結合全局信息的局部圖像灰度擬合模型

陳 星，王 艷，吳 漩

(重慶師范大學 數學科學學院，重慶 401331)(*通信作者電子郵箱905740114@qq.com)

0 引言

圖像分割是圖像處理的關鍵步驟，其目的是把圖像分割成若干個具有獨特性質的區域并對其中感興趣的目標加以提取。到目前為止，大量的圖像分割算法被提出，其中，幾何活動輪廓模型憑借其獨特的優勢，如對分割目標具有較大的捕獲范圍、可有效地處理拓撲結構的變化等，近年來被廣泛應用[1-6]。

幾何活動輪廓模型可分為兩大類，即基于邊緣的活動輪廓模型[7-8]和基于區域的活動輪廓模型[9-10]。其中，前者利用圖像的梯度信息驅使活動輪廓朝目標邊緣移動，而后者利用的是圖像的區域信息。這兩類模型的分割效果取決于待分割圖像所具有的具體特征，本文討論的是基于區域的活動輪廓模型。

根據所利用的區域信息的特點，基于區域的活動輪廓模型又可分為基于全局圖像信息的區域模型和基于局部圖像信息的區域模型。分片常值(Piecewise Constant, PC)模型[11]是一個典型的基于全局圖像信息的區域模型,常稱為C-V(Chan-Vese)模型，其主要優點是計算的復雜度較低、演化結果對初始輪廓不敏感等，但其無法實現對圖像的快速分割，且無法分割灰度不均圖像和復雜圖像。

為了提高圖像分割的速度，研究者們從不同方向對C-V模型進行了改進，張開華等[12]提出的改進C-V模型，能夠快速分割圖像，且抗噪性較強；周小舟等[13]提出的基于C-V水平集的梯度加速模型，在提高分割速度的同時，可以提高分割精度且保證分割過程的穩定性。為了處理灰度不均圖像，基于局部圖像信息的區域模型被提出。如Zhang等[14]提出了一種局部統計活動輪廓模型(Local Statistic Active Contour Model, LSACM)，該模型可直接應用于3T和7T磁共振圖像的同時分割和偏差校正。Li等[15]提出了著名的區域可變擬合(Region-Scalable Fitting, RSF)模型，但是其演化速度較慢；為了彌補RSF模型的不足，Zhang等[16]提出了局部圖像擬合(Local Image Fitting, LIF)模型，實現了對灰度不均圖像的有效分割，但其存在分割結果對初始輪廓的大小、形狀和位置較為敏感的不足。

為了克服LIF模型的不足，許多學者通過融入全局圖像信息使分割結果對初始輪廓的敏感度降低[17]。受此啟發，本文借鑒基于變異系數的分片常值圖像快速分割模型[18]的思想，在LIF模型的基礎上融入全局圖像信息，從而提出一個結合全局信息的局部圖像灰度擬合模型，解決了LIF模型對初始輪廓的大小、形狀和位置敏感的問題，而且在無初始輪廓的情形下，該模型也能快速分割一些真實圖像和人造圖像。

1 相關模型

1.1 LIF模型

LIF模型利用分片光滑函數來模擬原始圖像，具體地講，對于圖像區域Ω中的任意一點x，圖像的局部灰度擬合函數被定義為：

ILIF=m1Hε(φ)+m2(1-Hε(φ))

其中，圖像局部加權平均灰度m1、m2的定義方式如下：

(1)

式中，Wk(x)是一個矩形窗口函數。LIF模型選取的是大小為(4k+1)×(4k+1)的矩形窗口函數Kσ(x)，其中，σ為標準差，k為小于σ的最大整數。

LIF模型的能量泛函定義為：

(2)

根據變分原理和梯度下降流方法，LIF模型最終的水平集演化方程為：

(3)

LIF模型能有效地分割灰度不均圖像，但由于m1、m2為圖像的局部加權平均灰度，只涉及到圖像的局部灰度信息，并沒有涉及到全局圖像信息，所以該模型雖然能夠有效地分割灰度不均圖像，但是分割結果對初始輪廓的大小、形狀和位置較為敏感。

1.2 基于變異系數的分片常值圖像快速分割模型

文獻[18]定義了如下能量泛函：

(4)

其中：μ、λ1、λ2均為常數；C表示演化曲線。

將正則化的Heaviside函數H(φ)引入式(4)中，則式(4)可轉化為一個關于嵌入函數φ的能量泛函，固定φ，分別相對c1、c2極小化能量泛函式(4)，可得：

(5)

