基于“活動體驗”拓展兒童的數學思考

基礎教育數學課程的育人目標并非是將每個學生培養成數學家，而是要讓學生學會數學思考。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）將原有的“過程與方法”目標，分解為“數學思考”與“問題解決”兩個方面，這充分彰顯了數學思考在教學中的重要價值。課標指出：“義務教育階段數學課程的設計，充分考慮本階段學生數學學習的特點，符合學生的認知規律和心理特征，有利于激發學生的學習興趣，引發數學思考”。對于小學階段的數學教學而言，以活動為載體，依托兒童在活動中的感受與體驗拓展數學思考，是教學目標達成的重要路徑。

一、“活動體驗”與“數學思考”的內涵及其關系

學生的數學學習是在活動中建構、發現和創造的過程。它基于活動體驗但又不能僅停留于體驗層面，必須以活動體驗為基礎，引導學生邁向觸及深度學習的數學思考。

（一）活動體驗的縷析

活動是數學學習的重要基礎和過程表達。體驗是學生親身經歷數學活動過程，并在數學活動中獲得的個性化感受和理解，是數學學習的內在過程。“活動”與“體驗”相互交融，構成了學生數學學習的“活動體驗”。活動體驗以經驗為基礎，立足于精神世界，具有過程性、親歷性和不可傳遞性。體驗是學習者帶有感情色彩地對數學經驗進行回味、反芻和體味，是對數學經驗的升華和超越，它包括操作活動體驗和思維活動體驗。

（二）數學思考的定位

有研究者認為，數學思考是學生“在面臨各種問題情境時，能夠從數學的角度去思考問題，能夠從中發現所存在的數學現象并運用數學的知識與方法去解決問題。”“數學思考”不同于“思考數學”，思考數學側重點在“數學”，指向數學活動本身，著力于數學問題的解決，而數學思考側重點在“思考”，而且是從數學角度展開思考，指向學生思維發展。數學思考一方面依托數學知識技能學習，在解決問題過程中展開，另一方面又不以知識技能的掌握、數學問題的解決為唯一標志。因此，“數學思考”比“思考數學”更具有一般性意義。

（三）相互關系的考量

“活動體驗”與“數學思考”有明顯的區別：活動體驗是感性的，數學思考則是理性的；活動體驗具有個體性特點，而數學思考則具有數學化特征；活動體驗是較為淺表的個體感受，數學思考則是觸及深度思維、個體認知、內在情感甚至是價值觀念的深度學習活動。

活動體驗與數學思考是學生數學學習過程的不同階段，兩者缺一不可。活動體驗是數學思考的前提與基礎，數學思考是活動體驗的提高與升華，沒有活動體驗的數學思考是空洞、抽象、難以理解的，沒有深入思考的活動體驗是零散、膚淺、缺乏數學味兒的。數學學習正是由感性到理性，由膚淺到深刻、由零散到系統的漸進過程。

二、基于“活動體驗”拓展兒童數學思考的內在機制

建構主義學習理論表明，學習是學習者根據自己的經驗背景，對外部信息進行主動選擇、加工和處理，對所接受到的信息進行解釋與應用，從而生成個人的意義或自己的理解。從外部信息到內在理解，因學習者的自身差異而形成了富有個性的學習結果，但是學習發生的過程卻經歷了大致相同的階段（如圖1）。

圖1 基于“活動體驗”拓展兒童數學思考的內在機制

（一）初級階段：從情境引入到活動感知

小學階段，數學學習對象一般通過情境呈現給學習者，學習者依靠眼、耳、手等感官獲得對對象屬性的初步感知，形成部分信息材料。這些信息材料由學習者主動獲取，自然進入學習者的認知系統中，表現為以非言語信息為載體的活動體驗。學生初級階段的活動體驗與感知未經過邏輯加工，尚未形成結構性的理解與認識，呈點狀分布。數學思考在這一階段表現為材料積累、整合和簡單加工，一旦獲取適合的刺激源，大腦皮層便會產生相應的刺激反應，進入到更高階段的思考層級。

（二）高級階段：從信息提取到邏輯加工

當大腦皮層受到刺激后，學習個體會主動調取相關表象、信息、記憶，依靠思考、推理、想象等思維活動，對進入認知系統的非言語信息及其它信息進行多次邏輯加工與整合，不斷刺激思維聯結點，產生信息的重組與反應。學習在這種螺旋過程中逐步形成和優化，從而獲得對學習對象的結構性理解與把握，形成學習個體關于學習對象的言語信息和非言語信息。這一階段，認知由點狀材料加工為塊狀信息，線狀單向思維模式轉變為網狀多向思維方式，從而完成數學思考的過程。

（三）拓展兒童數學思考的三種模式

從活動體驗到數學思考是隱性的思維加工過程，盡管因人而異，可能產生不同的思維結果，但這個過程卻存在一些可以梳理和把握的形式或規律。依據教學內容和活動形式的不同，結合兒童的思維差異，可以拓展出兒童數學思考的方式大致有以下三種，如圖2-4所示。

