融入數學史的復數概念教學

摘 要：通過對復數數學史中歷史素材的分析，闡述了引入虛數的必要性.在復數概念的教學設計中，創造性地應用歷史素材，將數學文化融入課堂教學.分析了教學設計中附加式、復制式、順應式和重構式等多種運用數學史的方式，并簡述了數學史融入數學教學的人文價值.

關鍵詞：復數;虛數;數學史;融入數學教學;教學設計

一、引言

復數是數學學科中的核心概念，學生學習復數概念時會遇到很多困難，尤其會對為什么要引入虛數感到困惑.教材中用“方程x2+1=0的求解問題”引入，回顧了數系擴充的過程、目的和原則，從數學內部的需求出發，引入了新數.實際上，不少學生并不理解為什么要讓一個在實數中無解的方程有解.由于前幾次數系的擴充與生活中的實際問題緊密聯系，而虛數的引入找不到實際背景，這就導致學生在學習復數概念時，變成了機械的符號、公式學習.要解決這些疑惑，可以以史鑒今，對數學史中的相關素材進行加工創造，幫助學生理解復數.

二、復數的歷史及分析

復數的起源可以追溯到16世紀，在那之前，數學家們一致認為“負數沒有平方根”，在求解一元二次方程遇到Δlt;0的情形時，均認為無解.

1545年，意大利數學家卡爾達諾（G.Cardano，1501-1576）在《大術》中提出了一道著名問題（卡爾達諾拆數）：將10分成兩部分，使它們的乘積等于40.這是一元二次方程x（10-x）=40的求解問題，卡丹給出了兩個根5+-15和5--15，顯然，5+-15乘5--15可得25-（-15），即40.卡丹本人并不理解這種數，也拒絕了它，但這依然是具有歷史意義的一刻.除此以外，在《大術》中，卡丹給出了三次方程x3=px+q的一個求根公式：x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33，并用幾何方法作了證明，在運用公式時也遇到了負數開平方問題.如求解方程x3=9x+10時，q22-p33lt;0.據說該成果的發現應歸功于意大利數學家塔塔里亞（N.Tartaglia， 1499-1557）.

同時期，意大利數學家邦貝利（R.Bombelli，1526-1572）發現方程x3=15x+4有三個實根4，-2±3，但運用三次方程求根公式，卻得到了形如x=32+-121+32--121的根.邦貝利經過假設和計算，他得到了32+-121+32--121=4這樣矛盾的結論.讓所有人吃驚的同時，思考使得“無意義”的數變得有意義，這一事件標志著復數的產生.

1629年，荷蘭數學家吉拉爾（A.Girard，1595-1632）在著作《代數新發現》中就提出代數基本定理——每個n次方程都有n個根，并給出了方程根與系數之間的關系法則.吉拉爾表示：為了保證根的個數，應該接受虛數，至少可以把它作為方程的形式解.

1676年，德國數學家萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）在研究方程組x2+y2=2，xy=2 時，得到了等式1+-3+1--3=6，他認為“自己是第一個不通過開方而將虛數形式的根化為實數值的人”.

法國數學家笛卡爾給這些數取名為imaginary number——虛數，意思是“想象中的數”.后來，高斯為了將虛數b-1與a+b-1區別開來，引入了復數（complex number）.

上述四個歷史素材：卡爾達諾拆數、邦貝利解三次方程、吉拉爾代數基本定理、萊布尼茨解二元二次方程組，都是與解方程有關的問題，未出現與生活實際的聯系，這說明虛數的出現是數學內部的需求.卡爾達諾拆數第一次出現負數開方的符號，但卡爾達諾并未接受它，這與學生的思維相似;吉拉爾代數基本定理雖然反映了數學內部的需求，但是脫離了學生學習的最近發展區;萊布尼茨解方程組雖然出現了式子1+-3+1--3=6，卻是基于接受虛數而展開的研究.而邦貝利解三次方程可從求根公式和因式分解兩個角度得到32+-121+32--121=4這一矛盾，這個來自數學內部需求的矛盾，很好地回答了我們引入虛數的必要性.

三、復數概念的教學設計

1.創設情境，凸顯矛盾

活動：（拆數游戲）

教師：將10拆成兩個數，使其乘積分別為25，-11，994，20，40，則這兩個數各是多少？（學生分組進行拆數游戲）

學生（活動后，反饋5組游戲結果）：5和5，-1和11，92和112，5-5和5+5，不能拆.

