分形幾何與動力系統的若干問題分析

摘 要：分形幾何的應用使越來越多的學科開始變得愈加精密。傳統的幾何解決辦法，不能夠有效地解決問題，而分形幾何因其圖形自相似層次結構思想和無限復雜分析對象的適用性開始被越來越多的學科采用。筆者對幾何分形與動力系統的關系及其若干問題進行了分析。

關鍵詞：分形幾何；離散動力系統；單調動力系統

中圖分類號：O189.3；O19 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2018）12-0019-03

Analysis of Some Problems in Fractal Geometry and Dynamical Systems

DU Yanhong

（Polytechnic Institute Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030021，China）

Abstract：The application of fractal geometry makes more and more disciplines begin to become more precise. The traditional geometric solution cannot effectively solve the problem，and fractal geometry has been adopted by more and more disciplines because of its graphic self-similar hierarchical structure and applicability of infinite complex analysis objects. In this paper，the relationship between geometric fractal and dynamical system and some problems are analyzed.

Keywords：fractal geometry；discrete dynamical system；monotonic dynamical system

1 分形幾何產生的背景

進入20世紀以后，科學技術的飛速發展，特別是計算機的普及以及歐式幾何存在缺陷，人們開始探尋新的計算方法。隨著人們知識結構的改變，其對世界的認識也發生了很大的變化，其發現歐式幾何不再適合對復雜結構進行分析，如花瓣的形態，木板的裂紋等，所以其開始探尋新的計算方法，以滿足復雜結構分析的需要。

20世紀中期B.B.Mandelbro提出來了這樣一個問題，英格蘭的海岸線到底有多長？這個問題大部分人都會用相似的折線來代替彎彎曲曲的海岸線來近似計算，但是海岸線大部分并不是直線，而是彎曲的圓弧，用相似折線來代替彎曲弧線的近似計算結果顯然會與實際長度存在較大出入，這個問題的提出對以歐氏幾何為核心的傳統幾何提出了挑戰。

幾何學是一門數學學科，其又可分為歐式幾何、分形幾何等。傳統的幾何主要解決規則圖形問題，而對于復雜的圖形或者線條問題，比如斷裂曲線的長度、山的體積、云朵的輪廓，其往往不能夠有效解決。傳統的幾何解決方式，與當時人們的認識水平，理解及解決問題的能力相符合，與當時的生產力水平相適應，能夠解決實際應用中的各種問題。但是隨著社會的發展和科技的不斷進步，傳統幾何不能夠有效解決當今實際應用中的問題，例如其不能達到計算復雜線條，復雜輪廓，及精度要求，其弊端日益顯現出來，于是分形幾何就誕生了。為便于讀者更好地理解分形幾何，我們提出以下設想。

試問：亞洲的精確面積有多大？亞洲的邊境線有多長？

傳統幾何解決這一類問題時必須把其細化成極小的微原單位，然后累積計算，計算量大且困難。于是B.B.Mandelbrot在1975年提出分形概念，分形的本意是破碎的，不規則的。具有分形結構的事物基本特征是：其組成部分與整體以某種方式相似，即自相似或仿射相似。

1.1 自相似

常規自相似分為三類：1.簡單自相似圖形；2.特殊自相似圖形；3.復雜自相似圖形。在費教授的文獻中，自相似分為兩類，大體可以概括為：數學理想情況下，物體放大或者縮小后與原來物體形體一致。其分形集有Cantor集、Koch典線、Sierpinski墊片及Vicsek圖形等；還有一種是實際存在的自相似，實際存在的嵌套：無窮嵌套自相似。

