考慮飽和的開關磁阻電機徑向電磁力解析建模

左曙光, 鄭玉平, 胡勝龍, 毛 鈺

(同濟大學 汽車學院，上海 201804)

開關磁阻電機因結構簡單、無需稀土材料、調速性好，是電動汽車驅動電機的優選方案之一.然而其突出的振動噪聲問題限制了其廣泛應用[1].目前，振動噪聲抑制研究一直是開關磁阻電機研究的重要問題.作用于定子齒的徑向電磁力波動是引起開關磁阻電機振動的主要因素[2]，而建立電磁力模型是研究電磁力的基礎.

目前開關磁阻電機電磁力模型建立主要為有限元方法和解析方法.有限元方法是一種成熟且可信度高的計算電磁力手段.Anwar等通過有限元方法計算了開關磁阻電機定子齒上電磁力，雖然該方法準確性好，但模型搭建繁瑣，計算效率不高[3-4].解析計算模型計算速度快，參數調整簡單直接，且解析模型中參數意義明確，有利于電機前期開發的快速驗證；模型能夠反映電磁力及諧波產生機理，能夠輔助分析電磁力激勵來源，有利于振動噪聲抑制研究，對于低噪聲開關磁阻電機的開發及優化有直接的指導價值.永磁同步電機、爪極電機等的氣隙磁場和電磁力解析模型已經比較成熟[5-6].與上述電機不同，開關磁阻電機具有雙凸極結構特點，且運行過程中有嚴重的飽和效應，使得建立具有高精度的解析模型較為困難.目前開關磁阻電機徑向電磁力模型大多計算電機定子齒上的徑向集中力[7-10]，考慮分布電磁力的解析建模鮮有研究.將電機整個齒上電磁力作為集中力處理，既不符合電磁力實際分布情況，也無法獲取電磁力具體的時空分布信息.圖1為開關磁阻電機運行時的電磁力分布情況，采用作用于定子中心的集中力等效會產生較大誤差.文獻[11]將電磁力以集中力和分布力形式分別加載計算噪聲，證實考慮力分布特征的方法計算結果更為準確.

開關磁阻電機工作在局部飽和十分嚴重的條件下，建立較為準確的徑向力模型需要考慮飽和的影響.文獻[12-14]建立了開關磁阻電機徑向力模型，根據有限元結果，通過飽和修正公式考慮了飽和的影響，但僅能計算作用于整個齒的集中力.文獻[15]使用等效磁路法研究了雙凸極電機的氣隙磁導，通過飽和產生的磁導率降落量來反映飽和對雙凸極電機的影響，但并未進一步計算電磁力，且等效磁路法無法考慮電磁力的分布特征.

綜上所述，目前對開關磁阻電機考慮徑向電磁力分布特征的解析模型鮮有研究.本文首先考慮電機運行時磁力線的分布情況，推導定子勵磁磁動勢和等效氣隙磁導，建立不考慮飽和時氣隙磁場解析模型；進而根據有限元結果分析了飽和對氣隙磁場的影響特點，基于上述模型提出考慮飽和的氣隙磁場模型；最后基于麥克斯韋張量法得到徑向電磁分布力模型，并通過有限元驗證了模型的準確性.

圖1 定子徑向電磁力分布Fig.1 Distribution of radial electromagnetic force

1 不考慮飽和的氣隙磁場解析模型

開關磁阻電機具有典型的雙凸極結構，定轉子上均無永磁體，轉子上也沒有繞組，由定子上的集中繞組勵磁.本文采用磁勢乘磁導的方法求取氣隙磁場，建?？紤]定子齒側面勵磁建立磁動勢，且將磁力線近似看作圓弧及直線來模擬磁力線在氣隙中的路徑，求取氣隙的磁導[16].

對于Ns/Nr極電機，Ns為定子齒數，Nr為轉子齒數，P=Ns/2為相數，θs、βs分別為定子極距角度與極弧角度，θr、βr分別為轉子極距角度與極弧角度，Rs為定子內徑，Rr為轉子外徑.為了方便分析，做如下簡化：① 鐵芯的導磁率為無窮大；② 磁場沿軸向均勻分布，忽略電機端部的影響，忽略漏磁通；③ 第一部分暫不考慮定轉子飽和的影響.

1.1 定子勵磁磁動勢

根據開關磁阻電機定子的結構，將其沿周向展開，單相勵磁的磁動勢在圓周空間中的分布情況如圖2所示，則單相勵磁磁動勢在一個周期內可表達為(以A相為例，B相、C相以此類推)

(1)

式中：FA為A相磁動勢；N為繞組匝數；IA為A相電流；θ為電機圓周空間機械角度.

