基于拉格朗日插值的分數延時濾波器研究

黃 偉，周其超，陶存炳

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

數字相控陣雷達空間分辨率高，抗干擾能力強，具有十分廣闊的軍事用途，相控陣天線通過控制信號在陣元內的傳輸時間實現信號延時，從而保證不同方向的信號同相疊加，獲得預期的波束指向和方向增益[1]。傳統的相控陣雷達利用模擬的方法產生信號波形，利用延遲線、移相器實現信號的延時移相。這種方法有諸多弊端，采用該體制的雷達系統體積大，使用和維護不便，信號產生不靈活，在數字域處理信號延時、移相，可以靈活地形成多樣式雷達信號波形[2]。數字陣列雷達采用數字技術實現信號發射及接收，分數延時濾波器能夠對信號作非整數倍的時間延時，在數字域利用分數延時濾波器可以實現信號精準延時，提高雷達波束指向精度[3]。

1 分數延時濾波器原理

分數延時濾波器能方便改變頻率響應的特點，在語音音調同步合成、數字通信、時延估計、視頻信號以及相控陣雷達信號處理等領域有著廣泛的應用[4]。分數延時濾波器實現方法主要有窗函數法、拉格朗日插值法和基于多項式的分數延時濾波器設計方法。基于拉格朗日插值的分數延時算法易于實現，系數計算簡單，少量的加法和乘法運算就能實現濾波器系數更新，在低頻段具有良好的幅度和頻率響應。

假設x(t)為連續時間信號，在滿足奈奎斯特采樣定理的條件下采樣得到數字離散信號x[n]，通過理想數模轉換器還原為連續信號，還原后的連續信號經延時處理后得到精準延時τ，最后送入模數轉換器，以T為周期連續采樣，得到離散數字信號y[n]，x[n]與y[n]的關系可以用如下的方式表示：

y[n]=x[n]*sinc(n-D)

(1)

可以發現，系統響應可以等效為離散的沖擊響應，令：

hi[n]=sinc(n-D)

(2)

則有：

y[n]=x[n]*hi[n]

(3)

hi[n]可以視為無限長度的非因果濾波器[5]，下式為hi[n]在頻域的表達式：

Hi(ejω)=e-jωD

(4)

式中：延時量D由兩部分構成，整數部分Z和小數部分p，代入hi[n]頻域表達式，則有：

Hi(ejω)=e-jωD=e-jω(Z+p)

(5)

由上述推導可以得到，理想分數倍延時濾波器的幅度特性以及頻率特性為：

|Hi(ejω)|=1

(6)

arg{Hi(ejω)}=θi(ω)=-Dω=-(Z+p)ω

(7)

相位信息可以用群延時特性來表征，表達式如下：

(8)

同樣，在一些情況下，相位信息也可以用相位延遲來表達：

(9)

設計分數延時濾波器，使其不斷逼近理想分數延時濾波器相位延時濾波特性，求解濾波器系數，通過這樣的方式設計分數延時濾波器，對信號進行分數延時濾波。

2 拉格朗日插值法設計的分數延時濾波器

在本文分數延時濾波器的設計過程中，選用有限沖激響應(FIR)數字濾波器來逼近理想分數延時濾波器，有限沖激響應數字濾波器的單位沖擊響應的長度有限，可以在固定的系統條件下實現，實際設計的分數延時濾波器頻率響應函數為H(ejω)，使其無限逼近于理想分數延時濾波器的頻率響應函數Hi(ejω)，兩者之間的誤差函數可以表示為：

E(ejω)=Hi(ejω)-H(ejω)

(10)

對頻域誤差函數E(ejω)在某一頻率點N階求導使其導數為0，誤差函數在該頻點的頻率逼近效果最佳，這樣就可以保證在一定頻率范圍內保持最大平坦。對前述差函數在某一頻點ω=ω0進行N階求導，公式如下：

(11)

典型地，設ω0=0，在ω0=0處求N次導數，得到N+1組線性方程，以脈沖響應的形式表示如下：

(12)

表達為矩陣形式為：

Vh=v

(13)

其中：

(14)

(15)

通過給定1組數值，采用多項式插值的方法可以求解得到上式系數，上述求解過程相當于求解經典拉格朗日插值公式[6]，在z域分析，則有：

H(z)=z-D，D=0,1,…，N

(16)

對于固定的整數倍時延，誤差逼近于零，求解得到的濾波器系數h(n)為：

(17)

3 分數延時濾波器仿真分析

針對基于Lagrange插值法設計的分數延時濾波器進行了3組仿真，延時參數設為0～0.5采樣周期，間隔0.1采樣周期，濾波器階數設為7階、15階和19階，截止頻率設為0.7π。

從圖1～圖3可以看出，基于Lagrange插值法設計的分數延時濾波器在低頻具有平滑的幅度響應和相位延遲，但是在濾波器階數較低時，幅度響應和相位延遲不能滿足截止頻率為0.7π的要求，當濾波器階數達到15階，相位響應和幅度響應有明顯改善，特別是頻率高于0.4π的部分。隨著濾波器階數的增加，濾波器性能持續提高。

圖1 Lagrange插值法7階分數延時濾波器幅度響應和相位延遲特性

圖2 Lagrange插值法15階分數延時濾波器幅度響應和相位延遲特性

圖3 Lagrange插值法19階分數延時濾波器幅度響應和相位延遲特性

為了分析基于拉格朗日插值法設計的分數延時濾波器延時效果，本文進行了如下仿真對比，采樣頻率設計為8倍信號頻率，分數延時濾波器階數為15階。分別對2列正弦信號進行采樣，其中一列信號在采樣前相對于另一列信號有0.5倍采樣間隔延時，采樣得到的離散信號經分數延時濾波器延時處理后對比2列信號之間的時間間隔。這樣設計的目的是為了更直觀地觀測延時效果。

圖4和圖5分別為分數延時前后2列信號的對比圖，不難看出，經過分數延時濾波器延時處理之后，2列信號幾乎重合，說明分數延時濾波器精準地校正了2列信號之間的延時誤差。

圖4 分數延時濾波之前2列信號對比圖

圖5 分數延時濾波之后2列信號對比圖

4 結束語

分數延時濾波器采用不斷逼近理想濾波器相位延時濾波特性的方法，求解濾波器系數。基于拉格朗日插值法的分數延時濾波器設計過程中，對頻域誤差函數N階求導，使其為0，以此得到濾波器系數。本文在分析分數延時濾波器的基本實現原理的基礎上，仿真分析了基于拉格朗日插值法設計的分數延時濾波器的相頻和幅頻特性，結果表明濾波器在低頻具有非常好的幅度響應和相位延遲響應，并且隨著濾波器階數的增加，濾波器性能持續改善。最后應用濾波器對離散信號進行延時處理，處理后的信號得到了精準的分數倍延時，驗證了基于拉格朗日插值法設計的分數延時濾波器延時濾波的有效性和可行性。