以變顯質(zhì)，談初中數(shù)學(xué)的變式訓(xùn)練

姜煒

[摘? 要] 變式訓(xùn)練是將知識轉(zhuǎn)化成技能的一個重要途徑. 在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)用變式訓(xùn)練，既能從“變”中突顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，又在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維、創(chuàng)新思維等方面有著積極且重要的作用. 文章結(jié)合教學(xué)實例，對初中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練的有效實踐進(jìn)行了深入解析.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);變式訓(xùn)練;思維;實踐

“熟能生巧”是中國傳統(tǒng)教育理念，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用尤為突出，國際教育界對于數(shù)學(xué)練習(xí)的重要性，認(rèn)識度也在提高. 做一定的練習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是很有必要的，國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育者對此已經(jīng)達(dá)成共識. 如何避免題海戰(zhàn)術(shù)，使數(shù)學(xué)練習(xí)達(dá)到事半功倍的效果？如何讓數(shù)學(xué)題發(fā)揮更好的訓(xùn)練思維的作用？筆者認(rèn)為，通過變式訓(xùn)練的方法，即將類型相同的題目，換個數(shù)據(jù)或者角度，來考查相似領(lǐng)域或者其他領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題，“變著花樣”進(jìn)行練習(xí)，既能避免學(xué)生因反復(fù)操練而形成抵觸心理，又能加深學(xué)生們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識和理解，特別地，它更是對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的一種最佳方法. 基于此，筆者從教學(xué)實踐出發(fā)，對變式訓(xùn)練應(yīng)如何應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行了詳細(xì)闡述.

注重變式訓(xùn)練的“選題”

數(shù)學(xué)教師在對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練時，首先要注意的就是“選題”. 所選練習(xí)題應(yīng)該是較為典型的，其中包含較多知識點的代表性題型，不能太過簡單也不能太過復(fù)雜，既要能引起學(xué)生們挑戰(zhàn)“不可能”的興趣和心理，也要能夠激發(fā)他們積極探究的熱情，同時還要能夠在一定程度上幫助學(xué)生打破思維定式，形成發(fā)散思維.

例1如圖1所示，AE=DB，∠A=∠D，∠C=∠F，證明：AC=DF.

變式1如圖1所示，AE=DB，∠A=∠D，AC=DF，求證：（1）BC=EF;（2）BC∥EF.

[圖1]

變式2如圖1所示，∠C=∠F ，AC=DF，請再添加一個條件，使△ACB≌△DFE.

變式3如圖1所示，BC=EF，AC=DF，BC∥EF，△ACB與△DFE是否全等？如果全等，請說明理由;如果不全等，請畫出反例.

“全等三角形”這一章，學(xué)生剛剛接觸幾何證明不久，在學(xué)習(xí)了全等三角形的判定定理之后，這樣的變式練習(xí)能夠幫助他們復(fù)習(xí)所學(xué)知識，同時鍛煉幾何證明題的思維方式，讓他們對于怎樣通過證明三角形全等證明線段或者角相等，甚至兩直線平行，有自己的認(rèn)識. “變式1”并不難，基礎(chǔ)知識掌握得比較扎實的學(xué)生都可以輕松完成. “變式2”較開放，通過讓學(xué)生思考所有添加條件的可能性，可以對所學(xué)的幾種三角形全等判定定理進(jìn)行梳理復(fù)習(xí)，形成系統(tǒng)的知識體系. 同時，也通過學(xué)生自己說條件，進(jìn)一步熟悉幾何語言. “變式3”是對“邊邊角”這一易錯點進(jìn)行辨析. 題后可以進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生思考：“在已知條件的基礎(chǔ)上，能否再添加一個條件，使得△ACB與△DFE全等？”事實上，若使∠ABC=∠FED=90°，則可用“HL”判定△ACB≌△DFE，從而引導(dǎo)學(xué)生對“HL”有更深刻的認(rèn)識. 我們還可以繼續(xù)讓學(xué)生思考變式：“若∠ABC=∠FED>90°，△ACB與△DFE是否全等？”“∠ABC還要滿足什么條件，就可以使△ACB≌△DFE？”這兩個變式的要求相對較高，有利于學(xué)生思維的進(jìn)一步提升. 如此一來，由一題引發(fā)多個變式，層層遞進(jìn)，能滿足各個層次學(xué)生的需求，并且可以讓學(xué)生看到因小小的變化而產(chǎn)生千變?nèi)f化的圖形，從而使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的美，對數(shù)學(xué)給予更多關(guān)注，從而在變化中逐漸養(yǎng)成多視角看問題、解決問題的意識. 尤其是這樣的變式訓(xùn)練，通過對題目進(jìn)行適當(dāng)處理，能加強知識橫向與縱向之間的聯(lián)系，對中學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系大有裨益.

注重“發(fā)散思維”的培養(yǎng)

發(fā)散思維是在來源相同的材料中尋找不同答案的一種思維方式和思維過程，這種思維的特征是更變通、流暢和具有創(chuàng)造性. 它表現(xiàn)為思維視野廣闊，思維呈現(xiàn)出多維發(fā)散狀. 從心理學(xué)角度來說，人的創(chuàng)造力與其發(fā)散思維是密切相關(guān)的，它們之間存在著正比例關(guān)系. 數(shù)學(xué)素有“思維體操”之稱，要在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，變式訓(xùn)練無疑是最好的一個途徑.