圖2 定子繞組磁動勢在圓周空間中的分布Fig.2 Magnetomotive force of stator coil

對定子勵磁磁動勢圓周空間分布進行傅里葉級數分解，得A相定子勵磁磁動勢如式(2)所示，其中，fa、fb均為與電機結構有關的系數，如式(3)所示.

(2)

(3)

則B、C相磁動勢分別為

(4)

開關磁阻電機驅動電流一般為與轉子位置角有關的非正弦電流，各相電流表示為

(5)

式中：I0為電流常量部分；I為系數；ω為電機轉頻；t為時間.

電機定子繞組各相合成磁動勢為

F(θ,t)=FA(θ,t)+FB(θ,t)+FC(θ,t)

(6)

1.2 氣隙磁導

應用磁通管法的思想，把定子到轉子磁力線的長度作為等效氣隙長度，以此推導出氣隙磁導的公式.如圖3所示，氣隙區域可以分為3個部分：定子區域、第一氣隙和轉子區域.則氣隙磁導為

(7)

式中：μ0為真空磁導率；g0為第一氣隙長度;gs、gr分別為定子及轉子部分的等效氣隙長度.

圖3 氣隙區域示意圖Fig.3 Sketch map of air-gap area

1.2.1定子部分的等效氣隙長度

如圖4所示，定子部分定子齒頂的等效氣隙長度為0，齒側部分等效氣隙長度為與圓周空間角度有關的同心圓弧長.由于分析時將定轉子沿周向展開，且使用直線及圓弧代替實際的磁力線，從而引入了誤差修正系數β1、β2進行修正[17]

(8)

式中：αrs為定轉子齒軸線之間的夾角.

定子等效氣隙長度是與電機周向空間位置有關的函數，由幾何關系可得，在一個定子齒距范圍內等效氣隙長度為

(9)

圖4 定轉子等效氣隙Fig.4 Equivalent air-gap of stator and rotor

對等效氣隙空間分布進行傅里葉級數分解

sbsin(mNsθ)]

(10)

其中s0、sa、sb均為與定子結構有關的常數

(11)

1.2.2轉子部分的等效氣隙長度

轉子等效氣隙是關于時間和空間的函數.如圖5所示，在一個轉子齒距范圍內，等效氣隙長度為

(12)

對等效氣隙圓周空間分布進行傅里葉級數分解

rbsin(nNr(θ-ωt))]

(13)

(14)

(15)

式中:hr為轉子齒高.

1.3 氣隙磁場和電磁力

在定轉子鐵芯磁導無窮大的假設下，磁動勢降落全發生在氣隙空間處，氣隙磁場可由磁動勢與氣隙磁導相乘得到，如式(16)所示.開關磁阻電機氣隙磁場是關于電機周向空間位置和時間(決定轉子位置)兩個變量的函數.切向磁密幅值不到徑向磁密的1/10，則根據麥克斯韋張量法，定子表面徑向電磁力波為：

(17)

為驗證該模型的準確性，本文通過有限元方法進行驗證，有限元模型定轉子材料定義為理想材料，即該材料磁化曲線為線性，如圖5曲線B所示.樣機為6/4極電機，主要參數如表1所示，結構如圖6所示.在電流20 A、轉子位置角23°情況下，電機空間磁場分布解析結果和有限元仿真結果對比如圖7所示.從對比結果看，氣隙磁密吻合較好.

圖8a為轉子位置角為25°時電磁力空間分布及諧波階次對比，前20階空間諧波誤差最大為3.62%，其中空間2階誤差僅為2.65%；圖8b為定子中間位置處電磁力時間變化及諧波階次對比，前5 000 Hz最大誤差為3.87%.結果表明，該解析模型具有良好的精度.有限元和解析解在不對齊區域齒尖部位存在誤差，這是因解析模型未考慮齒尖部位的磁導突變所致.

然而，實際鐵心材料磁化曲線如圖5曲線A，隨著磁化強度H的增大，磁通密度并不隨磁場強度線性增大，即產生磁飽和.開關磁阻電機運行過程中存在嚴重的局部磁飽和，為了提高解析模型的準確性，需要考慮飽和的影響.

