帶電粒子在疊加場中的“特殊”運動

摘 要：帶電粒子在疊加場中的運動問題是高中物理教學的重難點，也是高考備考的重點、熱點。但這類問題中有一種非常規運動，無論是在常規教學中還是在教輔試題中都鮮有涉及，然而高考卻沒有因此而駐足。筆者希望通過對該類特殊問題從不同角度的分析和拓展，能為教師的教學提供參考，為廣大考生2019年的高考備考提供幫助。

關鍵詞：疊加場;變速曲線運動;拓展

帶電粒子在電磁場中的運動問題一直是高考的重點、熱點，也是難點。在2018年的高考理綜物理試題中，很多省份的計算題，尤其是壓軸題，都考到了帶電粒子在電磁場中的運動問題。單單是帶電粒子在疊加場中運動問題也有不少省份考查。如2018年北京卷的第18題考了一道6分的選擇題，2018年浙江4月份選考試題的第22題考了一道10分的加試題，2018年全國Ⅱ卷第25題考了一道20分的壓軸題等。

在帶電粒子在疊加場中運動問題中，我們經常遇到這樣的一類題目，粒子既不做勻速圓周運動也不做我們熟悉的直線運動，而是一種較復雜的變速曲線運動，而且很多中學教輔資料對這類題目的解析有些模糊，同學們倍感糾結，老師們也苦于把握不好該類試題的考點與《考試大綱》的關系，以至于不敢拓展教學的深度。

筆者現將該類試題及解法整理如下，供老師和同學們參考。

一、情景設置

【問題情景1】（多選）如圖所示，整個空間存在垂直紙面向里的勻強磁場，ac為一水平線.一帶電小球從a點由靜止釋放，部分運動軌跡如圖中曲線所示，b為整段軌跡的最低點。下列說法正確的是（）

A.軌跡ab為四分之一圓弧

B.小球經過b點后一定能到ac水平線

C.小球到b點時速度一定最大，且沿水平方向

D.小球在b點時受到的洛倫茲力與重力大小相等

很多教輔資料中給的解析如下：

【解析】由于小球同時受到重力和洛倫茲力作用，且小球從a點運動到b點的過程中洛倫茲力逐漸增大，故小球不能做圓周運動，選項A錯誤;在小球運動的過程中，由于洛倫茲力不做功，故只有小球的重力做功，機械能守恒，故小球經過b點后一定能到ac水平線，選項B正確;由于b點為最低點，此時小球重力做功最多，由動能定理可知，此時小球的速度一定最大，且速度方向沿切線方向，選項C正確;小球做曲線運動，在b點有豎直向上的向心力，故洛倫茲力大于重力，選項D錯誤。

評價

試題研究

【答案】BC

我們的疑問：對選項B的解釋我們有這樣的疑惑，如果只用機械能守恒的觀點來解釋，我們可以這樣認為，當小球運動到ac水平線下方某一位置時恰好保留有水平方向的速度，此時小球的動能可不可以剛好等于小球減少的重力勢能呢？如果是這樣，機械能守恒的觀點依然成立。顯然，從上面的解析中很難駁倒這樣的疑問。

此類題目還有另一種類似的考法，就是把上題中受重力作用的小球換成受豎直向下恒定電場力但不計重力的帶電粒子，就出現了下面的情況。

【問題情景2】如圖所示，空間存在足夠大且正交的勻強電場和勻強磁場，電場強度大小為E、方向豎直向下，磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里。從電磁場中某點P由靜止釋放一個質量為m、電荷量為q的帶正電粒子（粒子的重力忽略不計），其運動軌跡如圖中虛線所示。對于帶電粒子在電磁場中下落的最大高度H，下列給出了四個表達式，可能正確的是（）

A.2mEqB2

B.4mE2qB2

C.2mBqE2

D.mB2qE

資料中給出的解析如下：

【解析】根據題意，由動能定理知粒子運動到最低點的過程中，有qEH=12mv2，即H=mv22qE;在最低點，洛倫茲力大于電場力，qElt;qvB，即vgt;EB;則有H=mv22qEgt;mv22qvB，又因vgt;EB，故Hgt;mE2qB2，且H的單位一定跟mE2qB2的單位相同，故A正確。

【答案】A

同樣，該題似乎僅從選對答案的角度給出了解釋，顯然這樣的解釋也不是我們想要的，在學生面前好像也沒有充分的說服力。

接下來筆者將根據高中學生的現有知識，以粒子在電場和磁場的疊加場中運動的情況為例，從以下兩個角度加以分析：

方法一：微元法

由題意分析易知，帶電粒子在電磁場中下落到最大高度H時，它的速度方向為水平方向，由動能定理得EqH=12mv2m-0①

設某時刻粒子豎直方向的速度分量為vy，在Δt→0的時間內，豎直方向的位移為vyΔt，因速度方向豎直向下，所以粒子受到的洛倫茲力沿水平方向，大小為Bqvy，所以粒子在Δt時間內受到水平方向洛倫茲力的沖量為BqvyΔt。

