參數擬合的估計方法研究

摘 要：對于測繪生產實踐中經常遇到的擬合參數的估計問題，本文以線性擬合為例，采用常用的間接平差法、附有參數的條件平差法、整體最小二乘平差法進行解算。主要利用最優估計唯一性原則對三者的解算結果進行對比分析。間接平差法僅考慮部分觀測值的隨機性質，以不同的量作為自變量和因變量，解算結果不一致；附有參數的條件平差法看似考慮了所有觀測值的隨機性質，但以不同的量作為自變量和因變量，其解算結果也不一致；整體最小二乘平差法顧及了全部觀測值的隨機性質，以不同的量作為自變量和因變量，解算結果一致，是當前情況下的最佳估值解法。

關鍵詞：參數擬合；間接平差法；附有參數的條件平差法；整體最小二乘平差法

中圖分類號：P207 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2018）12-0071-05

Study on the Estimation Method of Parameter Fitting

BAO Xinxue，CHEN Guoneng

（Guizhou Polytechnic of Construction，Guiyang 551400，China）

Abstract：For the estimation of fitting parameters problem often encountered in surveying and mapping production practice，this paper takes linear fitting as an example，and uses indirect adjustment method，conditional adjustment method with parameters and total least square method to solve the problem. This article summaries some usually used solution methods：the indirect adjustment method and the conditional adjustment method with parameters and the total least squares method. Then utilizes some instances accomplished comparison of these algorithms and give the corresponding suggestions. Results show that：considering the stochastic property of some observations，using different quantities as independent variables and dependent variables，the indirect adjustment method leads to inconsistent results，the conditional adjustment method with parameters seems to take into account the random nature of all observations，but it also leads to inconsistent results，but the total least squares method takes into account the random nature of all observations ，it leads to consistent results and it is the best valuation in the current situation.

Keywords：parameter fitting；indirect adjustment method；conditional adjustment method with parameters；total least squares method

0 引 言

研究變量與變量之間的關系是測量數據平差的主要內容[1]。如果變量之間不存在確定的函數關系，但又存在一定的制約關系，根據變量之間的這種與統計相關的關系所建立的函數模型稱為擬合。根據所建立的函數模型，擬合模型分為線性擬合與非線性擬合。

線性擬合問題一直都是研究應用領域普遍面臨的一個問題，其不僅存在于實驗室數據模擬中，也存在于工程實際應用中。對于非線性問題也往往轉化為線性問題進行解算。在測繪學領域可把線性擬合簡單地描述為：對于獲取的n個測量點（xi，yi），其中（i=1，2，…，n），這些數據點分布零散，卻又相對地集中在某一直線附近。為了更好地描述這些散點數據，尋找某一條直線使其最大可能地通過或是靠近這些點，形成一條最佳的擬合直線[2]。在本質上線性擬合就是求解一次函數的參數問題，也即為該直線函數的斜率和截距[3]。

假設測量獲取一組數據（xi，yi），把它們展繪于圖紙上得到相應的散點圖，這些散點的軌跡近似于一條直線，設其直線方程為y=ax+b，確定了斜率a和截距b，該直線方程也就能夠唯一確定。如何確定a和b并求出這兩個參數的最佳估值，就是線性擬合的參數估計問題[4]。例如，觀測得一組數據，得其散點圖，其軌跡近似于一條直線，如圖1所示。

4 分析與結論

本文選取Paul R.Wolf一書中的經典算例，通過三種不同的方法分別對其進行解算并對結果進行對比分析，如表4所示。

（1）經典間接平差法，僅把x或y視為觀測值。從表1的計算結果可見，分別以x和y為觀測值的參數估計值是不同的，有違最優估計唯一性原則。就是說，兩種結果都非當前情況下的最佳估計值。

（2）利用附有參數的條件平差法，把自變量和因變量都視為觀測值，看似都顧及了所有觀測值，但分別以x和y為觀測值的參數估計值是不同的，其并非當前情況下的最佳估計值。

（3）整體最小二乘平差法在進行參數擬合估計時，把自變量和因變量都視為觀測值，亦即都顧及了所有觀測值，分別以x和y為觀測值的參數估計值是相同的，是當前情況下的最佳估計值。

（4）從平差原理看，間接平差法和附有參數的條件平差法的原理、方法步驟都比較簡單。整體最小二乘平差法則復雜得多，需要更多數學知識的支撐。但整體最小二乘平差法顧及了所有觀測值，是當前情況下的最佳估計值解法。

（5）在實際應用中，若對解算精度無特殊要求，可選用計算簡單的間接平差法；若對精度要求較高，則建議選擇整體最小二乘平差法。

參考文獻：

[1] 邱衛寧，陶本藻，姚宜斌，等.測量數據處理理論與方法 [M].武漢：武漢大學出版社，2008：27-28.

[2] 丁克良，沈云中，歐吉坤.整體最小二乘法直線擬合 [J].遼寧工程技術大學學報（自然科學版），2010，29（1）：44-47.

[3] 王繼剛，周立，蔣廷臣，等.一種簡單的加權整體最小二乘直線擬合方法 [J].測繪通報，2014（4）：33-35.

[4] 武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎 [M].武漢：武漢大學出版社，2009：44-47.

[5] Paul R.Wolf，CharlesD.Ghilani.AdjustmentComputations：Statistics and Least Squares in Surveying and GIS [M].John：WileySons，Inc 1997：123-125.

[6] 魯鐵定，陶本藻，周世健.基于整體最小二乘法的線性回歸建模和解法 [J].武漢大學學報（信息科學版），2008（5）：504-507.

作者簡介：鮑新雪（1991.11-），女，漢族，河南駐馬店人，碩士研究生，教員。研究方向：數據處理。