發掘隱性信息，開拓解題思維

仲惟超

【摘要】“四點共圓”因其隱蔽性被稱為“隱圓”.在解決有關平面幾何問題時，如若我們能夠發現問題背景下的“隱圓”，便可借助圓的豐富性質解決問題，開拓我們的解題思維，突破解題難點.本文從“四點共圓”條件的探究出發，總結了發現圖中“隱圓”的兩條常用條件，并以典型題為例，闡述“隱圓”在解決較復雜的平面幾何問題中的作用與優勢，做到“圖中無圓，心中有圓，解題有方，出奇制勝”.

【關鍵詞】四點共圓;隱圓;平面幾何;解題思維

初中數學圖形與幾何領域主要研究幾何圖形的邊邊關系、角角關系以及邊角關系.而人教版義務教育教科書九年級上冊“圓”這一章是義務教育階段平面圖形學習的最終章.在圓內，我們借助圓內有關性質，可以非常方便地進行角與角之間的相互轉化，同時，本章數學活動2“探究四點共圓的條件”又引發了筆者的思考，如若將一些多邊形問題放在圓的背景下解決，是否會突破解題難點，開拓解題思路呢？于是筆者進行了如下思考.

一、“四點共圓”條件探究

我們知道，根據圓的定義可知“到定點的距離等于定長的點在同一個圓上”.這也是我們研究“四點共圓”的理論基點，在此基礎之上，我們可以思考以下問題：

問題1 如圖1所示，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C=∠D=90°，求證：A，B，C，D四點在同一個圓上.

我們可以取公共斜邊AB的中點E，連接DE，CE，如圖2所示.利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質，可證DE=CE=AE=BE，由圓的定義知結論成立.該問題向我們呈現了“四點共圓”的基本模型圖.

在此基礎上，我們將角一般化，思考“對一般角，若有∠ACB=∠ADB，是否可證A，B，C，D四點在同一個圓上”？如圖3所示.

該問題的證明利用“反證法”：

與已知“∠ACB=∠ADB”不符，所以E不在圓上.同理，第二種情況可在AC延長線上取一點E，同樣運用反證法可證E不在圓上，因此，只能是C與A，B，D共圓.由此可得“四點共圓”的第一個常見條件：共底的，并有在底邊同側的相等頂角的兩個三角形的4個頂點共圓.

利用剛才證明問題1中的方法，并結合教材數學活動2，我們提出新的思考.

問題2 對四邊形ABCD，如果它的對角互補，則四邊形的四個頂點是否共圓？我們依然利用“反證法”分兩種情況進行證明.如圖4，5所示.

同理，在圖5中，取DC延長線上一點E，也可證E點若在圓上與條件不符，因此，E點只能與C點重合，可證當四邊形對角互補時，四邊形的四個頂點共圓.

由此，我們得到了初中數學平面幾何問題中發現“隱圓”的兩個重要條件：

（1）共底的，并有在底邊同側的相等頂角的兩個三角形的4個頂點共圓;

（2）對角互補的四邊形的4個頂點共圓.

二、“四點共圓”解題應用

在解決平面幾何問題的過程中，我們如何能夠發現問題背景中的“隱圓”，而圓的有關性質真的能幫助我們突破解題難點嗎？我們以一個例題為例，與大家分享“隱圓”在解決較復雜的平面幾何問題中的應用.

該解題思路的難度在于學生習慣運用角的轉化證兩角相等，而非通過證角平分線得兩角相等，因此，學生無法想到通過添加此輔助線進行構圖;其次對三角形全等性質的運用往往停留在對應邊相等，對應角相等，而非面積相等等，這些思維的局限性導致該問題無法解答.

如果學生能夠從該問題背景下找到圖形中的“隱圓”，該問題的思維難度將降低不少.如圖所示，在共底的△DPC與△APC中，我們已知底邊PC的同側頂角∠BDC=∠EAC，則A，C，P，D四點共圓.

此種解題思路正是學生習慣使用的利用角的轉化證兩角相等，符合學生的思維習慣，降低了思維難度.其中的解題核心就是發現圖中的“隱圓”，并利用圓的相關性質進行角的轉化.

以該題為模型，下面這道變式題也就好想多了：

變式 以△ABC的邊AB，AC為邊，分別向外作正三角形ABD、正三角形ACE，DC，BE交于點F.求∠DFE的度數.

在解決該問題時，我們可以通過添加輔助線，連接AF，構造共圓的四點A，F，C，E（如圖所示）.

根據題中條件易得△ACD≌△AEB，

可見，發掘問題背景下的“隱圓”信息對解決較復雜平面幾何問題的重要性.