妙用舊知“學材” 巧促思維抽象

摘 要：“畫線段圖”解決問題的策略是小學生應掌握的解決問題的策略之一。對于該策略的教學，教師有必要把舊知作為“學材”引入，給學生一個助跑器。將舊知的逆向轉化為“學材”，新知就應運而生，學生在探索中求知，在理解與掌握中深化，最終達成目標，既發展了學生的幾何直觀，又增強了學生數學學習的興趣。

關鍵詞：“學材”；思維抽象；線段圖；策略

教學內容：蘇教版小學數學四年級下冊48～49頁。

教材分析：《畫線段圖描述和分析問題》這一節是在學生學習三年級及四年級上學期等內容的基礎上講解，可以發展學生的幾何直觀能力，讓學生借助幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象，是探尋解決問題的思路與方法。本節教學主要引導學生運用畫線段圖的策略描述問題，借助直觀線段圖分析數量關系，尋求解決問題的思路，并在探尋中不斷積累解決問題的經驗，感悟直觀化的數學思想方法，發展幾何直觀，提高分析問題和解決問題的能力。

教學目標：

1.通過教學，使學生在解決問題的過程中學會使用線段圖描述問題，借助直觀的線段圖分析數量關系，進而使問題得到解決。

2.學生經歷了解決問題的過程，使其進一步積累解決問題的經驗，感受用線段圖描述和分析問題對于問題解決的有效價值，發展幾何直觀，提高分析和解決問題的能力。

3.通過教學使學生增強解決問題的策略意識及思維，在問題解決過程中獲得成功體驗，增強學好數學的自信心。

教學重點：學會用“畫線段圖”的策略整理條件和問題，理解兩個數的和與差的關系，使問題得以解決。

教學難點：正確借助“畫線段圖”的策略整理條件和問題，把數量關系簡化成圖，使學生頓悟“問題明了”思維：原來問題可以化難為易，原來問題可以這樣解決。

設計理念：學生的學習是一個由易到難逐步遞進的過程，對一個新知的學習有必要建立在舊知基礎上，讓學生的學習不再唐突。畫線段圖在學生簡短學習史中是沒有的，但在幼兒園及低年級學習中有過畫小棒及其他圖形替代的方法描述問題的經驗，教師借此作為“學材”讓學生生發出畫線段圖描述問題的策略，師生共同經歷探索畫線段圖描述與分析問題的過程，使問題逐步變得簡明直觀，學生在直觀的線段圖面前，瞬間明白問題該如何解決。在探尋策略中學生不斷積累解決問題的經驗，感悟直觀化思想方法，教師教給學生一種數學學習的思想，發展學生的幾何直觀，提高分析和解決問題的能力，學生的數學素養也在“潤物細無聲”中得到提升。

設計思路：

此教學設計本著在舊知基礎上啟蒙新知，給學生一個墊腳的石頭，讓學生踮起腳就可以摘到“蘋果”的同時還能看到“遠方”。具體思路如圖1：

教學過程：

一、溫故出新：蘊“線段圖”策略

師：同學們，你們今年讀的是幾年級？

生：四年級。

師：老師出一道題，大家猜猜是幾年級的。（師出示圖2）

生1：三年級的。

師：不對。

生2：二年級的。

師：的確是二年級的，現在還能想起來當時是怎么做的嗎？

生2：小軍再添上4個彩珠，就和芳芳的同樣多了。

生3：芳芳去掉4個彩珠，就和小軍的同樣多了。

生4：從芳芳那里拿2個給小軍，他們的彩珠就一樣多了。

師：想想當時老師是怎樣引導你們解決這個問題的。

生5：用擺圓片代替彩珠的辦法。

師：現在四年級了，手中沒有彩珠、沒有圓片怎么辦？

生6：畫圖。

師：畫什么樣的圖？怎樣畫？

生7：畫小棒代替彩珠。

生8：畫圓圈代替彩珠。

生9：畫三角形代替彩珠。

師：原來同學們都明白畫圖可以幫助我們解決問題。現在老師把題目改成這樣：（出示圖3）

師：同學們思考一下，怎樣畫圖解決呢？（學生自由畫圖解決）

【設計說明】小學生的數學學習與教材的編排有相依相輔相成性，在學生學習新知前教師有必要喚醒學生內存的舊知，以舊知作為學材，化新為舊，化陌生為熟悉，啟動學生思維的運轉，使學生的學習不至于脫節，產生似曾相識的感覺。二年級所學的是“求比一個數多（少）幾的數是多少的實際問題”，正是今天新授內容的逆向，只要引導學生把“逆向”這個“彎”轉過來，新的問題就迎刃而解了。