(6)

根據變分原理和梯度下降流方法，得到關于φ的歐拉方程：

(7)

其中，δε(φ)為正則化的Dirac函數。

(8)

該模型能夠實現分片常值圖像的快速分割，且對初始輪廓的魯棒性較強，但由于不包含局部圖像信息，因此不能有效地分割灰度不均圖像。

2 本文模型

2.1 模型描述

第1.1節已經指出，LIF模型能夠有效地分割灰度不均圖像，但由于不包含全局圖像信息，所以對初始輪廓的大小、形狀和位置較為敏感。而文獻[18]對初始輪廓大小、形狀和位置的選取都不敏感，但由于不包含局部圖像信息，所以不能較好地分割灰度不均圖像。

本文直接從水平集演化的偏微分方程入手，構造一個包含局部項和全局項的偏微分演化方程。

局部項FL選取為LIF模型的右端項，即：

FL=δε(φ)(I-ILIF)(m1-m2)

(9)

其中ILIF=m1Hε(φ)+m2(1-Hε(φ))，m1、m2的計算方法和LIF模型相同，且本文和LIF模型選取相同的矩形窗口函數Kσ(x)，Hε(φ)和δε(φ)為正則化的Heaviside函數和Dirac函數，定義方式如下：

(10)

(11)

其中，c1、c2的計算方法和文獻[18]相同。

綜上所述，本文模型定義為：

(12)

其中，參數ω(ω>0)為權重系數，其作用是控制局部項和全局項對待分割圖像的影響，局部項可以使本文模型有效地分割灰度不均圖像，全局項可以實現對初始輪廓的魯棒性，參數ω的具體取值取決于待分割圖像的具體特征，如目標和背景的復雜程度。若圖像比較簡單，未呈現出較為嚴重的灰度不均，則ω應選取較大值；相反的，若圖像比較復雜，呈現出嚴重灰度不均，則ω應選取較小值。因此，若適當選取ω，本文模型既能有效地分割灰度不均圖像，又能使分割結果對初始輪廓的大小、形狀和位置都不敏感。在本文中，除特別說明外，參數ω的默認值選取為1。

2.2 數值實現

φn+1=φn+Δt·F(φn)

(13)

在傳統的水平集方法中，水平集函數通常初始化為符號距離函數，而且為了避免水平集函數在演化過程中過于陡峭和平滑，必須周期性地重新初始化水平集函數為符號距離函數，這將會導致計算復雜度較高、耗時較長。本文模型允許水平集函數初始化為二值函數和常值函數，而且在整個演化過程中，水平集函數φ無需重新初始化。此外，為了確保水平集函數的光滑作用，本文模型以Zhang等[19]提出的高斯濾波φ=Gζ*φ代替傳統正則項div(▽φ/|▽φ|)δ(φ)來正則化水平集函數。

本文模型數值實現的算法步驟可歸納為以下幾步：

步驟1 初始化水平集函數φ，并設置n=0。

二值水平集定義方式為：

常值水平集定義方式為：

φ0=φ(t=0)=0

其中，Ω0為圖像區域Ω的一個子集，?Ω0為Ω的邊界。

步驟2 按照式(5)和式(6)計算c1(φn)、c2(φn)，按照式(1)計算m1(φn)、m2(φn)。

步驟3 按照式(13)演化水平集函數φ，得到φn+1。

步驟5 檢查迭代過程是否收斂,若收斂，則停止演化；若不收斂，則設置n=n+1，并返回步驟2。

3 實驗結果與分析

本章通過實驗驗證所提模型具有以下性能:1)能有效地分割灰度不均圖像;2)對初始輪廓具有較強的魯棒性，具體表現為對初始輪廓的大小、形狀和位置都不敏感;3)在無初始輪廓的情形下，能快速分割一些真實圖像和人造圖像。

數值實現采用有限差分法，程序用Matlab R2016a編寫，運行平臺為Windows 10的聯想電腦，處理器為Intel(R) Core (TM) i5-6200U CPU @ 2.30 GHz，內存為4.00 GB。

本文模型中，選取ε=1，ζ=0.5，Δt=0.005，m=5，除特別說明外，默認參數ω=1，參數σ的值在實驗中具體給出。需要指出的是，若圖像呈現出嚴重灰度不均，σ應選取較小值(0.2～6)，收斂的迭代次數相對較多，但迭代過程更穩定；若圖像未呈現出較為嚴重的灰度不均，σ應選取較大值(6～15)，收斂的迭代次數相對較少，但σ的值不宜過大，否則會導致迭代過程不穩定(通常σ的取值在0.2～15)，各圖中的迭代次數均為實驗時圖像得以正確分割且達到穩定狀態的迭代次數。