1.2 分形幾何定義

到目前為止，分形還沒有一個完全嚴格的公認的定義。一般如果稱集合F是分形，即認為它具有以下典型性質：

（1）F具有精細的結構，在極小的尺度下都有復雜的細節；

（2）F非常不規則，導致他的整體和局部都不能用準確的文字描述；

（3）F具有自相似性，可以是形狀的，也可以是數字的；

（4）F在某種意義下的分形維數通常大于它的拓撲維數；

（5）F能由迭代產生。

1.3 分數維數是分形幾何的重要標準之一

我們通常通過一個模型的維數來形容這個圖形，它表達了物體空間占有度。相應的維數越高，這個圖形越復雜，越難以描述。

例如歐式空間幾何維數，當線段長度變成原來的2倍時，則長度乘以2，當二維圖形邊長放大2倍時，則面積變成原來的2的平方倍，相應的n維圖形邊長變成原來的2倍時，則其面積變成原來的2的n次方倍。維數越高越復雜。

1.4 Hausdorff維數計算

自相似集是最簡單的集合，通過Hausdorff可以得到完美結果，但自相似集結構特點導致Hausdorff發展進展緩慢。想要解決這一個問題，必須通過上凸密度來計算，在某種意義上，上凸密度的計算與Hausdorf測度計算是一樣的。

1.5 分形幾何自身的問題

第一，怎樣用分形理論求取物性參數，以建立物性參數的分形模型。

第二，研究對象分形與否不確定。分形目前在數學上沒有一個明確的定義，當遇到數量有限的情況時，按照比例劃分。目前分形中存在許多不確定的因素，因此運用有效的辦法給分形下定義十分必要。

第三，分形重構問題。分形有正問題和反問題。分形的正問題是通過有軌跡的放大或者迭代產生，其結果具有自相似。反問題也可以叫做分形重構，它是指給定一個具有自相似特征的對象，找到其生成規律或以某種方式使其生成。但是重構出的對象如何，是否與原圖形自相似都需進一步的驗證。分形重構研究尚處于起步階段，對于這些問題的解決需要進行更深入的研究。

第四，分形產生原因。對于分形產生原因的解釋目前有兩類：一類認為和分形最終現象有關；另一類認為，在該系統演化過程中出現過很多狀態和集合，這些狀態是獨立的，分形的。

2 動力系統

動力系統中常用的基本概念熵，在動力系統中非常重要。熵是描述物體運動混亂度的一個參量，非常重要。在大多數情況下，我們把物體簡單規則運動稱為零熵，把物體復雜運動稱為正熵。所以，怎樣判斷物體是零熵還是正熵或是簡單運動還是復雜運動非常重要。因零熵運動便于計算，所以在大多數情況下，零熵是我們最希望看到的。因此我們通常在諸多運動中尋找并證明物體是零熵運動，但尋找難度較大，且判斷經常有誤。

下面我們就來簡單探討分形幾何和動力系統的若干問題：

問題一：在什么條件下，等式H\"（E）=EY成立？

在對自相似集不斷研究的基礎上，周教授于2003年在“全國數學分形理論與動力系統學術研討會”上提出這樣一個話題，維數是否大于1給分形的性質帶來了極大的影響，這個問題關系到上凸密度、最好覆蓋等性質。同時，其還提出了相似壓縮不動點，得到了相似集的上凸密度，并且證明了估算原理成立條件，解決了相似集上凸密度上下限的估計問題。

半序Banach空間非線性算子關于動力系統的動力學問題。半序Banach空間非線性算子通過迭代后，離散（半）動力系統不動點存在唯一性與全局漸近穩定性。非線性積分方程以及單調動力系統和競爭生態系統通過運用非線性算子的動力學理論，得到了非線性積分方程的解的存在、迭代收斂性、唯一性等許多有用的結果。

對于這些理論研究；非線性算子離散動力系統不動點的唯一性與全局漸近穩定性結果的運用，極大的促進了非線性動力學的穩定性理論，無論是對動力系統還是競爭生態系統，這些研究都有重要的價值。

問題二：Hausdorff的準確度。

分形幾何對研究不規則物體形狀的作用巨大。在日常生活中，諸多問題都需要用幾何分形來解決，幾何分形在數學、在化學、物理、光學、生物學等方面應用廣泛，且這些應用都基于Hausdroff維數理論研究。Hausdroff維數與Hausdroff測度是分形幾何研究的重要組成部分，雖然Hausdoff維數與Hausdorf測度能夠清晰描述和反映任何幾何，但它們是兩個不同的概念，Hausdroff測度決定了Hausdroff維數，其能夠體現物體的不規則程度，但是其相關研究進展緩慢。與之相反，經過努力，近年來Hausdorf維數的計算與估計取得了很大進步。但至今為止，Hausdroff測度和Haudroff維數還沒有準確的估計測算值。