二、“虛實相生”：探“線段圖”策略

師：（巡視指導）思路理順了，問題解決了，可以在小組里分析講解給組員聽，聽后說不定能從組員那里獲得更好的靈感，幫助自己更好的解題。（學生在組長帶領下相互分析講解）

【設計說明】教師把二年級學習的內容展現給現在的學生，把以前的舊知識作為學材提供出來，為學生自我的探索搭建了平臺，學生在探索中都有自己的解題妙法，有的方法并不完備，有的學生的思考猶如水管中前進的流水遇到一個“結”而阻滯，這時候通過互助互學，借助同伴的智慧，使“結”得以破解，思考就會“順流而下”，問題得到順利解決，或許還會有新的突破，為下面探索“畫線段圖”策略做了一個有力的鋪墊。

師：在剛才的巡視中，老師聽了好多同學的分析講解，真是智慧碰撞、妙招叢生！現在老師請幾位同學分別介紹自己小組的智慧。首先歡迎李炳文（預設姓名）同學介紹他們組的智慧成果。

生（李炳文）：（表述的內容用實物投影儀投出，如圖4）小軍和芳芳一共穿20個彩珠，我畫20個圓圈代替，芳芳比小軍多穿4個，如果芳芳不多穿4個，他們穿得就一樣多了，從20里減去4個還有16個，由于他們這時穿得一樣多，就說明每人穿8個。最后計算出小軍穿8個彩珠，芳芳穿12個彩珠。

師：李炳文同學的分析講解讓我們明白了題目原來可以這樣解，他是用畫圓圈表示彩珠的，有的同學畫小棒、畫三角形等代替彩珠的方法和他的一樣。我們再請一位同學，聽聽他是怎樣分析與講解的，有請張翰鋒（預設姓名）同學。

生（張翰鋒）：（表述的內容用實物投影儀投出，如圖5）芳芳比小軍多穿4個彩珠，如果小軍再穿4個，他們穿的彩珠就同樣多了。那么他們一共穿的20個彩珠再加上4個，就是24個彩珠。這時他們穿的彩珠一樣多，各是12個。小軍多穿4個后才是12個，求他實際穿幾個就要從12里減去4個即8個。所以，小軍穿8個彩珠，芳芳穿12個彩珠。

師：張翰鋒的解題圖比李炳文的解題圖又進一步，數字比較小時可以畫圓圈、畫小棒代替，如果數字比較大那就麻煩了，張翰鋒畫的圖稱為線段圖，這線段圖想表示多少都可以，使用線段圖表達題意要簡明一些。還有比這更簡明的嗎？有請錢多華（預設姓名）同學。

生（錢多華）：（表述的內容用實物投影儀投出，如圖6）芳芳比小軍多穿4個，從芳芳那里拿2個給小軍，他們的就一樣多了，也就是分別是10個。小軍的10個是因為芳芳給他2個，把這2個還回去就是小軍原來穿的8個，芳芳拿回給小軍的2個，就是12個。所以，小軍穿8個彩珠，芳芳穿12個彩珠。

師：（錢多華）你怎么想起畫這樣的線段圖的呢？

生（錢多華）：二年級學習時候，小軍那里擺8個圓片，芳芳那里擺12個圓片，他們是分開擺的，我只是把圓片換成線段圖就可以了，這樣就更容易看出哪是小軍的哪是芳芳的。

師：這三位同學借助二年級學習的內容，分別向我們展示了他們的智慧，你們喜歡哪一種方法呢？

【設計說明】蘇格拉底說：“我沒有智慧，我只是智慧的接生婆。”所以，教育的智慧在于喚醒。學生的內心深處“冬眠”著二年級的“故”知，給他一個“春天的顏色”，這個“故”知便會“醒”過來，對課堂進行重構，把新知轉化成舊知，學生腳下就有了一個摘下蘋果的墊腳石，稍微踮起腳尖，蘋果便唾手可得。教師在教學中有意識地喚醒，按學生思維形成與發展的順序有序提問，從實物彩珠到抽象成圓片，到抽象成線段，再到規范的線段圖，學生的學習由模糊到直觀、直觀、更直觀，由朦朧到清晰、清晰、更清晰。這整個習得的過程是學生求知的過程，同時也是學生認知發展的過程，符合學生的求知過程，會使學生的學習向深度發展。