教師：這5組拆數游戲分別是解5個一元二次方程x2-10x+a=0，其中a的取值依次為25，-11，994，20，40.前4個方程分別體現了在自然數集、整數集、有理數集、實數集內有解.第5個方程是1545年意大利數學家卡爾達諾在《大術》中提出的問題“把10分成兩部分，使其乘積為40”.卡爾達諾給出了這樣的答案：5--15和5+-15，你們有何想法？

學生主要有以下觀點：負數不能開平方;沒意義;沒解就沒解;數軸上畫不出來等.也有同學表示，可以接受卡爾達諾的答案.

課例賞析

【設計意圖】以歷史上卡爾達諾拆數的改編引入，體現數學問題源于生活問題（游戲）.卡爾達諾拆數第一次出現“負數開平方”的表示，但沒有接受“新數”.讓學生重走歷史，激起對新數的疑惑，為新知的學習做好鋪墊.

教師：除了一元二次方程的一個求根公式，一元三次方程也有求根公式：卡爾達諾在《大術》中給出了三次方程x3=px+q的一個求根公式：x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33.16世紀意大利數學家邦貝利在解三次方程x3=15x+4時，用求根公式解出的三個根是-2±3或32+-121+32--121;用因式分解得（x-4）（x2+4x+1）=0，解出的三個根為-2±3和4.同學們，邦貝利發現了什么？

學生：32+-121+32--121=4！

教師：是的！三次方程有三個根，同一個三次方程有完全相同的三個根，邦貝利的發現使得實數被“負數開平方”表示了.這使得我們要解決三次方程求根公式在應用中的矛盾，就必須接受負數可以開平方.

【設計意圖】通過對數學史中素材的加工，讓學生經歷實數被“負數開平方”表示的矛盾，使學生認識到“負數開平方”是數學內部發展的需求，我們有必要接受它，幫助學生消除學習新知的心理障礙.在探究過程中，得到矛盾是應用了代數基本定理，無需在課堂上進行定理的介紹.

2.合情推理，引入新數

教師：如果大家生活在只有自然數的時期，會認為后4組游戲都不能拆，那么是什么原因使得大家能進行多組游戲呢？

學生：數系擴充了（數的范圍擴大了）.

教師：很好.為了解決借貸等問題，引入了負數;為了解決3個蘋果分給4個人的問題，引入了分數;為了解決邊長為1的正方形的對角線長的問題，引入了無理數.從數學內部的發展需求來看，它們分別是為了讓方程x+3=0，3x=4，x2=2有解，在原有數集的基礎上“添加”了新數，解決了在原有數集中無解的矛盾.那么，如何解決“負數開平方”的矛盾呢？

學生：“添加”新數（擴充數系）.

教師：好.因為-a=a·（-1）（agt;0），所以要讓所有負數都能開平方，需要哪個負數能開平方？

學生：-1.

教師：“-1能開平方”就是“方程x2=-1有解”.由此，我們引入一個新數i（用i表示-1），使得i2=-1，i稱為虛數單位.新數i源自“imaginary number”的首字母，由數學家笛卡爾提出，意為“想象中的數”.

有了虛數單位i，即-1=i.由-a=a·（-1）（agt;0）結合a·b=a·b（a≥0，b≥0），進行類比推理得-a=a·-1=a·i（agt;0），例如-2=2i，-15=15i.這樣，所有負數就都能開平方了.

【設計意圖】以數學史中的生活實際問題為線索，回顧數系擴充的4個階段：自然數引入負整數整數引入分數有理數引入無理數實數，再回到以數學內部的發展需求（解方程的需要），推動學生從接受“負數開平方”，自然而然地完成新數——虛數的添加，變生硬地接受為主動地“創造”，為完成數系擴充的第5階段“引入虛數復數”做好鋪墊.

3.抽象概括，深化理解

教師：請大家用虛數單位i表示本節課出現的虛數：--15，5+-15，-121，2--121.

學生：-15i，5+15i，11i，2-11i.

教師：特別地，如果把0表示為0+0·i，5表示為5+0·i，-15i表示為0-15i，大家能歸納出引入新數后數的統一表達形式嗎？

學生：a+bi，其中a，b為實數.

教師：我們把形如z=a+bi（a，b∈R）的數叫做復數，全體復數所構成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做復數集，a，b分別稱為復數z的實部和虛部.

口答1：說出下列復數的實部和虛部：-2+13i，2+i，22，-3i，i，0.

