一種新的廣義二次相關時延估計算法

朱 超，屈曉旭，婁景藝

(海軍工程大學，湖北 武漢 430033)

0 引 言

時延作為表示信號特征的一個重要參數，隨著信息通信技術的飛躍式發展，時延估計在信號處理領域成為人們研究的熱點問題?；緯r延估計要解決的問題是對2個接收目標信號進行處理，準確快速地估計和測量接收信號之間因信號傳輸過程中通道的不同而引起的時間延遲[1]。廣義互相關(GCC)時延估計是一種最基本、最常用的時延估計方法，該方法是利用加權函數來增加信號的有用成分，銳化了相關函數的峰值。根據其加權形式和準則的不同，有ROTH加權、SCOT加權、PHAT加權和HB加權等廣義相關時延估計方法[2]。在以上加權方法中，HB加權的廣義互相關時延估計性能可以達到克拉美羅界。但在低信噪比環境中，由于干擾噪聲的影響，廣義互相關方法的時延估計性能會急劇惡化。而二次相關時延估計算法可以利用二次相關來有效抑制噪聲的干擾進而提高抗噪聲性能，但二次相關時延估計的時延精度還有待提高。為此，本文基于廣義互相關時延估計和二次相關時延估計，同時利用希爾伯特變換具有把偶函數轉變為奇函數的特點進行相關希爾伯特差值法運算，實現對2個接收信號二次互相關函數峰值的銳化處理，改善了二次互相關函數峰值點的檢測效果，增大了時延估計的精度。本文分別比較了傳統互相關算法、二次互相關算法和本文提出的算法在時延估計的準確性和平穩性。仿真實驗結果表明，本文提出的新算法在低信噪比環境下的時延估計性能有了明顯的改善。

1 基本時延估計信號模型

在進行接收信號的基本時延估計前，首先要給定2個接收信號的模型。互相關(CC)是用來比較2個信號或函數在時域相似程度的基本方法。時延估計算法可以通過以下2個信號模型來分析：信源發射信號s(t)經2個傳輸通道過程中加入了噪聲的信號x1(t)和x2(t)。設信號x1(t)和x2(t)滿足以下方程：

(1)

式中：A1和A2為發射信號的幅度參量，表示s(t)經不同通道傳輸后的幅度增益和相位偏移；n1(t)和n2(t)代表未知的加性平穩高斯白噪聲；τ1和τ2表示信號傳輸的時延，且τ1≤τ2。

為表達方便，以x1(t)為標準進行歸一化，則式(1)可以重新表示成：

(2)

式(2)離散形式表示為：

(3)

式中：k=0,1,…,N-1；λ=A2/A1，表示2個接收信號的幅值比；D=τ2-τ1，表示所求時延值；N表示采樣點數。

2 基本時延估計算法分析

2.1 廣義互相關法

廣義互相關(GCC)時延估計是一種經典的時延估計方法，其利用加權函數來增加信號的有用成分，通過計算2個接收信號的互相關函數峰值得到時延值[3-5]。其基本原理如下：x1(t)和x2(t)的互相關函數表示為：

R12(τ)=E[x1(t)x2(t+τ)]=

λRss(τ-D)+Rsn2(τ)+

λRn1s(τ-D)+Rn1n2(τ)

(4)

假設n1(t)和n2(t)是獨立于s(t)平穩不相關的高斯白噪聲，則2個噪聲n1(t)、n2(t)與信號s(t)的互相關函數為：

Rn1s(τ-D)=E[n1(t)·s(t+τ-D)]=0

(5)

Rn2s(τ)=E[n2(t+τ)·s(t)]=0

(6)

噪聲n1(t)與n2(t)的互相關函數為：

Rn1n2(τ)=E[n1(t)·n2(t+τ)]=0

(7)

則：

R12(τ)=λRss(τ-D)，-∞<τ<+∞

(8)

由自相關函數|Rss(τ)|≤Rss(0)的性質可知，當τ=D時Rss(τ-D)最大，即R12(τ)也達到最大。因此，求得R12(τ)的峰值對應的τ就是2個接收信號之間的時延。

為了克服基本互相關時延估計中易受環境噪聲影響的缺陷，廣義互相關時延估計算法利用加權函數增強了信號中信噪比的作用，從而提高了時延估計精度[6]。在此基礎之上，通過頻域加權函數對信號進行前置濾波，盡量抑制噪聲的干擾，然后對加權后的函數進行互相關運算，獲得其峰值。

根據維納-辛欽定理可知，互相關函數與其互功率譜密度互為傅里葉變換對，則x1(t)和x2(t)的互相關函數又可以表示為：

(9)