粒子從釋放到運動到最低點的過程中，

水平方向由動量定理得∑BqvyΔt=mvm-0②

豎直方向由運動學公式得∑vyΔt=H③

聯立①②③得vm=2EB，H=2mEqB2。

該種解法通過計算得到了【問題情景2】下落的最大高度H，但似乎還沒有打消同學們對【問題情景1】中B選項的疑慮，即如何證明小球一定能回到原來的高度呢？

接下來筆者將通過第二種方法來對【問題情景2】加以解讀。相信通過不同的視角，你不僅能收獲不同的解題方法，而且能完美解除你對【問題情景1】中B選項的疑慮，從而讓你對該類試題收到他山之石可以攻玉的良好效果。

方法二：運動的合成與分解

因粒子運動的初速度都為0，如圖甲，我們可以應用運動的合成與分解的方法，將它為0的初速度分解為大小相等方向相反的水平向左和水平向右的速度v，如圖乙所示。

甲 乙

設v的大小滿足Bqv=Eq，即v=EB，則帶電粒子的運動可看成是沿水平向右方向的勻速直線運動和在豎直平面內沿逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，如圖丙所示。

丙

由洛倫茲力提供向心力得Bqv=mv2r，

可得粒子做圓周運動的軌跡半徑r=mvqB，

代入v=EB，得r=mEqB2。

因為水平向右的分運動不會使帶電粒子產生沿電場線方向的位移，所以當帶電粒子做圓周分運動到最低點時，對應著沿電場線方向運動的最大距離H=2r=2mEqB2。

粒子在任意時刻的實際速度可認為是兩個分運動速度的矢量疊加，因此當帶電粒子運動到最低點時，圓周運動的瞬時速度與水平向右的勻速直線運動的速度方向相同，合速度達到了整個運動過程的最大速度vm=2v=2EB，如圖丁所示。

丁

另外，粒子沿逆時針方向的圓周運動經過最高點時，速度恰好水平向左，與水平向右的勻速直線運動的合速度恰好為零，即此時粒子的合速度恰好為零。再由能量守恒定律可知，此時粒子一定上升到了原來的高度。據此可以判斷，粒子的運動也應具有周期性，且周期大小就等于圓周分運動的周期T=2πmqB。那么粒子在一個周期內向右前進的距離λ=vT=2πmqBv= 2πmEqB2。

綜上可定性畫出粒子的實際運動軌跡，如圖丁中實線所示。

以上分析給出的情況都是粒子由靜止釋放即初速度為零的情況，如果粒子的初速度不為零我們又該如何處理呢？高考會遇到嗎？且往下看。

二、定位高考

【真題反思】[2011福建理綜]如圖甲，在xgt;0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B。一質量為m、帶電荷量為q（qgt;0）的粒子從坐標原點O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖甲，不計粒子的重力。

甲 乙 丙

（1）求該粒子運動到y=h時的速度大小v;

（2）現只改變入射粒子初速度的大小，發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡（y-x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖乙所示;同時，這些粒子在y軸方向上的運動（y-t關系）是簡諧運動，且都有相同的周期T=2πmqB。

Ⅰ.求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s;

Ⅱ.當入射粒子的初速度大小為v0時，其y-t圖像如圖丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅Ay，并寫出y-t的函數表達式。

【解析】（1）因洛倫茲力不做功，只有電場力做功，由動能定理有

-qEh=12mv2-12mv02①

由①式解得v=v20-2qEhm②

（2）Ⅰ.由圖乙可知，所有粒子在一個周期T內沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內前進的距離。設粒子恰好沿x軸方向勻速運動的速度大小為v1，則

qv1B=qE③

又因為s=v1T④

式中T=2πmqB，

解得s=2πmEqB2⑤

Ⅱ.設粒子在y軸方向上的最大位移為ym（圖丙曲線的最高處），對應的粒子運動速度大小為v2（沿x軸方向），因為粒子在y軸方向上的運動為簡諧運動，因而在y=0和y=ym處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，則

