構(gòu)造函數(shù)法在不等式中的應(yīng)用

盧岱

【摘要】不等式問題的求解或證明是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，能夠培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維和多種技巧.本文立足于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與探究，針對許多復(fù)雜的不等式問題，構(gòu)造新的函數(shù)，通過對新函數(shù)的單調(diào)性研究獲得問題的解決方法，從而展示了構(gòu)造函數(shù)法在不等式中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】不等式;構(gòu)造函數(shù);單調(diào)性

一、引 言

不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點.對于一些簡單的不等式問題，傳統(tǒng)的解題方法有比較法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、重要不等式法等.對于比較難或者抽象的不等式問題，傳統(tǒng)方法具有局限性.但是，不等式靈活多變的求解及證明過程，也是有規(guī)律可循的.事實上，任何不等式都可以表示為

也就是說，不等式問題實際上就是一個求極值（最值）問題.我們知道，極值問題的求解可以依照以下幾個步驟實現(xiàn)：

1.求導(dǎo)數(shù)f′（x）.

2.研究導(dǎo)數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)性.

3.研究導(dǎo)數(shù)的零點，判斷函數(shù)的極值點.

4.求出最值點.

因此，通過把不等式適當(dāng)變形，再構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過對其導(dǎo)數(shù)的研究，獲得函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、最值，常能使不等式問題獲得簡捷明了的解決方法.

利用構(gòu)造法解決不等式問題的步驟一般為：（1）對不等式進(jìn)行合理變形，進(jìn)而構(gòu)造一個或多個函數(shù);（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;（3）得出不等式結(jié)論.其中，如何構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點.本文總結(jié)了幾類構(gòu)造函數(shù)的方法，并通過實例得出了規(guī)律性的認(rèn)識，具有較強(qiáng)的針對性和實效性.

二、不等式問題中構(gòu)造函數(shù)的幾種方法

三、結(jié) 論

不等式問題是中學(xué)數(shù)學(xué)一個重要的知識點，證明的方法多種多樣.針對不同的類型合理地構(gòu)造函數(shù)，將其導(dǎo)數(shù)作為一種研究工具，利用相關(guān)的理論，會將靈活多變的不等式問題變得更加簡單.

通過以上例題，我們體會到，不論采用哪種方法構(gòu)造函數(shù)，都需要在解題時細(xì)心觀察與分析，類比聯(lián)想與變形轉(zhuǎn)化，自主探究與自我反思，盡量使所構(gòu)造的函數(shù)容易求導(dǎo)、容易判斷函數(shù)的符號.

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