式中：G12(ω)為x1(t)和x2(t)的互功率譜函數。

當x1(t)和x2(t)經過濾波之后，輸出信號的互功率譜函數可以寫為：

(10)

所以，信號x1(t)和x2(t)的廣義互相關函數可表示為：

(11)

在時延估計過程中，可以通過選取不同加權函數來針對不同類型的干擾噪聲進行適當的濾波處理，使噪聲干擾的影響得到有效抑制[7]，然后會使得R12(τ)有一個峰值相對較大、較尖銳，其對應的橫坐標即為所求時延，從而提高時延估計精度。Hassab和Boucher在期望信號峰值與輸出噪聲之比為最大的準則下，導出了HB加權函數[8]。利用HB加權的廣義相關時延估計算法可以達到克拉美羅界，在實際應用中具有較好的性能。

2.2 廣義二次相關法

在廣義互相關時延估計算法的基礎上，廣義二次相關法是廣義互相關時延估計算法的改進，該算法先對2個接收信號進行互相關運算，再對其中一個接收信號進行自相關運算，然后利用得到的互相關和自相關函數，再進行第2次互相關運算，以提高信號的抗干擾能力[9-13]。信號x1(t)的自相關函數為：

R11(τ)=E[x1(t)x1(t+τ)]=

Rss(τ)+Rsn1(τ)+Rn1s(τ)+Rn1n1(τ)

(12)

2個接收信號的互相關函數為：

R12(τ)=E[x1(t)x2(t+τ)]=

λRss(τ-D)+Rsn2(τ)+

λRn1s(τ-D)+Rn1n2(τ)

(13)

假設忽略信號和噪聲的互相關函數，噪聲為非相關的高斯白噪聲。根據白噪聲的自相關數學特性，Rn1n1(τ)在τ=0處為沖激函數，在信噪比低的情況下需要考慮其影響，在τ≠0時幅度會劇減，可以忽略其影響。由于R11(τ)和R12(τ)依然是時間的函數，對R11(τ)和R12(τ)再做互相關，即可得到二次相關函數：

RRR(τ)=E[R11(t)R12(t+τ)]

(14)

將式(12)和式(13)代入式(14)中得到：

RRR(τ)=λRss(τ-D)+Rn1n2(τ)

(15)

式中：Rss(τ-D)表示信源發射信號做二次互相關；Rn1n2(τ)代表噪聲做二次互相關。

同廣義互相關法一樣，根據相關函數的特性，當τ=D時Rss(τ-D)取最大值，因此找出其峰值，峰值橫坐標所對應的位置即為所求時延值。

2.3 相關希爾伯特差值法

為了在相關函數峰值較為平坦時，使時延估計也能準確進行，根據對希爾伯特變換的定義和性質的了解，利用奇函數的希爾伯特變換是偶函數，偶函數的希爾伯特變換是奇函數的性質，可以把經典的廣義互相關時延估計算法中峰值檢測處理互相關函數用過零點檢測來代替[14-15]。希爾伯特變換時延估計在一定程度上降低了干擾噪聲對信號時延估計準確度的影響，但是當處在復雜環境時，信源發射信號受到噪聲和其它干擾的影響較大，時延估計值在信號波形中對應的零點附近很大可能會出現波動現象，因而出現了多個過零點情況，就會很難判斷出時延估計值對應的真正零點，導致時延估計誤差增大。而且，當信號序列長度較長時，也會出現多個過零點情況，必須采用其它的算法加以輔助改善。

針對上面的情況，相關希爾伯特差值法的提出有效地解決了這一問題。相關希爾伯特差值法的定義就是將互相關函數與其希爾伯特變換后的函數的絕對值做差處理，即：

(16)

相關希爾伯特差值法既保留了峰值附近的值，又使峰值外其余部分值的相關性減小了，從而使接收信號相關函數波形的主峰值尖銳程度明顯增加。相關希爾伯特差值算法不但起到提高時延估計精度的作用，而且算法簡單，易實現。

2.4 新算法原理

總結了HB加權廣義互相關時延估計和二次相關時延估計算法各自的優點與不足，在二者的基礎上，同時利用相關希爾伯特差值法，本文提出了一種新的廣義二次相關時延估計算法，稱之為HB加權廣義二次相關希爾伯特差值時延估計算法。新算法流程圖如圖1所示，()*表示取共軛運算，|·|代表取絕對值。