3.1 對灰度不均圖像的分割

文獻[18]模型和本文模型分別對一幅像素大小為133×136的三相圖像、一幅像素大小為335×333的人造圖像、一幅像素大小為103×97的人造圖像、一幅像素大小為217×227的大腦外輪廓圖像的分割結果如圖1所示，其中前兩幅為灰度均勻圖像，后兩幅為典型的灰度不均圖像。從圖1可以看出：文獻[18]模型只能分割灰度均勻圖像，不能處理灰度不均圖像；而本文模型既能分割灰度均勻圖像，也能有效地分割灰度不均圖像。在該實驗中，選取的初始輪廓是以中心像素點為圓心，半徑分別為50、50、25、50的圓形初始輪廓，參數σ分別選取為5、5、8、13，其中，后兩幅圖像的ω均選取為0.01。

圖1 不同模型的分割結果對比Fig. 1 Segmentation result comparison of different models

3.2 初始輪廓大小的敏感性

LIF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為135×126的遙感圖像的分割結果如圖2所示。從圖2可以看出，當初始輪廓選取為一組圓心相同、半徑不同的圓形時，本文模型的分割過程比較穩定，其分割結果不受圓形初始輪廓大小的影響；而LIF模型對圓形初始輪廓的大小較為敏感，分割結果依賴于初始輪廓半徑的大小，LIF模型和LSACM的分割結果不準確。LIF模型、LSACM和本文模型的迭代次數和分割時間對比如表1所示(表1～4中的“—”均表示相應模型無法正確分割圖像)。

從表1可以看出，本文模型的分割速度較LIF模型有了明顯的提升，迭代次數和分割時間大致縮短為LIF模型的三分之一。此外，本文模型的分割時間明顯少于LSACM。在該實驗中，選取的初始輪廓是以中心像素點為圓心，半徑大小分別為25、30、40、50的圓形初始輪廓，參數σ=1。

圖2 圓形初始輪廓大小不同時不種模型的分割結果對比Fig. 2 Segmentation result comparison of different models with different initial circular contour sizes表1 不同模型分割圖2中圖像的迭代次數和分割時間Tab.1 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 2 segmented by different models

模型圖像1迭代次數分割時間/s圖像2迭代次數分割時間/s圖像3迭代次數分割時間/s圖像4迭代次數分割時間/sLIF23008.278216505.7890————LSACM1005.40291609.487030014.516650023.7972本文模型7002.58656502.40595302.05514301.5819

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為107×121的CT圖像的分割結果如圖3所示。

圖3 矩形初始輪廓大小不同時不同模型的分割結果對比Fig. 3 Segmentation result comparison of different models with different rectangular initial contour sizes

從圖3可以看出，當初始輪廓選取為一組形狀相同、大小不同的矩形時，本文模型均能得到正確的分割結果；而LIF模型和RSF模型對矩形初始輪廓的大小較為敏感，若初始輪廓大小選取不當，將無法得到正確的分割結果，RSF模型和LSACM的分割結果不準確。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型的迭代次數和分割時間對比如表2所示。從表2可以看出，本文模型的分割速度較LIF模型有了明顯的提升，迭代次數和分割時間大致縮短為LIF模型的二分之一，分割時間少于LSACM。在該實驗中，選取的初始輪廓為矩形初始輪廓，其大小分別(45：65,45：65)、(35：75,35：75)、(25：85,25：85)、(20：90,20：90)，其中 (a：b,c：d)表示一個對稱中心位于原圖像的((a+b)/2,(c+d)/2)點處、大小為(b-a)×(d-c)的矩形。LIF模型選取σ=2，本文模型選取σ=2.5、ω=0.1。

表2 不同模型分割圖3中圖像的迭代次數和分割時間Tab. 2 Iteration numbers and segmentation times of images in Fig. 3 segmented by different models

3.3 初始輪廓形狀的敏感性

LIF模型和本文模型對一幅像素大小為63×58的灰度不均圖像的分割結果如圖4所示。從圖4可以看出，當選取不同形狀的初始輪廓時，本文模型的分割結果不受影響，且迭代次數比較穩定，均為140次左右；而LIF模型對初始輪廓的形狀較為敏感，當初始輪廓的形狀選取不當時，將不能得到正確的分割結果，且迭代次數也依賴于初始輪廓形狀的選取。在該實驗中，選取的初始輪廓為矩形初始輪廓，其大小分別為(25：35,25：35)、(25：45,25：35)、(25：35,25：45)、(25：30,25：60)，參數σ=3。

