離散數學中“集合與關系”的學習意義

熊瑜

【摘要】本文通過筆者多年教授離散數學課程中“集合與關系”部分的教學經驗，總結學習中遇到的和“集合與關系”相關的知識點，理清這些知識點之間的聯系，從而幫助學生更快速地掌握“集合與關系”的學習意義和方法，旨在鼓勵學生積極發展抽象思維能力，好好學習離散數學這門課程，不斷提高自己的學習能力.

【關鍵詞】離散數學;集合;關系

一、引 言

在離散數學的學習中，“集合與關系”部分可能會被認為是相對容易學習的一部分，但是在筆者多年教授這門課程的過程中，發現并非如此.在中學數學課的學習中習慣于研究的集合就是各種數的集合，關系就是簡單的數集合當中大小關系.而對離散數學當中把集合抽象到萬事萬物都可以因為某種聯系構成一個研究對象的群體，并且把它們之間的各種關系也抽象為集合來理解，這些知識點在開始學習階段對學生而言其實是十分困難的.本文旨在讓學生能夠在學習“集合與關系”這部分知識時，更加快速有效地掌握從具象思維到抽象思維的方法，從而提升學生的抽象思維能力，為后續學習打下基礎.比如，代數系統中群論的拉格朗日定理的學習就需要學生對集合與二元關系之間的聯系非常清楚.

二、集合與關系學習的意義

集合是不能用其他概念精確定義的原始概念.我們說當我們把世界上萬事萬物的任何一部分群體按照某種標準進行歸類以后，那么就構成了一個形式上的集合，其因為研究者研究領域的不同，會從不同的出發點研究集合中元素之間特定的關系，而這里的元素遠遠超越了我們中學研究的簡單的數字.因此，你會發現，在研究人群中人與人之間是否有血緣關系，就能夠和研究空間解析幾何時空間直線的正交關系，研究矩陣理論中矩陣的相似關系一樣，可以用相應集合的笛卡爾積的子集合來統一一個標準描述他們的本質.集合的方法研究關系，體現了離散數學的精髓，那就是把具象思維拔高到抽象思維，找到本質.這種知識能力的培養，在后續代數系統的學習當中也得到了充分體現.

以下我們通過用集合的方式把上面一個自然段中出現的例子表示出來，讓大家更加加深對“集合與關系”理論抽象概括性的理解.A表示全體人類的集合，

A×A={〈a，b〉|a∈A∧b∈A}則R={〈a，b〉|a∈A∧b∈A∧a與b具有血緣關系}，顯然R是笛卡爾積A×A的一個子集合，R是把所有具有血緣關系的人雙雙配對作為一個序偶的形式出現在我們的集合表示的元素當中.當然我們另外舉的兩個例子，比如，研究空間解析幾何時空間直線的正交關系，我們只要把這里A換成空間全體直線構成的集合，關系R里面的解釋換成是直線的正交關系，那么我們的集合表示關系R就與剛才要表示人類的血緣關系是一樣的，所以很有意思的事情就是我們可以通過完全相同的數學集合表達式來把這兩種表面上完全沒有聯系的關系表示出來.這樣做的意義是我們把本質要表示的東西用集合來表示清楚了，對這種特殊的集合——關系我們就可以研究作為關系呈現出來的效果，通過對“關系”這種特殊的集合性質的研究反過來研究我們要研究的內容.比如，關系的自反性、對稱性、傳遞性，我們就可以得到等價關系的概率.數學的各個分支的學習中或生活中很多研究的關系其實都是等價關系，比如，人類的同姓關系、直線的平行關系、三角形的全等關系、矩陣的相似關系等.越學習，我們會越發現，不僅可以在學習不同學科的時候越來越有歸納總結能力了，同時還在生活當中，發現越來越多的有趣關系，增加了生活的樂趣.

離散數學中當我們已經從集合的觀點出發，把各種關系都抽象總結成為一種研究對象，我們會發現之前數學學科當中一直研究的函數這個概念本質上就是一種特殊的關系，從而把事先已經在關系中研究明白的結果平移過來，可能解決了學生在數學學習中一直困擾的問題.在大學的微積分學習中，函數是我們研究極限的載體，極限是微積分學的基礎，是微積分學能夠成立的基石.大一的理工科類學生，是要花大量的時間在解決函數的求導求積分上的.當他們學完了基礎課，又會投入到各自選擇的專業中，不斷做的事情就是學會把研究領域的問題數學模型化，建立數學模型，其實也就是最終研究量和量之間構成的函數關系.比如，優化問題就要借助建立的函數關系來進行.綜上，可以看到我們這種特殊的關系——函數的偉大意義了.

三、小 結

本文旨在和學習離散數學的學生和教師分享一下學習“集合與關系”這部分的心得和意義，讓學生們體會到學習是可以深入和深刻的，要有耐心和細心來完善自己的學習方法，要有恒心來不斷提高自己的學習能力.數理邏輯的先驅萊布尼茲曾經有一個理想：創造出了一種“通用的語言”，把邏輯推理過程像數學一樣利用公式來進行演算，我們現在學習的數理邏輯就實現了這個預想.筆者認為這就是離散數學學習的魅力，培養邏輯思維能力，培養學習能力，讓學生在今后任何專業的學習中都能夠得心應手，充滿自信.

【參考文獻】

[1]Kenneth H.Rosen離散數學及其應用（英文版第七版）[M].北京：機械工業出版社，2012.

[2]方景龍，周麗.應用離散數學（第二版）[M].北京：人民郵電出版社，2014.