函數單調性的判定法及其在高考試題中的解題探討

李嘯驍

【摘要】介紹了函數單調性的定義及幾何意義，討論了函數單調性常用的判定方法.通過對近三年高考中有關函數單調性的題目進行解題探討發現，導數法在判定函數單調性時，不僅方法簡單，而且非常實用.

【關鍵詞】單調性;判定方法;導數法

函數單調性不僅是函數的一個重要特性，還可以用來求函數的極值、證明不等式、解方程和判定方程根的唯一性等，它是高中數學的一個重要知識點.翻閱近幾年全國高考試題歸納發現，每年都有一個關于函數單調性的解答小題，可見該知識點的重要性，因此，有必要對函數單調性的判定方法進行探討.

一、函數單調性的定義及幾何意義

同時可以看出，函數曲線在單調增區間上呈上升趨勢，而在單調減區間上呈下降趨勢，這就是函數單調性的幾何意義.如果一函數曲線在某個區間上既有上升趨勢，又有下降趨勢，那么該函數在該區間上不具有單調性.

二、函數單調性的判定方法

函數單調性的判定最直接的方法就是根據定義來判定，稱之為定義法.定義法雖然簡單，但是有時難以判定.例如，函數f（x）=1x-x+lnx的單調性，用定義來判定就非常困難.很多學者由定義法提出了直接法、等價定義法，以及復合函數法[2]，但是這些方法在實際的解題中使用起來還是比較麻煩.在高中學習了導數之后，還可以用導數法來判定函數的單調性.即設函數y=f（x）在區間I上可導，若f′（x）>0，則f（x）在區間I上單調遞增;若f′（x）<0，則f（x）在區間I上單調遞減.導數法使用起來非常方便，只需要先求出f′（x），然后令f′（x）>0解得f（x）的單調增區間，令f′（x）<0解得f（x）的單調減區間.

三、近三年高考中有關函數單調性的題目的解題探討

近三年來，高考數學題全國卷均在第21題考查了函數的單調性，可見單調性的重要性.

從上述高考題可以看出，函數單調性是重要考點，如果采用定義法或其他方法來判定將會非常困難，而采用導數法不僅方法簡單，還非常實用.值得注意的是，題目中的函數往往含有參數a，這就需要我們在解f′（x）>0或f′（x）<0時對a的取值加以討論.

【參考文獻】

[1]劉璐.函數單調性及其在高中數學中的應用[D].西安：西北大學，2015.

[2]彭揚，鄒黎敏.函數的單調性及其應用[J].重慶三峽學院學報，2016（3）：13-15.