圖4 初始輪廓形狀不同時不同模型的分割結果對比Fig. 4 Segmentation result comparison of different models with different initial contour shapes

3.4 初始輪廓位置的敏感性

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為195×183的細胞圖像的分割結果如圖5所示。從圖5可以看出，當選取不同位置的圓形初始輪廓時，本文模型的分割結果不受影響；LIF模型和RSF模型在初始輪廓的位置選取不當時不能正確分割圖像，LSACM無法得到準確的分割結果。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型的迭代次數和分割時間對比如表3所示。從表3可以看出，本文模型迭代次數較少，且分割時間少于LIF模型和LSACM。在該實驗中，初始輪廓選取為位置不同、大小相同的圓形初始輪廓，其圓心的像素點分別為(0,0)、(+70,0)、(0,-70)、(0,+70)，半徑大小均為15，LIF模型選取σ=10，本文模型選取σ=2.5。

圖5 圓形初始輪廓位置不同時不同模型的分割結果對比Fig. 5 Segmentation result comparison of different models with different circular initial contour locations表3 不同模型分割圖5中圖像的迭代次數和分割時間Tab. 3 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 5 segmented by different models

模型圖像1迭代次數分割時間/s圖像2迭代次數分割時間/s圖像3迭代次數分割時間/s圖像4迭代次數分割時間/sLIF16515.0710——5150523.1069——RSF302.2447——55534.8911——LSACM809.0574808.998315016.9207809.0146本文模型4304.72441551.75951201.36241101.2584

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為88×88的血管圖像的分割結果如圖6所示。從圖6可以看出，當初始輪廓選取為不同位置的矩形初始輪廓時，本文模型的分割結果不受影響；而LIF模型和RSF模型對矩形初始輪廓的位置較為敏感，其分割結果依賴于矩形初始輪廓位置的選取，此外，RSF模型和LSACM無法得到準確的分割結果。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對圖5中四幅圖像的迭代次數和分割時間對比如表4所示。從表4可看出，本文模型的迭代次數明顯少于LIF模型，且分割時間少于LIF模型、RSF模型和LSACM。在該實驗中，初始輪廓選取的是位置分別為(40：55,40：55)、(10：25,10：25)、(40：55,10：25)、(10：25,65：80)的矩形，參數σ=3、ω=0.3。

3.5 無需初始輪廓的圖像分割

本文模型分別對一幅像素大小為146×142的二值圖像、一幅像素大小為256×256的多目標大米圖像、一幅像素大小為285×228的深度圖像、一幅像素大小為136×136的漸變圖像和一幅像素大小為211×161的真實圖像的分割結果如圖7所示。從圖7可以看出，在無初始輪廓的情形下，本文模型可以快速有效地分割這些真實圖像和人造圖像。在該實驗中，參數σ的值分別選取3、3.7、1、3。

圖6 矩形初始輪廓位置不同時不同模型的分割結果對比Fig. 6 Segmentation result comparison of different models with different rectangular initial contour locations表4 不同模型分割圖6中圖像的迭代次數和分割時間Tab. 4 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 6 segmented by different models

模型圖像1迭代次數分割時間/s圖像2迭代次數分割時間/s圖像3迭代次數分割時間/s圖像4迭代次數分割時間/sLIF——6502.6171375015.0071——RSF4303.25713202.62884403.3604——LSACM1953.77091903.58272254.17542254.2208本文模型5152.09785302.15374351.75485152.1191

圖7 無初始輪廓情形下本文模型對部分圖像的分割結果Fig. 7 Segmentation results of partial images by the proposed model without initial contour

4 結語

本文提出一個以偏微分方程形式存在的結合全局信息的局部圖像灰度擬合模型，該模型既能分割灰度均勻圖像，也能有效處理灰度不均圖像，而且對初始輪廓具有較強的魯棒性，同時在無初始輪廓的情形下能夠快速分割一些真實圖像和人造圖像。然而本文模型的迭代次數有待提高，且在無初始輪廓的情形下無法分割灰度不均圖像，因此如何使得模型減少迭代次數，在無初始輪廓的情形下分割灰度不均圖像等更多種類的圖像，將是我們接下來的工作。