qv0B-qE=-qv2B-qE⑥

由動能定理有-qEym=12mv22-12mv20⑦

又因為Ay=12ym⑧

由⑥⑦⑧式解得Ay=mqBv0-EB，

可寫出圖丙曲線滿足的簡諧運動y-t函數表達式為y=mqBv0-EB1-cosqBmt。

【答案】（1）v20-2qEhm

（2）Ⅰ.2πmEqB2 Ⅱ.y=mqBv0-EB 1-cosqBmt

三、考點升華

當我們還在糾結以上分析的情況是不是有些超綱時，下面這道試題似乎又把我們的疑慮拉到了教材中。

【考點示例】粒子速度選擇器的原理圖如圖所示，兩水平長金屬板間有沿水平方向、磁感應強度大小為B0的勻強磁場和方向豎直向下、電場強度大小為E0的勻強電場，一束質量為m、電荷量為q的帶電粒子，以不同的速度從小孔O處沿中軸線射入此區域，研究人員發現有些粒子能沿中軸線運動并從擋板上小孔P射出此區域，其他還有些帶電粒子也能從小孔P射出，射出時的速度與預期選擇的速度的最大偏差量為Δv，通過理論分析知道，這些帶電粒子的運動可以看成沿中軸線方向以速度為v1的勻速直線運動和以速度為v2在兩板間的勻強磁場做勻速圓周運動的合運動，v1、v2和Δv均為未知量，不計帶電粒子重力及粒子間的相互作用.

（1）若帶電粒子能沿中軸線運動，求其從小孔O射入時的速度v0;

（2）增加磁感應強度的大小后，使帶電粒子以（1）中的速度v0射入，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，兩板間距d應滿足什么條件？

（3）磁感應強度大小為B0時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量Δv，從而提高速度選擇器的速度分辨本領，水平金屬板的長度L應滿足什么條件？

【解析】（1）對粒子受力分析知，當粒子受電場力和洛倫茲力的合力為零時，才能沿中軸線運動，所以有qE0=qB0v0，得 v0=E0B0。

（2）增加磁感應強度的大小后，使帶電粒子以（1）中的速度v0射入，則粒子不能沿中軸線運動，那么，帶電粒子的運動可以看成沿中軸線方向以速度為v1的勻速直線運動和以速度為v2在兩板間的勻強磁場做勻速圓周運動的合運動;勻速圓周運動初始時刻速度方向水平，向心力方向豎直，所以，任一粒子將在中軸線的一邊運動;所以，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，則兩板間距的一半d2應大于粒子做勻速圓周運動的直徑;對于沿中軸線方向以速度為v1做勻速直線運動的粒子有

qE0=qBv1，所以v1=E0B，

所以，對于以速度為v2在兩板間的勻強磁場做勻速圓周運動，根據運動的合成與分解有

v2=v0-v1，

所以，R=mv2Bq=mBqE0B0-E0B=mE0q·B-B0B2B0。

設B=kB0，則R=-1k-122-14mE0qB20。

所以，當k=2時，R取得最大值，Rmax=mE04qB20，

當d2gt;2Rmax時， 即 dgt;4Rmax=mE0qB20。

要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，兩板間距d應大于mE0qB20;

（3）磁感應強度大小為B0時，粒子做圓周運動的周期T=2πRv0=2πmB0q;

磁感應強度大小為B0時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量Δv，從而提高速度選擇器的速度分辨本領，則應使不能沿中軸線運動的粒子偏離中軸線有最大距離，即圓周分運動完成半周期的奇數倍，則

L=v02n-1T2=E0B0×2n-1×πmB0q=2n-1πmE0B20q（n=1，2，3，…）

【答案】（1）E0B0

（2）dgt;mE0qB20

（3）L=（2n-1）πmE0B20q（n=1，2，3，…）

可以明顯看出，上述問題的最終落腳點又回到了高中物理人教版3-1第三章第五節《運動電荷在磁場中受到的力》課后習題第3題中提到的速度選擇器，就連該題的圖也和課本上一模一樣。

四、總結

關于疊加場的問題一直是高考中的熱點問題，高考的考查方式常與現代科技接軌，如速度選擇器、磁流體發電機、霍爾元件等。

回顧近年來的高考試題，關于霍爾效應的問題一直是考查的熱點，尤其是2018年我國在霍爾效應的研究上取得的一些新的成就，更讓該類問題成為我們2019年備考的重點。

再回到我們上面對疊加場中“特殊”運動的分析，以及與高考試題和教材問題的對比，我們不難找到2019年高考物理對該類問題的備考方向，即在認真研讀歷年高考試題、立足教材、關注熱點的基礎上，在不放過直線運動、平拋運動、圓周運動等高考主流考查運動形式的同時，也要敢于在非常規問題中找突破，就像本文中提到的“特殊”運動形式。

或許是因為你敢于對問題的深入研究，對題型不拘泥于常規的深度拓展，讓你2019年的高考物理也特別起來。