生10：第一種。

生11：第二種。

生12：第三種。

師：請同學們仔細對比斟酌，哪種方法更直觀、更清晰呢？

生（全體）：第三種。

師：這種解題策略如此好，這就是我們今天要學習的解決問題的策略：畫線段圖。（師板書課題，出示例題）

例題：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？你能根據題意畫出線段圖，列式解答嗎？

（學生自由完成，教師巡視指導）

師：誰來把自己利用畫線段圖解決問題的過程給大家分析講解呢？

生13：（表述的內容用實物投影儀投出，如圖7）我先畫出一條線段表示小寧有多少枚郵票，畫小春有多少枚郵票時，先畫出一段和小寧一樣長的線段后再畫出多的12枚，這樣他們一共有72枚。用72枚減去12枚等于60枚，60枚除以2就得到小寧有30枚，30枚加上12枚是42枚，這就是小春的郵票數了。

師：按照二年級所學的解決這類問題的思路，剩下的兩種思路誰來理順一下呢？

生14：72枚加上12枚等于84枚，84枚除以2等于42枚，42枚減去12枚等于30枚。所以，小寧有30枚郵票，小春有42枚郵票。

生15：72枚除以2等于36枚，36枚加上給小寧的6枚等于42枚，這是小春的郵票數；36枚減去6枚就得到小寧有30枚。

【設計說明】教材是學生掌握知識、拓展思維、提升素養的橋梁與紐帶，教師在教學中有必要回歸教材，讓學生有據可依，讓學生形成一個整體的思維認知，在思維中構建出自我的數學認知體系。低年級的內容化為“學材”，水到渠成地讓學生習得了“畫線段圖”解決問題的策略。再出示例題讓學生分析理解，使學生對習得的策略有個很好的定位，同時讓“圖”與“數量關系”有機結合，做到讓學生“看圖能分析出數量關系”，促使學生抓住問題的關鍵，展開有效的思考。

三、猶疑不定：驗“線段圖”策略

師：用二年級學習知識的思路，解決四年級的內容，你們能保證這樣是合適的嗎？（學生默不作聲）懷疑自己的思考不敢下結論吧，其實使自己自信的有效措施就是檢驗。現在可以把自己得到的結論代入原題檢驗就知道了。把計算出來的得數代入檢驗什么呢？

生16：檢驗兩個人的郵票總數是不是72。

師：說得好，大家檢驗一下吧。（學生開始檢驗）結論是什么？正確嗎？

生16：正確。

師：還檢驗什么？

生17：檢驗小春是不是比小寧多12枚郵票。

師：動手檢驗吧。（學生開始檢驗）結論是什么？

生17：正確。

師：我們在學習中要有懷疑的精神，不是懷疑自己做得對還是錯，而是在懷疑中尋求更好的解題策略。

師：我們以前學習了從條件和問題出發分析及列表整理條件和問題等策略，今天學習了畫線段圖解決問題的策略，和以前探索解決問題的策略相比，你有什么體會、感觸要說嗎？

生18：在學習新知識時，首先想到舊知識在哪里，可以幫助我們更好地學習新知識。

生19：畫線段圖解決問題，比畫圓圈、三角形要清晰，讓人一看就明白。

生20：原來感覺學習數學很難，現在看來學習數學沒有什么難的，學習新知時想到舊知就可以了，我開始喜歡數學了。

生21：用線段圖解決問題，無論是多大的數都可以表示，比畫其他圖形簡單多了。

生22：我想到把新知識轉化成舊知識來學習，會使我們更好地掌握新知識。

生23：這節課讓我體會到什么是“溫故而知新”了。

【設計說明】檢驗的方法是次要的，檢驗的精神是必須的，這是尋求完美或者做到更深層次的一條捷徑。學生在自我的習題檢驗中，明確檢驗的重要性，反思自己使用策略的合理性。檢驗的做法就是教給學生一個設問，自我懷疑是72枚嗎？是不是小春比小寧多12枚？檢驗的結論是什么？在檢驗的肯定中增強了學生數學學習的自信心。