【設計意圖】改寫課堂中出現的復數的具體形式，促進學生通過簡單運算理解虛數單位，再抽象概括出復數的結構形式，以復數的結構形式推動復數的理解，即復數是實數a與虛數bi相加的運算結果，虛數bi是實數b與虛數單位i相乘的運算結果等.進而理解復數是一個二元數，與有序實數對（a，b）一一對應.

教師：從實數集擴充到復數集之后，兩個復數相等的條件是什么？實數集和復數集之間的關系又是什么？

復數a+bi和c+di相等的充要條件是a=c且b=d.

復數z=a+bi中a，b取不同的值時，能確定具體的復數形式：

①當b=0時，a+bi是實數a;特別地，當a=0且b=0時，a+bi是實數0;

②當b≠0時，a+bi是虛數;

③當a=0且b≠0時，a+bi是純虛數bi.

教師：請大家用文氏圖（Venn圖）表示復數集、實數集、虛數集和純虛數集的關系.[學生討論完成圖示，再將討論結果與圖示結果（如圖1）對應起來]

圖1

口答2：指出下列各數，哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數？

2+7，0.618，27i，0，i，i2，5i+8，3-92i，i（1-3），2-2i.

【設計意圖】完成復數集的概念教學后，進行概念的進一步學習，如元素間關系、新集合與原有集合關系的研究等.對集合關系的研究可以從數與形兩個角度幫助學生理解鞏固概念，再用有關復數的口答題強化復數的分類.

4.例題簡析，強化概念

例1.實數m取什么值時，復數z=m+1+（m-1）i是實數、虛數、純虛數？

例2.如果（x+y）+（y-1）i=（2x+3y）+（2y+1）i，求實數x，y的值.

【設計意圖】兩道例題都是概念的應用，例1是對具體的復數形式進行分類，例2是對具體的復數相等應用實部、虛部分別對應相等，通過例題應用鞏固概念.

5.課堂小結，寓教于史

復數概念在第一課時的復習中，以實數、虛數、復數的歷史命名（如圖2）為載體，鞏固了從實數集到復數集的擴充，復數的表示形式、復數相等、復數分類等知識.

在復數相關概念學習之后，教學實踐中介紹了充滿數學和諧美的式子（歐拉公式）：eiπ+1=0，這個式子聯系了5個來自數學不同領域的數.

【設計意圖】用歷史命名的合理性，凸顯復數發展的歷程，讓學生再次體會“真實”的實數和“想象”的虛數，將學習復數時的情感與歷史相融合.用歐拉公式進行數學的美育，展示簡潔美、和諧美、智慧美，用數學的美激發學生探秘數學的興趣.

四、數學史融入教學方式的分析

數學史融入教學的方式有附加式、復制式、順應式和重構式.上述教學片斷中，首先是順應式，將“卡爾達諾拆數”問題設計成拆數游戲，游戲范圍從自然數擴大到實數，再現了卡爾達諾“負數開平方”的大膽猜想和不能接受的矛盾心理.其次是重構式，將“邦貝利解三次方程”的經過簡化，重構歷史的發展順序，凸顯數與數的矛盾，讓學生產生強烈的認知沖突.再次是復制式，簡述數系擴充歷史中的數學問題和解決方式，從數學外部的發展需求過渡到數學內部的發展需求，讓學生自然而然地“創造”出“虛數”.最后是附加式，展示了數學史中虛數、復數的命名以及相關的數學家，介紹了最美公式——歐拉公式，激發學生的學習興趣.整個教學實踐，教師通過應用數學史讓學生經歷了虛數概念的產生、發展過程，使學生較為自然地學習新知，并通過數學史讓學生感受到，數學家們也曾經歷困惑，遇到困難，讓學生正確看待學習知識時遇到的困難.

五、結語

學生理解數學知識的過程與歷史中人們理解數學知識的過程相似，因此，回溯數學史中數學知識的發展過程，能有效促進學生對新知識的學習.這樣的數學學習是自然的，因為它源于歷史，能夠讓學生了解知識的來龍去脈，從而變生硬地接受為自然地吸收.融入數學史的教學，可以讓學生體會到數學家們堅定的意志、不懈的追求，成為陶冶情操、啟迪心靈的沃土;可以讓學生在學習知識的同時，感受到歷史名家與己同在，積極投身到數學學習的體驗之中，從而凸顯數學史在數學教學中的人文價值.

參考文獻

[1]李文林.數學史概論（第3版）[M].高等教育出版社，2011.

[2]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學數學月刊，2012（2）.