如學(xué)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系”時，我們對點的坐標(biāo)進(jìn)行變換：點A（a，b）向左平移m個單位長度后得到的點的坐標(biāo)為______. 做完之后我們可以讓學(xué)生自己對點的坐標(biāo)進(jìn)行變換編題，此時學(xué)生較易想到，點同樣可以向右、向上、向下平移，從而找到變化規(guī)律. 之后我們進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，圖形除了平移之外，還有哪些變化？學(xué)生能夠聯(lián)想到圖形的翻折、旋轉(zhuǎn)，從而引導(dǎo)學(xué)生自己提出并且探究下列問題：點A（a，b）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為______;點A（a，b）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為______;點A（a，b）繞原點旋轉(zhuǎn)180°后得到的點的坐標(biāo)為______. 再由特殊到一般，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并研究下列問題：點A（a，b）關(guān)于直線x=m對稱的點的坐標(biāo)為______;點A（a，b）關(guān)于直線y=n對稱的點的坐標(biāo)為______;點A（a，b）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的點的坐標(biāo)為______;點A（a，b）繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的點的坐標(biāo)為__________;點A（a，b）繞點B（c，d）旋轉(zhuǎn)180°后得到的點的坐標(biāo)為______.

很明顯，這樣的變式訓(xùn)練能讓學(xué)生自己提出問題探究，學(xué)生的思維更加活躍，探究也更熱烈和深入. 學(xué)生在練習(xí)時能逐漸學(xué)會如何創(chuàng)造性地分析問題、解決問題，也能在這種創(chuàng)造性思維中對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)有更深入的理解.

注重變式訓(xùn)練的“變化方向”

變式訓(xùn)練的核心在于一個“變”字，那么應(yīng)該怎么變才能達(dá)到預(yù)期的效果呢？筆者以兩個幾何題為例，對變式訓(xùn)練應(yīng)圍繞哪幾個“方向”著手設(shè)計進(jìn)行了詳細(xì)闡述.

1. 變內(nèi)容

巧妙的變化一下提問內(nèi)容，給學(xué)生制造一定的難度，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是很好的.

例2如圖2所示，點E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊BC，CD上的點，且AE⊥BF，求證：AE=BF.

（對于本題，學(xué)生根據(jù)全等能夠很容易地證出來）

變式1如圖3所示，M，N，P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且MP⊥NQ. 求證：MP=NQ.

這里，正方形內(nèi)部兩條互相垂直的線段的位置發(fā)生了改變，我們可以平移MP與NQ的位置，得到與例2相同的圖形（如圖4所示），也可以通過作垂線構(gòu)造全等三角形來解決（如圖5所示），其本質(zhì)是一樣的，都是通過添加輔助線構(gòu)造了全等三角形，體現(xiàn)了幾何問題中用三角形解決問題的思想.

變式2如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12，將正方形折疊，使頂點A與BC邊上的點E重合，且BE=5，折痕交AB于點P，交CD于點Q，求折痕PQ的長度.

這個問題學(xué)生一開始思考起來比較困難，但如果充分運用折疊條件，便會發(fā)現(xiàn)點A與點E關(guān)于線段PQ對稱，那么連接AE（如圖7所示），便能得到PQ垂直平分AE，與例2類似，我們便可以證得AE=PQ. 要求PQ的長度，只需要在Rt△ABE中求出AE的長度即可. 此題雖然與前兩題看著不同，但是其實是上兩題基本圖形的延伸.

2. 變條件

如將例2變式2的已知條件與所求進(jìn)行交換：如圖6所示，折疊正方形ABCD，使頂點A與BC邊上的點E重合，且BE=3，折痕交AB于點P，交CD于點Q，DQ=2，求正方形ABCD的邊長.

當(dāng)學(xué)生掌握了某類型題的基本解題方法后，就要通過變式訓(xùn)練強化他們對問題本質(zhì)的深入理解，通過變條件的方法，讓他們學(xué)會如何“抵抗”因條件變化而產(chǎn)生的信息干擾. 上題依然是利用構(gòu)造全等三角形來解決的.

例3如圖8所示，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCG的平分線CF于點F. 求證：AE=EF.

學(xué)生解決本題時往往第一反應(yīng)是過點F向BG作垂線段，但是會發(fā)現(xiàn)無法證出結(jié)論. 經(jīng)過分析，取AB的中點H（如圖9所示），可構(gòu)造出△AHE≌△ECF，從而得證.

變式將例3中的點E改為BC邊上的任意一點（如圖10所示），從特殊到一般來探索問題的本質(zhì)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，其實例3取AB的中點是構(gòu)造了等腰直角三角形HBE，因此我們解決本題時在AB上截取BM=BE（如圖11所示），通過構(gòu)造等腰直角三角形HBE，依然可以得到△AME≌△ECF.

在這樣的變式訓(xùn)練和有效引導(dǎo)中，又回歸到數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)中來. 一旦學(xué)生通過這樣的訓(xùn)練突破了思維瓶頸，思維領(lǐng)域就會變得更寬、更廣.

變式訓(xùn)練對于學(xué)生而言，最直接的效果就是會讓他們認(rèn)識到數(shù)學(xué)并不難學(xué)，數(shù)學(xué)題并不難做，只要掌握了變化的規(guī)律和技巧，于變式之中找到數(shù)學(xué)最本質(zhì)、最核心的思想，“以不變應(yīng)萬變”，一切問題都會迎刃而解.