近年來，關于滿足開集條件的自相似集的研究進展較快，且取得了顯著成果，但Hausdoff測度計算研究還遲步不前，人們對其形狀結構認識比較模糊，無法對其進行具體研究。但專家學者并沒有因此就放棄研究，而是仍致力于Hausdoff測度研究。20世紀后期，加拿大學者J.Marion提出了關于Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdoff測度猜測，此后十年間，此問題研究一直停滯不前；1998年，周教授提出了關于自相似集的部分估計原理，并且利用這個原理對Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdorf測度進行了比較好的估計；1999年周教授否定了加拿大學者的兩個估計；2004年，周教授第一次計算出平面上維數為1的分形的準確值，并先后提出了關于Hausdorf測度與拓撲熵等多個問題，Hausdorf測度研究取得了里程碑式的進展。

目前為止，我們對維數不超過1的分形Hausdof測度計算研究取得了較大突破。但對于維數大于1的分形Hausdof測度計算研究仍然進展緩慢。1976年，保序算子被H.Aman提出，此后八年間，混合單調算子被郭大均和Skemilathan提出，1999年ascending算子被提出，保序算子、混合單調算子、ascending算子是三種非常重要的非線性算子。數據顯示，過去對于這些非線性算子的研究都是單獨進行，而沒有對其進行綜合研究，到目前為止對這些非線性算子的研究還是方法各異，沒有達成一致。對于混合單調算子的研究一般孤立進行，不考慮其與其他算子之間的相互影響。

混合單調算子是一類十分重要的非線性算子，廣泛存在于非線性微分方程和積分方程的研究中。設E是半序Banach空間，DC E，A：DxD→E是混合單調算子。研究混合單調算子可以分成兩種情況，一種是其定義域為序區間的Descartes集；另一種是其定義域為凸錐的Descartes集。而后者-般考慮算子的某種凹凸性，因為凸維的范圍往往比序區間的范圍大得多，這就為驗證算子的某種凹凸性帶來不便，將定義域為P限制在序區間上討論，引入序區間上一元中φ凹（凸）算子，得到了不動點的存在唯一性，把具有二元凹（（-4）凸）性的混合單調算子限制在序區間的Descartes集上，即討論序區間Descartes集上二元凹（（-中）凸）混合單調算子，同樣得到了不動點的存在唯一性與迭代收斂性，進而得到了-類混合單調算子的若干新不動點定理。（具體驗證步驟請參考周作領《自相似集的結構》）。

3 結 論

這些年來，一些學者對Banach空間線性算子迭代的動力學的研究，取得了令人矚目的成就。1999年，Karl-goswin對動力學的研究取得了若干成果。2003年，Noth S.Feldma對常規條件下線性算子的軌道研究也取得了顯著成果。其實在實際應用中，線性算子占比很小，大部分還是非線性算子，而非線性算子雜亂無章，難以研究。大家都知道，動力系統中最重要、最簡單的是自相似集，它可以用維數來表示，如Husdorff、Packing、Bouligar等。維數的大小表達了集合的復雜程度。Hausdorf測度與Hausdorf維數理論是分形理論的基礎，Hausdorf維數與Hausdorf測度能非常精確地反映物體結構的復雜程度，所以對Hausdorf測度和Hausdrof維度進行研究意義重大。

參考文獻：

[1] 許紹元.分形幾何與動力系統的若干問題 [D].廣州：中山大學，2005.

[2] 尹建東.分形幾何與動力系統中的若干問題 [D].廣州：中山大學，2007.

作者簡介：杜艷紅（1985-），女，山西靜樂人，碩士，助教。研究方向：分形幾何與動力系統。