對(duì)2018年全國(guó)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)12題的“一題多解”探究

摘 要：“一題多解”是克服學(xué)生思維定式的一種有效途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和思維靈活性的有效方法.通過長(zhǎng)期“一題多解”的訓(xùn)練，學(xué)生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路，并從多種解法的對(duì)比中選擇最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，提高分析問題、解決問題的能力，使思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性增強(qiáng).本文以一道高考試題為載體淺談“一題多解”的必要性和重要性.

關(guān)鍵詞：高考試題；一題多解；必要性；重要性

2018年全國(guó)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第12題，題目雖不新穎，但是內(nèi)涵豐富，解法豐富多樣，這類題型的練習(xí)對(duì)學(xué)生的發(fā)散性思維有一定的啟發(fā)性，引起了筆者的深入探索和思考.

一、題目呈現(xiàn)

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（ ）

A.23

B.12

C.13

D.14

二、試題分析

本題屬于傳統(tǒng)題，以橢圓的離心率為載體考查數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，也考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、解法探究

本題的多種解法主要是以圓錐曲線的代數(shù)與幾何雙重特征為切入點(diǎn)，尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，探究解題的思路和方法.不同的解法體現(xiàn)不同的思維層次和思考角度，學(xué)生較容易入手，同時(shí)也要求學(xué)生要有一種勇于探索、敢于實(shí)踐的精神.根據(jù)題意畫出圖形如下：

解法1：直接法

由A是C的左頂點(diǎn)知A（-a，0）.

因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c.

由∠F1F2P=120°知P（2c，3c）.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上，所以kAP=3c-02c+a=36，

即a=4c，所以e=14，選D.

解法2：聯(lián)立方程組

由條件可知直線PA的方程為y=36（x+a），直線PF2的方程為y=3（x-c），聯(lián)立兩條直線方程y=36（x+a），y=3（x-c），解得xP=a+6c5，yP=35（a+c）.

由條件知F1（-c，0），kPF1=33，

即35（a+c）a+6c5+c=33，

解得a=4c，所以e=14，選D.

解法3：利用余弦定理

在△AF2P中，PF2=F1F2=2c.

由余弦定理可知：

|PA|=（a+c）2+（2c）2+2c（a+c）=7c2+a2+4ac.

因?yàn)閠an∠PAF2=36，所以sin∠PAF2=113.

在△APF2，△PF1F2中利用高相等有7c2+a2+4ac×113=2c×32=3c，

即32c2-4ac-a2=0，

解得e=14（負(fù)值舍去），選D.

解法4：利用正弦定理

因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c，PF1=23c.

因?yàn)閟in∠APF1=sin（∠PAF1+∠AF1P），tan∠PAF1=36，sin∠PAF1=113，cos∠PAF1=2313，∠AF1P=150°，

所以sin∠APF1=3926.

在△APF1中，由正弦定理有AF1sin∠APF1=PF1sin∠PAF1，即a-c3926=23c1313，

所以e=14，選D.

事實(shí)上，也可以由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2，

即2ca+c=113sinπ3-∠PAF2=11332×1213-12×113=25，

所以a=4c，即e=14，選D.

【點(diǎn)評(píng)】我們教師在試題講解過程中要向?qū)W生滲透從多角度深刻剖析問題的思想.只有讓學(xué)生的思維在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，學(xué)生的思維在不斷的展開中得到充分的訓(xùn)練和培養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)律解題，思維線路短，過程簡(jiǎn)潔，大大提高解題的速度，“觸類旁通”的“巧思”也就一定會(huì)順其自然地產(chǎn)生.

下面給出兩道不錯(cuò)的一題多解練習(xí)題供讀者參考：

2013年全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第15題：

當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sin x-2cos x取得最大值，則cos θ=.

2015年重慶高考文科數(shù)學(xué)第14題：

若正數(shù)a，b滿足a+b=5，則a+1+b+3的最大值是 .

四、解題反思

教學(xué)時(shí)我們應(yīng)抓住有效時(shí)機(jī)讓學(xué)生試著靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)、思想和方法創(chuàng)造性地解決問題.在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過程中，我們既要提供讓學(xué)生展開思維的空間，激發(fā)其思維的活躍性，使他們勇于思維；還要巧于點(diǎn)撥，使他們學(xué)會(huì)思維，科學(xué)地思維，提高其思維的質(zhì)量.這樣，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的思維，點(diǎn)燃學(xué)生創(chuàng)新的火苗.對(duì)解法的探索是在踐行我們所學(xué)的知識(shí)技能和思想方法，同時(shí)也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對(duì)試題本質(zhì)的探源，使我們更深刻地認(rèn)識(shí)問題，將新舊解題經(jīng)歷跨時(shí)空貫通起來，這又是一個(gè)新的開始.

五、結(jié)束語

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會(huì)解題，而想要學(xué)會(huì)解題，好的數(shù)學(xué)題目是關(guān)鍵.一道好的試題之所以能引起大家的共鳴，不是因?yàn)槠洫?dú)特的解題技巧，而是其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.正如波利亞說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n教師能拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)展問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域.”