+1b）2≥252。

解析：此題證法很多，但幾乎所有證法都要多次用到均值不等式，所以此題難度較大。但若抓住等號(hào)成立的條件a=b=12并正確應(yīng)用均值不等式，問題便能迎刃而解。其中一種解法如下：左邊=a2+1a2+2+b2+1b2+2，因?yàn)閍2+1a2≥2的等號(hào)不成立，此時(shí)“山重水復(fù)疑無路”，但重新組合后可知1a2+1b2≥2ab≥1（a+b2）2=4，a2+b2≥（a+b）22=12，此時(shí)便能“柳暗花明又一村”，題中不等式得證。

綜上所述，利用均值不等式求最值時(shí)應(yīng)注意一“正”、二“定”、三“等”，其中等號(hào)成立的條件更要引起注意。同時(shí)，推廣公式做中間結(jié)論，換元法，先猜測(cè)再證明，這些也都是數(shù)學(xué)上常用的解題方法。

[參考文獻(xiàn)]

[1]房瀚婕，田建.妙用均值不等式 提升解題能力[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（01）.