四、“話”中有“畫”：拓“線段圖”策略

師：以前學習中我們曾用畫圖策略解決問題，這節課學習的是畫線段圖解決問題的策略，現在就用自己所學檢驗自己所得吧。（出示圖8）

（學生認真完成，教師巡視指導后，師生共同完成）

【設計說明】學生在整個內容學習中沒有真正地畫線段圖，既然教學內容是“畫線段圖”解決問題，那么學生畫的成分就不能少，讓學生經歷畫的過程，促使其形成畫圖的技能，為今后的策略運用打下基礎。通過第一題由實物圖到線段圖轉化，激活了學生習有的畫圖經驗，對于學生來說是一個直觀到更直觀的轉變；第二道題的出現是讓學生知道線段圖不僅有直的還有曲的，線段圖不僅在該類問題中使用，解決行程類問題同樣可以，讓學生對“畫線段圖”策略理解的思維外延變大，也為下節課學習畫示意圖埋下種子。

五、板書設計

設計后的慎思：

筆者去年任教二年級數學，今年因人事調整沒有跟隨三年級，依然任教二年級數學。面對低年級學生，筆者再次捧起數學課本，清楚地知道低年級學生以形象思維為主，中年級只是一個過渡。教學中努力地把教學內容生活化、直觀化，讓學生學習每一個新內容時都能找到以前熟悉的舊知識、生活中的身影，對“畫線段圖解決問題的策略”教學同樣如此，通過畫線段圖解決問題，線段圖是一個抽象的東西，無論是路程、速度、物體數量等，都可以用線段來表示，對于數量關系的分析，抽象出的線段圖的“前世”是什么？是由什么抽象而來的？正巧接到“藍天杯”教學設計的通知，筆者在思維中還沒有忘記用圓片代替實物，這就是由實物抽象成圓片，替代的圓片數量少可以畫出來，那要是數量多又如何畫呢？這不就逐步過渡到線段了嗎？于是教學設計就從二年級的數學內容著手，讓學生“穿越”到二年級，用“現代”思維去解決“古代”內容，從中獲取靈感，在二年級內容的創新改進下，就有了這節內容的數量關系，為使這節的數量關系更加清晰，用線段圖表示就“水落石出”了，同時也教給學生一種數學學習的思想方法——新知化舊知。這正符合學生數學學習的心理規律，由低層次的形象直觀，逐步抽象到高年級的幾何直觀，符合學生高階思維的態勢。

回顧思考去年兩位數學教師對該內容的同課異構，教師甲原意是使新授內容有個鋪墊，出示這樣一題：“小寧和小春共有72枚郵票，得知他們的郵票數同樣多，請問兩人各幾枚？”在學生解答后再出示例題（前方已有），組織學生觀察對比這兩題，分析是什么條件發生了改變，學生回答后再想辦法把數量之間的關系變得更直觀、清晰，結果學生回答得似是而非，教師的原意被學生曲解了。事后筆者反思學生為什么會曲解教師甲的言下之意，這是因為教師甲沒有給學生一個合理的墊腳石，沒有讓學生體會到題目中數量關系的隱蔽性，可想而知學生的習得效果是不盡人意的。教師乙直接把例題投示，讓學生思考解決，學生大多列出72÷2=36枚、36-12=24枚、36+12=48枚，究其原因在于學生認為先平均分后，多就加少就減，雖說教師有了一個引導，讓學生檢驗正確性，驗證結論出錯了，告訴學生只符合其中一個條件不能說明問題。由于部分學生見過書上內容，學生悄悄地畫起了線段圖，教師借機出示了書上的線段圖，表面上看教學很順利，事后筆者也有思考：學生的實際學習效果如何呢？學生思維深度的活動率呢？符合學生對數學的認知過程嗎？當然教師乙比教師甲有進步，但對學生高階思維的開發，對學生深度學習的發展，對幾何直觀的深層次頓悟，對該策略的成功體驗、價值感受、產生應用的心理意識等，沒有做到助推發展。

回顧本次的教學設計，關鍵在于在尋根的基礎上有感而發。在靜心回想四年前自己教學該內容時，并非類似于今天的設計，記得當時的思路是首先師生共同理解題意，其次是借用上學期的列表法整理條件產生沖突，開始尋求新的策略，引導學生畫線段圖表達條件的直觀與清晰，利用畫線段圖策略使內容直觀清晰化后解決問題，再次是引導學生驗證結論，強調檢驗的重要性，最后總結內容談談體會與收獲。課上的思路清晰，但對學生學習數學表征的表達來說并不理想，這是從作業批改中反映出來的，當時沒有進行深入思考，今天想來對學生是有欠缺之處的。

這次的教學設計對于學生來說，數學的學習并不是無根水，而是基于“學材”的舊知臺階慢慢地攀升。學生在課堂中的表現是拾級而上，輕松地掌握了畫線段圖解決問題的策略。