圖2 自然生長式

圖3 板塊對接式

圖4 螺旋回升式

1.自然生長式。

單一的知識點教學活動指向比較明確，學生在經歷活動的過程中會獲得深刻、豐富的感受或體驗，在單一指向性與充分體驗性的雙重作用下，活動體驗與數學思考之間的垂直距離逐漸縮小，數學思考便會自然生長出來。

2.板塊對接式。

不同內容之間會存在內在邏輯關系，學生不易察覺與發現，難以理解與消化。通過外力作用啟發學生數學思考，可以實現“活動體驗”與“數學思考”兩個板塊的碰撞與對接，促進學生感悟知識之間的聯系，使得活動體驗數學化，數學思考體驗化，達到二者的融合與深化。

3.螺旋回升式。

在比較復雜的研究性學習中，數學思考與活動體驗往往交織在一起。學生的活動體驗走向數學思考后，便會產生新的問題，學生帶著新問題再次進入活動，深入觀察、比較、分析、概括，不斷豐富活動體驗，逐步優化和提升數學思考，從而促進指向問題解決的數學思考能力螺旋上升。

三、基于“活動體驗”拓展兒童數學思考的實踐路徑

筆者立足活動設計、問題引領、自主反思，從不同維度追本溯源，由外部影響向內部因素生發，探究拓展兒童數學思考的實踐路徑。

（一）以活動涵養體驗，醞釀數學思考

活動體驗是數學思考的土壤，數學活動不能僅停留于“動手”層面，而要將其作為數學學習的載體，進行優化設計和有序組織。這里的活動既包括具體的實務操作，也包括游戲比賽、數學計算等數學活動。

1.對比設計，于橫向關聯中刺激體驗，讓數學思考“生根”。

單一性數學活動，其形式與內涵較多融合在一起，受形式干擾，學生不易從活動中獲得對數學的認知與體驗。比較是數學學習的重要方式，可以將單一性活動轉化成具有橫向關聯的對比性活動群組，幫助學生在對比中獲得不同感受，產生豐富體驗，從而刺激大腦皮層，自然展開數學思考。

例如：教學蘇教版六下“動手做”板塊中《有趣的平衡》一課，教師可以在課始設計“直尺平衡”與“鋼筆平衡”兩個操作活動，將質量比較均勻的直尺和兩端質量明顯不等的鋼筆分別放在食指上，使其保持平衡，在活動中觀察記錄手指的位置。學生通過操作、觀察、比較，感受到兩次平衡活動中手指位置的不同，有效激活了學生的生活經驗，促進學生自主思考“手指位置為什么不同”“平衡與哪些因素有關”，從而形成對平衡現象的初步感知。

2.分層展開，于縱向深入中強化體驗，讓數學思考“萌芽”。

學生的數學思考是一個縱深發展的過程，這個過程伴隨活動展開而展開。因此，活動設計不僅可以橫向關聯，還可以縱向深入。通過一組相同類別但不同層次的活動序列，由淺入深、由表及里、由粗到精、由扶到放逐步展開，幫助學生不斷積累活動經驗，打開數學思考，形成對數學知識的自主理解與建構。

仍以《有趣的平衡》教學為例。在探究平衡規律時，教師組織了三次活動，第一次活動探究“左側第3孔掛2顆同樣的珠子，右側怎么掛珠”，學生通過實驗發現了多種掛珠方法，進而組織學生比較總結，發現兩端孔數與珠數的變化規律。第二次活動調整左側珠的顆數，探究“左側第3孔掛3顆珠，右側怎么掛珠”，進一步感受孔數與珠數的變化，同時獲得對“孔數與珠數乘積不變”的感知。第三次活動再改變左側離中心點的孔數，探究“左側第4孔掛3顆珠，右側怎么掛珠”，引導學生基于前兩次活動體驗來推理，最后實驗驗證，從而獲得對規律的整體性理解和把握。三次活動層層深入，有效促進了數學思考的“萌芽”。

3.交錯推進，于綜合融通中豐富體驗，讓數學思考“生長”。

以橫向或縱向視角觀照活動，我們會發現，有些活動之所以能夠引發學生的數學思考，并不是簡單以橫向或縱向的方式呈現，而是既有橫向對比的活動，又有縱向展開的活動，縱橫交融，密不可分，構成了整體性的活動系統。將數學學習置放在多空間、多維度、多層次的活動系統中，使得數學思考自然卷入其中。

以特級教師俞正強執教的《用字母表示數》為例。俞老師抓住用字母表示數的本質內涵，設計了往袋中裝粉筆的活動，先在“看見”和“看不見”的情況下分別往袋里裝粉筆，讓學生用數表示袋中粉筆的數量，形成橫向活動對比，使學生體驗在“看見”情況下可以用確定的數表示，從而思考“不確定的情況下如何表示袋中粉筆數量？為什么袋中粉筆的數量不是0、100等數字？”然后將活動引向縱深，出示另一種顏色袋子并用字母表示其中粉筆數量，啟發學生進一步思考“兩個袋中粉筆數量都不確定時，如何用字母表示？給出兩個數量之間的關系后，如何更好地表示另一袋中粉筆的數量？”促使學生進一步理解用字母式子表示數量的方法和好處。交錯推進的活動使學生的數學思考自然展開，抽象數學便“無聲”地植根于學生的認知結構之中。