圖1 新算法流程圖

與傳統互相關算法不同的是，在功率譜密度函數進行加權處理以前，新算法首先對接收信號x1(t)和x2(t)進行快速傅里葉變換，減少了互相關算法計算處理的時間，提高了算法的實時性，然后將得到的信號自相關與互相關看作新的信號，進行二次相關處理，從而得到二次相關互功率譜RRR(ω)函數，大大減少了噪聲對信號的影響，接著HB加權處理增加了接收信號功率譜密度中的信源發射信號成分，然后進行快速傅里葉逆變換，再利用希爾伯特差值法銳化互相關函數的峰值，達到提高時延估計精度的目的，最后對得到的HB加權廣義二次相關希爾伯特差值序列進行峰值檢測，就獲得了時延估計值。

3 仿真與分析

為了驗證新算法的時延估計性能，下面通過MATLAB首先仿真了二次相關法，然后對新算法和HB加權廣義互相關時延估計算法在不同信噪比環境下進行仿真對比說明。仿真構造了加有平穩高斯白噪聲的2個通道接收信號，仿真中采用的接收信號幅度為10，頻率為1 kHz的單頻正弦波信號，采用采樣頻率為50 kHz，采樣點數為1 024，對2個通道接收到的信號進行采樣。假設2個信號之間的延遲為100個采樣間隔，即延遲時間τ=2 ms的正弦波來仿真模擬2個不同通道的接收信號，其中噪聲是平穩高斯白噪聲。假設信號與噪聲、噪聲與噪聲都是相互獨立的，σSNR1和σSNR2為接收信號的信噪比，信噪比(SNR)的定義為σSNR=20lg(σs/σn)，其中σs和σn分別是信號和噪聲的標準差。當σSNR1=5 dB，σSNR2=15 dB時，二次相關法的時延估計仿真結果如圖2所示，在信噪比σSNR1=5 dB，σSNR2分別為15 dB、5 dB、-5 dB和-15 dB的環境下，HB加權廣義互相關時延估計算法的仿真結果和新算法的仿真結果分別如圖3、圖4、圖5和圖6所示。

圖2 σSNR2=15 dB時二次相關法的仿真結果

圖3 σSNR2=15 dB時的仿真結果

圖4 σSNR2=5 dB時的仿真結果

圖5 σSNR2=-5 dB時的仿真結果

對比圖2和圖3可以看出，在信噪比σSNR1=5 dB，σSNR2=15 dB時，二次相關法的相關函數峰值受周期信號影響較大，峰值不明顯，而HB加權廣義互相關和新算法都具有銳化相關函數峰值的作用，信號相關函數的峰值都比較尖銳，時延估計效果也差別不大，都能準確估計出時延值。從圖4中得知，在信噪比σSNR1=σSNR2=5 dB時，新算法相比較于HB加權廣義互相關法的相關函數的峰值更加尖銳，具有較好的時延估計精度。從圖5和圖6中來看，隨著信噪比σSNR2的降低，HB加權廣義互相關法的時延估計峰值受噪聲的影響變化變大，在信噪比σSNR2=-15時，其時延估計峰值幾乎淹沒在噪聲之中，甚至無法進行有效的時延估計；而新算法隨著信噪比σSNR2的下降，雖然時延估計性能有所下降，但還保持著較尖銳的相關函數峰值，具有一定的抗干擾能力，達到在低信噪比環境下仍可獲得較為準確的時延估計值的需求。

為進一步驗證所提算法的時延估計的有效性，下面對3種不同時延估計算法的性能進行仿真實驗，比較不同算法在信噪比σSNR2從-20 dB到10 dB時的均方根誤差(RMSE)，均方根誤差定義為：

(17)

式中：τ0為真實時延值；τi為第i個時延估計值；N為時延估計總數。

本文進行N=30的仿真實驗，仿真結果如圖7所示。

圖7 不同算法估計性能比較仿真結果

從圖7中仿真結果可知，隨著信噪比的降低，3種算法的均方根誤差RMSE都會變大。在信噪比從0～10 dB時，3種算法的估計性能差別不大；從-20～0 dB時廣義互相關算法和廣義二次相關算法的RMSE會隨著信噪比的降低而迅速變大，而新算法變化較為緩慢，仍具有較好的時延估計性能。無論信噪比大小，新算法都比另外2種算法具有更好的時延估計性能。

4 結束語

結合廣義互相關時延估計和二次相關時延估計的優點，同時利用希爾伯特變換的性質，本文提出了一種HB加權廣義二次相關希爾伯特差值時延估計算法。在低信噪比下，新算法在時延估計的準確性和平穩性方面比HB加權廣義互相關算法表現出更好的特性，時延估計性能有了明顯的改善。