圖5 磁化曲線Fig.5 B-H curve

Br(θ,t)=F(θ,t)·Λ(θ,t)=

(16)

圖6 6/4極開關磁阻電機結構Fig.6 Structure of 6/4 SRM

圖7 不考慮飽和的氣隙磁密電機空間磁場分布Fig.7 Air-gap flux density without considering saturation

表1 6/4極開關磁阻電機主要參數Tab.1 Main parameters of 6/4 switched reluctance motor

2 考慮飽和的電機氣隙磁場建模

2.1 影響磁場飽和因素分析

本文以6/4極開關磁阻電機為對象，分析飽和對氣隙磁場的影響.電機磁力線分布如圖9所示，根據磁阻最小原理，磁力線主要從定轉子重合區域通過.如圖10所示，轉子不同位置角及不同電流時，考慮鐵芯飽和與否電機氣隙磁場沿空間分布情況.圖10a為轉子極與定子槽非對齊位置時考慮材料飽和與否的氣隙磁密對比，此時定轉子未重合，幾乎沒有飽和；圖10c、d為定轉子部分重合飽和對氣隙磁密影響對比，在定轉子重合的區域，飽和引起磁密下降十分嚴重，而不重合區域磁密基本一致.定轉子重合部分飽和程度比較大，氣隙磁密變化非常大，而不重合部分由于氣隙磁阻較大，飽和并不明顯.

a 電磁力空間分布

b 電磁力空間諧波階次

c 電磁力隨時間變化

d 電磁力隨時域諧波階次圖8 不考慮飽和的電磁力時間和空間分布Fig.8 Time and spatial distribution of electromagnetic force without considering situration effect

圖9 電機磁力線分布Fig.9 Distribution of flux line on the motor

a α=0°, I=5 Ab α=0°, I=20 A

c α=25°, I=5 Ad α=25°, I=20 A

經研究總結出影響飽和的兩個主要因素：電流和轉子位置角.本文引入磁密降落量ΔB，即不飽和與飽和氣隙磁密之間的差值，使用有限元方法來研究各因素對飽和的影響.

2.1.1電流對飽和的影響

電流是影響電機磁飽和的最主要的因素.當電流較小時，電機飽和程度較小，隨著電流增大，電機飽和程度越來越大.首先，不考慮轉子位置角的影響，分析對齊位置時，飽和引起的磁密降落量.圖11a表示定轉子重合區域電機不同圓周空間角度位置取樣點的磁密降落量隨繞組電流變化情況，可知重合區域不同圓周位置磁密降落量具有一致性.圖11b為其中1個取樣點磁密降落量隨電流變化情況，其曲線具有分段線性的特征.本文采用關于電流i的函數來擬合

(18)

式中：ΔB1為電流引起的磁密降落量；i為某相電流；aij(i,j=1, 2, 3)為擬合常數.

2.1.2轉子位置角對飽和的影響

當繞組電流相同、轉子位置角(定轉子重合角)不同時，飽和程度不同，產生的磁密降落量也不同.圖12a表示電流不變時，不同周向空間取樣點隨轉子位置角變化時磁密降落量變化情況.可以看出，當取樣點未處于定轉子重合區域時，磁密降落量基本為0，當進入到重合區域時，磁密降落量迅速增大到一定值；之后隨著重合角度繼續增大，磁密降落量繼續線性緩慢增大.如圖12b所示，同一空間位置點相對磁密降落量隨電流增大具有近似拋物線特征.考慮轉子位置角對飽和的影響后，磁密降落量可以表示為

a 定子區域不同采樣點

b 其中1個采樣點圖11 磁密降落量隨電流變化Fig.11 Flux density drop with current changes

a 相同電流齒區域不同空間位置

b 電流和轉子位置角的綜合影響圖12 磁密降落隨轉子位置角變化Fig.12 Flux density drop with rotor position angle changes

ΔB=b(α,i)ΔB1=(b1α+b2i2+b3i+b4)ΔB1

(19)

式中：b(α,i)是隨轉子位置角和電流線性變化的系數，其值小于1；b1、b2、b3均為擬合常數.

2.2 考慮飽和的磁密解析模型

本文在線性解析模型的基礎上，引入磁導降落系數來反映飽和的影響.A相磁導降落量λdA與磁密降落量ΔB的關系如下(B、C相類似)：

b4)ΔB1]

(20)

磁導降落量只作用于定轉子重合區域，對其沿周向進行傅里葉級數分解，則A相的磁導降落量沿圓周空間分布為磁導降落系數公式如下：

febcos(2uθ))

(21)

式中：λFe A為磁導降落系數；fe0、fea、feb為傅里葉分解產生的常數，如公式(22)所示；其中Δα為定轉子重合角，如式(23)所示.