（二）以問題架構橋梁，啟迪數學思考

美國數學家哈爾莫斯以“問題是數學的心臟”強調問題對數學的重要作用。數學思考離不開關鍵問題的引領。教學中，當學生有活動體驗，但未觸及數學思考時，教師要及時準確地找到數學思考的“最近發展區”，通過適當提問，打通活動體驗與數學思考的通道，將學生思維引向深入，引導學生逐步養成自我提問的習慣。

1.在“是什么”的發問中歸納總結，促進數學思考從模糊走向清晰。

數學學習不能僅滿足于結論的獲得，更不能將結論作為一種數學規定，簡單機械地強加給學生。教師要引導學生在充分感知、體驗的基礎上，用自己的方式進行表達。教師要善于進行“是什么”的發問，引導學生及時將活動體驗轉化為數學思考，并促進數學思考由模糊走向清晰。

例如：在教學蘇教版四下《三角形的認識》時，為了讓學生建立“高”的概念，教師先讓學生基于對“高度”的理解，嘗試畫出三角形的高，使高的生活經驗轉化成數學活動體驗，在頭腦中留下清晰的認知表象。然后通過展示、交流、評價不同的畫法，不斷激活學生活動體驗，獲得對“三角形的高”的初步理解。進而追問“什么是三角形的高”，讓學生用自己的語言表述高的概念，通過同伴之間相互交流與補充，建立清晰完整的概念。在這個過程中，“是什么”這一問題是引領學生深入探究的旗幟。

2.在“為什么”的追問中合理解釋，促進數學思考從淺表走向深層。

人們在認識世界時，如果只滿足于對常識的感知和了解，會思維固化，因而要善于追問“為什么”。“為什么”是對既有認知的追問，是深入理解知識的重要路徑。教學中，教師要通過拋出“為什么”的問題，引導學生對既有結論進行深度思考。

例如：教學蘇教版五下《圓的認識》，在探究圓的特征時，學生通過畫一畫體驗到同一個圓內半徑有無數條，且都相等。此時，教師提出問題“為什么圓內有無數條半徑且相等，能否給出合理的解釋或說明”，學生以“圓上有無數個點”來解釋“同圓內半徑有無數條”，以“定長”說明“同圓內半徑都相等”，深刻理解了圓的概念、畫圓方法與圓的特征之間的內在聯系。在“無疑處生疑”是數學思維品質的體現，教師應主動提問“為什么”，適時引導學生自問“為什么”，幫助學生養成自問自究的習慣。

3.在“還可以怎樣”的再問中推理延展，促進數學思考從單一走向系統。

教學是一個開放的、互動交往、共同提高的過程，現代教學要打破傳統課堂中封閉式的教學方法，還給學生應有的思維空間和話語權。學生有其獨特的思維方式，常呈現出兒童視角下的思維結果。當學生提出一種或幾種思考結果時，教師可以通過“還可以怎樣”的追問，讓學生的數學思考繼續延展，在此基礎上豐富學習素材，整合不同結果，梳理內在聯系，使數學思考從點生發，形成脈絡，進而由單一逐步聯結成系統。

（三）以反思促進發展，提升數學思考

美國詩人金斯伯格在談及數學教學時說：“真正的數學頭腦是思維的頭腦，是內省的頭腦，這也正是學校應當教學生的東西。”按照荷蘭數學教育家弗賴登塔爾的觀點，“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，就達不到高一級的層次”。一般意義上，反思是主體對經歷過的或正在經歷的事件進行回顧、剖析、內省，達到對事件的進一步認識。數學學習中的反思是主體數學思考的自覺表現，是學生從活動體驗到數學思考的自主跨越。在活動體驗與數學思考的交織中，反思如同“黏合劑”，彌散于數學活動過程中，促進數學思考由外在啟發到內部生發。

反思不是先天就有的，而是后天逐步養成的。教師在教學中要注意留給學生反思的時空，指導學生回顧活動過程，交流活動體會，評價活動成果，糾正活動錯誤，實現從知識學習到方法的提升。教師要指導學生學會在活動中“停下來”，思考“為什么這樣做”“這樣做對嗎”“怎樣做得更好”等問題，讓學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，發展思維的敏捷性、深刻性、批判性和創新性。

總之，數學教學既要充分考慮兒童認知規律，讓學生在生動豐富的活動中“動手”，更要體現數學學科特點和其特有的育人價值，為兒童提供數學思考的時間和空間，幫助學生學會“動腦”，自主建構對數學的理解，培養良好的數學思維品質。只有正確處理好“動手”與“動腦”的關系，逐步指導學生學會數學思考，自覺進行數學思考，才能讓學生變得聰明、智慧，進而學會思維，并能由理性思維逐步走向理性精神。

本文獲2018年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。