(22)

(23)

故三相電機磁導降落系數可表示為

λFe=λFe A+λFe B+λFe C=

(24)

式中:λFe為電機磁導降落系數;Du為傅里葉分解產生的與飽和有關的常數.結合不考慮飽和的模型(16)與飽和磁導修正式(24)，考慮飽和的氣隙磁場模型可以表示為

Br(θ,t)=F(θ,t)·Λ(θ,t)·(1-λFe)=

(25)

3 徑向電磁力建模及有限元驗證

3.1 徑向電磁力解析模型

根據麥克斯韋應力張量法，法向電磁力的公式如式(17)所示.則開關磁阻電機徑向電磁分布力波可表示為

(26)

3.2 有限元驗證

為驗證解析模型準確性，本文將解析計算與有限元仿真結果對比分析.電機的基本結構參數如表1所示，樣機材料定義為牌號DW360-50硅鋼.圖13為電流25 A、轉子位置角19°時電機徑向磁密的解析和有限元結果對比，考慮飽和的解析模型計算結果與有限元結果吻合良好.圖14為樣機在額定轉速4 000 r·min-1運行時的對比結果，圖14a表示A相轉子位置角30°時電磁力空間分布情況及其諧波空間階次對比，而圖14b表示A相定子齒中間位置的電磁力隨時間變化情況及諧波時間階次對比.結果顯示，解析計算結果和有限元結果吻合程度較好，電機電磁力諧波時空階次解析與有限元解具有良好的一致性.其中，空間階次前18階幅值誤差均在5%以下；時間階次前2 000 Hz最大誤差為7.2%，前5 000 Hz最大誤差為16.8%，高次諧波精度稍差，但總體趨勢一致.結果說明，此模型能夠較為準確地反映電機電磁力諧波的時空特性，有助于電機振動噪聲研究.同時由圖13及圖14可以看出，在定轉子齒槽邊緣，解析結果和有限元結果存在一定誤差，這是由于建模時對磁力線的等效以及研究飽和時的參數修正做了簡化處理引起的.此外，對于本文樣機，采用該解析方法僅需有限元20%的計算時間便可得到相當精度的結果.

圖13 I=25A，α=19°時徑向氣隙磁密Fig.13 Radial magnetic flux density

a 電磁力空間分布

b 電磁力空間諧波階次

c 電磁力隨時間變化

d 電磁力隨時域諧波階次圖14 4 000 r·min-1時電磁力時間和空間分布Fig.14 Time and spatial distribution of electromagnetic force at 4 000 r·min-1

為了說明本文提出方法的有效性和普適性，本文建立了另一款常用的12/8極開關磁阻電機考慮飽和的徑向電磁力解析模型.12/8極電機的基本參數如表2所示.其中不考慮飽和、考慮飽和以及有限元仿真的電機徑向電磁力空間分布如圖15所示.可以看出，對于該電機本文方法仍有較高的準確性，說明本文提出的方法對于其他開關磁阻電機也具有較強的適用性.

表2 12/8極開關磁阻電機主要參數Tab.2 Main parameters of 12/8 switched reluctance motor

圖15 12/8極SRM 3 000 r·min-1時電磁力空間分布Fig.15 Spatial distribution of electromagnetic force of 12/8 SRM at 3 000 r·min-1

4 結論

本文通過建立磁動勢和等效氣隙磁導模型，建立了開關磁阻電機氣隙磁場的解析計算模型；引入磁導降落系數，建立了考慮飽和的氣隙磁場解析計算模型；并基于麥克斯韋張量法建立了考慮磁飽和的徑向分布電磁力計算模型，通過有限元方法驗證了模型的準確性，并且得到如下結論：

(1) 本文分析了電流、轉子位置角對磁飽和的影響，并對通過參數擬合對解析模型進行修正，建立的電磁力解析計算模型能夠較為準確地計算電機氣隙磁場和徑向電磁力.

(2) 相比有限元方法，本文提出的徑向電磁力解析計算方法更適合氣隙磁場和電磁力的快速計算；模型給出了電機結構參數和電磁力的關系，模型中參數物理意義明確，有利于電機設計時快速驗證.

(3) 本文提出的模型能夠計算電機分布電磁力，相比集中力，分布電磁力包含更為詳細的電磁力波隨時間的波動特征以及沿電機一周的空間分布特征信息，更有利于開關磁阻電機旋轉電磁力特性研究和電機減振降噪研究.